Semiwariancja zrealizowana: pomiar zmienności wzrostowej i spadkowej

Dla śróddziennych logarytmicznych stóp zwrotu \(r_i\), obserwowanych w jednym ustalonym przedziale, wariancja zrealizowana to suma kwadratów stóp zwrotu: \(RV=\sum_i r_i^2\). Podniesienie do kwadratu sprawia, że zarówno wzrosty, jak i spadki są dodatnie, a duże ruchy mają większy wpływ. Statystyka mierzy zmienność zgromadzoną w przedziale, ale nie mówi, czy pochodziła ona z ruchów w górę, czy w dół.

Semiwariancja zrealizowana zachowuje znak przed podniesieniem do kwadratu. Składnik dodatni sumuje kwadraty stóp zwrotu większych od zera, a ujemny — mniejszych od zera. Przy tych samych obserwacjach i konwencji ich suma równa się wariancji zrealizowanej. Stopa zwrotu równa zero nie wnosi nic do żadnego składnika. To tożsamość rachunkowa, a nie dowód, że oba składniki są odrębnymi przyczynowymi źródłami ryzyka.

Podział według znaku pomaga badać zmienność kierunkową, na przykład sprawdzić, czy wcześniejsza zmienność ujemnych stóp zwrotu niesie inne informacje o przyszłej zmienności niż zmienność dodatnich stóp zwrotu. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock i Shephard wprowadzili semiwariancję zrealizowaną jako miarę spadkowej zmienności wysokiej częstotliwości. Ich working paper omawia jej związek z wariacją kwadratową i ujemnymi skokami.

Dla stóp zwrotu \(r_1,\ldots,r_n\) definiujemy

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

gdzie \(\mathbf{1}(\cdot)\) przyjmuje wartość jeden, gdy warunek jest prawdziwy, i zero w przeciwnym razie. Zatem

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Niektóre publikacje stosują inne oznaczenia lub indeksy górne, dlatego raport powinien jasno podawać, który symbol oznacza dodatnie, a który ujemne stopy zwrotu. Powyższy wzór wykorzystuje stopy niecentrowane względem zera: nie odejmuje średniej z próby, stopy docelowej ani stopy wolnej od ryzyka. Semiwariancja z próby liczona względem celu lub średniej jest inną statystyką.

Jednostką jest kwadrat jednostki stopy zwrotu. Jeśli stopy podano w punktach bazowych, składniki mają jednostkę bp²; dla dziesiętnych logarytmicznych stóp zwrotu są to kwadraty stóp dziesiętnych. Zamiana procentów na punkty bazowe mnoży wartość liczbową miary kwadratowej przez 10 000, dlatego należy zawsze podawać jednostkę.

Załóżmy, że hipotetyczna sesja obejmuje sześć stóp zwrotu w punktach bazowych:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Dodatnie stopy wnoszą \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Ujemne wnoszą \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Stopa równa zero niczego nie dodaje. Łączna wariancja zrealizowana wynosi więc

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

W tym małym przykładzie udział ujemny to \(21/34\), czyli około 61,8%, a dodatni około 38,2%. Są to udziały w wymyślonej sumie, a nie prawdopodobieństwa przyszłej straty ani stabilne oszacowania długookresowej asymetrii. Sześć stóp zwrotu to zdecydowanie za mało do wnioskowania statystycznego. Przykład służy wyłącznie sprawdzeniu definicji i rachunków.

Przewodnik po zmienności zrealizowanej omawia nierozdzieloną sumę kwadratów stóp zwrotu. Przewodnik po bipower variation odpowiada na inne pytanie: jak oszacować zmienność ciągłą, gdy mogą występować rzadkie skoki. Semiwariancję kierunkową i miary odporne na skoki można badać łącznie, ale żadna nie zastępuje drugiej.

Jeśli ukryty logarytm ceny jest ciągłym semimartyngałem, a próbkowanie staje się coraz gęstsze przy spełnieniu odpowiednich warunków regularności, semiwariancje dodatnich i ujemnych stóp zwrotu z osobna zbiegają do połowy ciągłej wariacji kwadratowej. W takiej sytuacji sumy z próby według znaku mogą się różnić, nawet gdy bazowa zmienność ciągła nie wykazuje trwałego podziału kierunkowego. Znaczenie ma również losowość próbkowania.

Gdy występują skoki, kwadrat wielkości skoku trafia do składnika dodatniego lub ujemnego zależnie od jego znaku. Zachowuje to informację pomijaną przez całkowitą wariancję zrealizowaną, ale nie oznacza, że każda ujemna stopa zwrotu jest skokiem ani że każda dodatnia jest nieszkodliwa. Zarówno duży ruch ciągły, jak i skok mogą dać duży kwadrat stopy zwrotu. Znak klasyfikuje obserwowaną zmianę, a nie jej przyczynę ekonomiczną.

Poniższa ilustracja koncepcyjna rozdziela dodatnie i ujemne przyrosty na dwie grupy wizualne. Nie jest wykresem danych ani wynikiem testu i nie sugeruje trwałego kierunkowego obciążenia procesu bazowego.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Semiwariancje zrealizowane można wprowadzić jako oddzielne predyktory w modelu przyszłej zmienności. W badaniu S&P 500 i pojedynczych akcji Patton i Sheppard odnotowali, że w ich próbach i specyfikacjach wcześniejsza zmienność ujemnych stóp zwrotu była silniej związana z przyszłą zmiennością niż zmienność dodatnich stóp. To wynik empiryczny dla ich projektu badania, a nie uniwersalne prawo rynku ani gwarancja jakości prognozy nowej strategii.

