Wariacja bipower: wyjaśnienie wariancji zrealizowanej odpornej na skoki

Wysokoczęstotliwościowa wariancja zrealizowana sumuje kwadraty śróddziennych logarytmicznych stóp zwrotu. Gdy odstęp próbkowania maleje w odpowiednim modelu semimartyngałowym, RV zbiega do wariacji kwadratowej. Jeśli ścieżka ceny zawiera zarówno ciągłą dyfuzję, jak i skoki, granica obejmuje wariancję całkową oraz sumę kwadratów skoków. RV mierzy więc całkowitą zmienność ex post, ale sama nie pokazuje, jaka część wynika z ruchu ciągłego, a jaka z nieciągłości.

Wariacja bipower używa innego elementu konstrukcyjnego: zamiast podnosić do kwadratu pojedynczą stopę zwrotu, mnoży wartości bezwzględne dwóch sąsiednich stóp. W modelu granicznym odosobniony skok zwykle trafia do jednego przedziału stopy zwrotu, a sąsiednia stopa jest na ogół małym przyrostem dyfuzyjnym. W miarę zagęszczania siatki iloczyn stopy zawierającej skok i jej sąsiada maleje; iloczyny sąsiednich stóp dyfuzyjnych nadal kumulują zmienność ciągłą. Barndorff-Nielsen i Shephard zaproponowali wykorzystanie wariacji potęgowej i bipower do rozdzielania wariancji całkowej od zmienności powodowanej rzadkimi skokami w określonych modelach (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2004).

Celem jest historyczna wariancja całkowa \(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\), a nie prognoza zmienności na kolejny okres. Przewodnik po obliczaniu zmienności zrealizowanej omawia miarę opartą na kwadratach stóp zwrotu; ten artykuł wyjaśnia, dlaczego iloczyny sąsiednich wartości bezwzględnych reagują na skoki inaczej.

Rozważmy proces logarytmu ceny w ustalonym oknie:

\[ X_t=X_0+\int_0^t b_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dW_s+J_t, \]

gdzie pierwszy składnik po \(X_0\) jest dryfem o skończonej wariacji, \(\sigma_t\) oznacza chwilową zmienność dyfuzji, a \(J_t\) składnik skokowy. Wariacja kwadratowa tego procesu rozkłada się na

\[ [X]_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt+\sum_{0<t\leq T}(\Delta X_t)^2, \]

gdzie \(\Delta X_t=X_t-X_{t-}\). Pierwszy składnik to ciągła wariancja całkowa, a drugi — wariacja skokowa. Wkład skoku jest równy kwadratowi jego wielkości, niezależnie od tego, czy skok jest dodatni, czy ujemny. Przewodnik po wariacji kwadratowej w finansach wyjaśnia, dlaczego ta wielkość opisująca ścieżkę różni się od wariancji zbioru statycznych cen.

Dla \(n\) śróddziennych logarytmicznych stóp zwrotu \(r_i=X_{i\Delta}-X_{(i-1)\Delta}\), gdzie \(\Delta=T/n\), wariancja zrealizowana wynosi

\[ RV_n=\sum_{i=1}^{n}r_i^2. \]

Gdy siatka próbkowania zagęszcza się przy standardowych warunkach semimartyngałowych, \(RV_n\) szacuje pełną wariację kwadratową, łącznie ze skokami. Raport nazywający RV „zmiennością ciągłą” bez założenia braku skoków miesza zatem dwa różne cele.

Niech \(Z\) ma standardowy rozkład normalny, a \(\mu_1=E|Z|=\sqrt{2/\pi}\). Jedna z powszechnych konwencji zrealizowanej wariacji bipower ma postać

\[ BV_n=\mu_1^{-2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}| =\frac{\pi}{2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}|. \]

Czynnik \(\pi/2\) przeskalowuje iloczyn wartości bezwzględnych dwóch przyrostów gaussowskich do skali wariancji ciągłej. Czynnik \(n/(n-1)\) jest poprawką brzegową dla małej próby stosowaną w jednej z powszechnych konwencji; niektóre definicje go pomijają, ponieważ dla rosnącego \(n\) dąży do jedności. Przy porównywaniu wyników podaj zastosowaną konwencję.

