Condição de Feller nos modelos CIR e Heston explicada
Entenda a condição de Feller, o comportamento da fronteira zero, não negatividade versus positividade estrita e as consequências numéricas para os modelos CIR e Heston
Resposta direta
Para dX_t = κ(θ-X_t)dt + σ√X_t dW_t, a condição de Feller 2κθ ≥ σ² mantém o zero inalcançável a partir de um início positivo. Se ela falhar, o processo CIR exato ainda permanece não negativo, mas pode chegar a zero; isso é diferente de valores negativos numéricos
A difusão de raiz quadrada liga escala à incerteza
O processo CIR usa drift κ(θ-X_t) e difusão σ√X_t para um estado não negativo, como uma taxa curta ou uma variância
Kappa controla a velocidade de reversão à média, theta o nível de longo prazo e sigma a volatilidade do estado
À medida que X se aproxima de zero, o tamanho do choque aleatório diminui enquanto o drift positivo κθ empurra o processo para longe da fronteira
A desigualdade de Feller compara drift e ruído
A condição padrão de fronteira é 2κθ ≥ σ², supondo parâmetros positivos e um estado inicial positivo
Ela compara o drift direcionado para dentro em zero com a intensidade da difusão, em vez de testar se uma calibração se ajusta aos preços de opções
Alguns textos usam um índice de Feller 2κθ/σ² ou uma dimensão 4κθ/σ², então as convenções de limiar precisam ser verificadas
Passar na condição dá positividade estrita
Quando 2κθ ≥ σ² e X_0 > 0, o zero é inalcançável para o processo CIR ideal em tempo contínuo
O estado permanece estritamente positivo em tempos finitos, evitando contato com a fronteira degenerada de raiz quadrada
Positividade estrita é mais forte que não negatividade e não deve ser reduzida à afirmação vaga de que o modelo é estável
Falhar permite contato, não estados negativos
Quando 0 < 2κθ < σ², o zero é alcançável, mas a solução CIR padrão permanece não negativa
Com theta positivo, a fronteira zero é instantaneamente refletora, e não um estado permanentemente absorvente
Portanto, uma condição de Feller falha não torna por si só a equação diferencial estocástica inválida ou negativa
Heston aplica o mesmo teste à variância
A variância de Heston segue dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t, substituindo σ pela vol-of-vol ξ
Sua condição comum é 2κθ ≥ ξ²; a falha permite que a variância toque zero e pode intensificar a sensibilidade à fronteira
Um modelo de Heston calibrado ainda pode ser usado quando a condição falha, mas a interpretação e o tratamento numérico exigem cuidado adicional
A discretização cria um problema separado
Um passo de Euler ingênuo pode se tornar negativo mesmo quando o processo exato é não negativo e a condição de Feller é satisfeita
Truncamento completo, métodos implícitos, esquemas de exponencial quadrática ou amostragem da transição exata tratam a fronteira de maneiras diferentes
Cortar valores negativos muda o modelo simulado, então convergência, viés e estabilidade dos gregos devem ser testados
A calibração precisa de diagnósticos atentos à fronteira
Reporte a razão 2κθ/ξ², não apenas se ela passa, e compare-a entre datas, medidas e incerteza dos parâmetros
Parâmetros físicos e neutros ao risco não precisam coincidir porque prêmios de risco de variância podem alterar a dinâmica de reversão à média
Teste trajetórias próximas de zero, sensibilidade ao passo de tempo, momentos de transição, erros de opções e resultados de hedge antes de confiar em um modelo ajustado
Perguntas frequentes
Qual é a condição de Feller para um processo CIR?
Para dX = κ(θ-X)dt + σ√X dW, a condição padrão de positividade estrita é 2κθ ≥ σ²
O que acontece se a condição de Feller falhar?
O processo exato pode chegar a zero, mas permanece não negativo na especificação CIR padrão com parâmetros positivos
Heston exige a condição de Feller?
Não para todo uso de precificação, mas a falha permite que a variância toque zero e aumenta as preocupações analíticas e numéricas na fronteira
Por que uma simulação ainda pode produzir variância negativa?
Um esquema discreto, como o Euler ingênuo, pode violar a fronteira do processo exato, então o método de simulação precisa de validação separada