Aby wysunąć twierdzenie prognostyczne, określ cel i horyzont prognozy, porównaj wynik z odpowiednim punktem odniesienia i oceń go poza próbą. Różnica między \(RS^-\) a \(RS^+\) w jednym dniu ma charakter opisowy i nie dowodzi zdolności predykcyjnej. Regresja może wymagać uwzględnienia trwałości zmienności, nakładających się horyzontów, niepewności parametrów i selekcji danych. Błędy prognozy oceniaj funkcją straty dopasowaną do decyzji.

W rozszerzeniu wielowymiarowym Bollerslev, Li, Patton i Quaedvlieg rozwijają zrealizowane semikowariancje, które rozkładają zrealizowaną kowariancję według znaków par wysokoczęstotliwościowych stóp zwrotu. Ich artykuł w Econometrica wyjaśnia, dlaczego składniki o zgodnych i mieszanych znakach mogą zawierać różne informacje. Jednowymiarowy podział na wartości dodatnie i ujemne jest prostszy i nie powinien być przedstawiany jako pełny rozkład kowariancji ani ryzyka portfela.

Określenie „semiwariancja spadkowa” bywa używane dla kilku definicji. Omawiana tu miara zrealizowana podnosi do kwadratu wysokoczęstotliwościowe stopy zwrotu poniżej zera. Miara spadkowa oparta na celu uwzględnia natomiast stopy poniżej wybranego progu, często celu lub minimalnej akceptowalnej stopy. W próbie obserwacje mogą być też centrowane wokół średniej. Te definicje odpowiadają na inne pytania i mogą dawać różne wyniki dla tej samej serii.

Żadna z tych semiwariancji nie jest miarą Value-at-Risk ani Expected Shortfall. VaR opisuje kwantyl określonego rozkładu strat i horyzontu; Expected Shortfall podsumowuje straty przekraczające kwantyl według wskazanej konwencji. Suma kwadratów ujemnych śróddziennych stóp zwrotu nie ma żadnej z tych interpretacji. Nie jest też pełną miarą obsunięcia kapitału, które zależy od kolejności i ścieżki stóp zwrotu.

Jeśli wykres lub model określa \(RS^-\) jako „ryzyko spadkowe”, podaj bezpośrednio definicję: czy stopy mierzy się względem zera, czy celu, jakiej częstotliwości próbkowania użyto oraz czy to statystyka przedziałowa, zmienna wejściowa prognozy czy miara portfela. Przewodnik po zmienności GARCH omawia dynamikę wariancji warunkowej, a semiwariancja zrealizowana dostarcza kierunkowej miary wysokiej częstotliwości, którą można rozważyć jako zmienną wejściową.

Podział według znaku zależy od obserwowanej sekwencji stóp zwrotu. Częstsze próbkowanie może dodać odbicia bid–ask, dyskretność cen, nieaktualne kwotowania i efekty znaczników czasu. Znak małej zarejestrowanej zmiany ceny może się odwrócić po zmianie wskaźnika ceny lub siatki próbkowania. Szum mikrostrukturalny może więc zmienić zarówno kwadrat wielkości, jak i składnik, do którego trafia stopa. To, że dla wybranej serii zachodzi \(RV=RS^++RS^-\), nie potwierdza poprawności projektu próbkowania.

Aby porównanie było rzetelne, udokumentuj pole ceny, interwał próbkowania, granice sesji, obsługę zerowych stóp, reguły dotyczące wartości odstających i synchronizację stóp między aktywami. Sprawdź wrażliwość na uzasadnione warianty próbkowania. Jeśli kluczowe jest wykrywanie skoków lub odporność na szum, użyj estymatora lub testu zaprojektowanego do tego celu, zamiast traktować podział znaków jako korektę. Przewodnik po dwuskalowej zmienności zrealizowanej opisuje inną korektę szumu.

Wnioskowanie statystyczne wymaga też odpowiedniego rozkładu próbkowego lub projektu ponownego próbkowania. Składniki dodatni i ujemny pochodzą z tej samej ścieżki i mogą być zależne. Nakładające się okna mogą zwiększać tę zależność. Przedziały ufności i porównania prognoz powinny to uwzględniać; samo porównanie dwóch estymat punktowych nie testuje różnicy ich ról prognostycznych.

Jasny raport wskazuje serię stóp zwrotu aktywa lub portfela, okno obserwacji, definicję stopy, siatkę próbkowania i jednostki. Podaje wzory na \(RS^+\) oraz \(RS^-\), potwierdza, że suma odtwarza wariancję zrealizowaną, i wyjaśnia sposób obsługi zerowych oraz brakujących obserwacji. Gdy miara jest używana w modelu prognostycznym, raportuj także horyzont, benchmark, okres oceny i funkcję straty.

Nie przeliczaj bezpośrednio semiwariancji zrealizowanej na zmienność annualizowaną bez podania założeń agregacji. Dobowe wartości można sumować w skali roku jako opisową sumę według wybranej konwencji, ale ich pierwiastek nie staje się automatycznie odchyleniem standardowym spadkowych stóp o znanym rozkładzie. Annualizacja nie naprawia obciążonych danych cenowych, rzadkiego próbkowania ani efektów selekcji.

Główne zastosowanie to zdyscyplinowany pomiar: zachowanie kierunku każdej obserwowanej stopy przy kwadratowym ważeniu używanym w zmienności zrealizowanej. Wynik może ujawnić wzorzec wart sprawdzenia. Sam nie wskazuje przyczyny, nie mierzy prawdopodobieństwa zdarzeń ogonowych ani nie zamienia historycznej asymetrii w sygnał transakcyjny.