Suma wykorzystuje nakładające się pary sąsiednich obserwacji: stopa 2 jest łączona ze stopą 1, stopa 3 ze stopą 2 itd. Nie klasyfikuje każdej obserwacji jako „skok” albo „brak skoku”. Wynik asymptotyczny opiera się na tym, że przy skokach o skończonej aktywności, w miarę zagęszczania siatki tylko skończona liczba małych sąsiedztw zawiera skok, podczas gdy iloczyny sąsiednich stóp dyfuzyjnych tworzą granicę ciągłej wariancji całkowej. Przy swoich założeniach twierdzenia graniczne dopuszczają szerokie zachowania zmienności stochastycznej, w tym zależność typu efektu dźwigni (Barndorff-Nielsen et al., 2006).

<!-- learn:illustration -->

Załóżmy, że hipotetyczna sesja obejmuje siedem logarytmicznych stóp zwrotu wyrażonych w punktach bazowych:

Przyjmijmy, że czwarta stopa zawiera jeden hipotetyczny skok o wielkości \(+12\) bp, a ciągły ruch w tym przedziale jest pomijalny. Wówczas

\[ RV_7=1+1+0.01+144+0.01+1+1=148.02\ \mathrm{bp}^2. \]

Suma sześciu sąsiednich iloczynów wartości bezwzględnych wynosi \(4.60\ \mathrm{bp}^2\). Przy opisanej konwencji z poprawką brzegową

\[ BV_7=\frac{\pi}{2}\frac{7}{6}(4.60)\approx 8.42994\ \mathrm{bp}^2, \qquad RV_7-BV_7\approx139.59006\ \mathrm{bp}^2. \]

Kwadrat dodanego skoku wynosi \(12^2=144\ \mathrm{bp}^2\). Różnica nie jest dokładnie równa 144: sąsiednie iloczyny wokół skoku zawierają składniki \(12\times0.1\), a próba z siedmioma stopami ma również zwykłą zmienność wynikającą ze skończonej liczebności. Ten mały, wymyślony przykład pozwala sprawdzić rachunki; nie są to zaobserwowane dane rynkowe ani twierdzenie, że różnica z krótkiego okna dokładnie odtwarza wariację skokową.

Standardowy wynik zgodności jest warunkowy. W semimartyngale z ciągłą zmiennością stochastyczną i skończoną liczbą skoków w oknie BV zbiega do ciągłej wariancji całkowej przy coraz gęstszym próbkowaniu bez szumu mikrostrukturalnego. W tym samym układzie \(RV_n-BV_n\) zbiega do sumy kwadratów skoków. To rozdzielenie asymptotyczne, a nie gwarancja dla każdej serii stóp zwrotu ani każdej skończonej siatki.

Warunek skończonej aktywności ma znaczenie. Przy wielu małych skokach lub nieskończonej aktywności skoków wariacja skokowa może w istotny sposób wpływać na iloczyny sąsiednich wartości bezwzględnych; standardowy wynik BV nie musi wtedy izolować wyłącznie składnika Browna. Mogą być potrzebne rozszerzenia, obcinanie lub inne testy skoków, każde z własnymi założeniami. Aït-Sahalia i Jacod opracowali odrębny test skoków wysokiej częstotliwości o szerszym zakresie procesów semimartyngałowych; jest to alternatywna metoda testowania, a nie dowód, że zwykła BV obsługuje każdy proces skokowy (Aït-Sahalia & Jacod, 2009).

Znaczenie ma również projekt obserwacji. Stopy zwrotu powinny dotyczyć wspólnego okna i uzasadnionej serii cen. Rzadkie obserwacje, nieaktualne kwotowania, handel asynchroniczny, luki nocne i skoki blisko granic sesji osłabiają interpretację gęstej siatki. Częstsze próbkowanie pomaga tylko wtedy, gdy obserwacje przybliżają ukrytą cenę efektywną, zamiast dodawać więcej szumu mikrostrukturalnego.

W asymptotycznym modelu bez szumu, z aktywnością skoków skończoną, RV minus BV szacuje wariację skokową. W skończonej próbie różnica może być ujemna, choć suma kwadratów skoków nie może być ujemna. Dzieje się tak, ponieważ RV i BV są zaszumionymi estymatorami różnych granic. Nie zastępuj po cichu wartości ujemnych zerem: obcięcie zmienia zachowanie próbkowania estymatora i powinno zostać jawnie opisane.

Test statystyczny odpowiada na inne pytanie: czy zaobserwowana różnica jest duża względem niepewności próbkowania przy hipotezie zerowej o braku skoków? Barndorff-Nielsen i Shephard wyprowadzili testy asymptotyczne oparte na zrealizowanej wariacji potęgowej i wariacji bipower. W praktycznych wersjach szacuje się odpowiednią kwarticzność, często za pomocą miar multipower, zamiast traktować surową różnicę jako próg istotności (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2006). Później opracowano progową wariację bipower, aby ograniczyć zniekształcenia powodowane przez skoki w małych próbach i umożliwić wnioskowanie przy alternatywach ze skokami (Corsi, Pirino & Reno, 2010).

Wykryty skok nadal jest klasyfikacją statystyczną zależną od modelu, wybranej częstotliwości próbkowania i poziomu istotności. Nie identyfikuje przyczyny informacyjnej, nie dowodzi, że inwestor mógł zawrzeć transakcję po zapisanej cenie ani nie potwierdza rentowności strategii.

Klasyczna BV nie jest estymatorem wysokiej częstotliwości odpornym na szum. Przy cenie obserwowanej \(Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}\) odbicia bid-ask, zaokrąglenia i aktualizacje kwotowań dodają szum do każdej stopy zwrotu. Ponieważ BV mnoży wartości bezwzględne sąsiednich stóp, sam fakt użycia sąsiednich iloczynów nie usuwa szumu. Przy bardzo gęstym próbkowaniu jego udział może nawet stać się ważniejszy.

To inny problem niż skoki. Realized kernels i wariancja zrealizowana dwóch skal służą do estymacji zmienności przy szumie mikrostrukturalnym, ale wykorzystują inne konstrukcje. Nie są zamienne ze standardową BV, a odporność na szum nie oznacza odporności na skoki. Przewodnik po realized kernel opisuje jedną z metod ukierunkowanych na szum.

Jeśli pytanie badawcze wymaga jednoczesnego uwzględnienia szumu i skoków, użyj metody wyprowadzonej dla obu tych cech i podaj jej warunki. Podolskij i Vetter opracowali modulowaną wariację bipower dla zaszumionych obserwacji oraz warianty odporne na skoki o skończonej aktywności; to zmodyfikowany estymator, a nie niekorygowany wzór powyżej (Podolskij & Vetter, 2009). Praktyczne alternatywy obejmują rzadsze próbkowanie, pre-averaging, miary progowe albo estymator odporny na szum. Każdy wybór zmienia estymand, parametry dostrajania lub sposób obliczania niepewności.

Przy spełnionych założeniach BV szacuje historyczny składnik ciągłej wariancji całkowej. RV szacuje całkowitą wariację kwadratową ścieżki zawierającej skoki. Ich różnica może asymptotycznie szacować kwadratową wariację skokową. Żadna z tych wielkości nie jest automatycznie prognozą, limitem ryzyka ani sygnałem wejścia. Model prognostyczny może wykorzystywać wcześniejsze RV i BV jako oddzielne predyktory, ale ich wartość predykcyjną trzeba ocenić poza próbą, kontrolując moment dostępności informacji i koszty transakcyjne.

Pierwiastek kwadratowy z estymaty wariancji jest miarą zmienności dopiero po określeniu okna i jednostki. Jeśli stopy zwrotu są w punktach bazowych, wariancja ma jednostkę bp², a jej pierwiastek — bp dla próbkowanego okna. Annualizacja wymaga jawnego założenia o skalowaniu czasu; pomnożenie przez czynnik kalendarzowy nie usuwa skoków, szumu mikrostrukturalnego ani decyzji dotyczących pomiaru okresów nocnych. Przewodnik po ryzyku skoków omawia znaczenie nieciągłych zmian cen dla ekspozycji zabezpieczającej, ale nie zamienia historycznej dekompozycji BV w instrukcję transakcyjną.

Podaj instrument, źródło ceny (transakcje, kwotowania lub ich środek), definicję stopy zwrotu, częstotliwość próbkowania, granice sesji oraz sposób traktowania luk nocnych i brakujących obserwacji. Podaj wzory RV i BV, konwencję normalizacji dla skończonej próby, liczbę stóp zwrotu i jednostki. Jeśli obliczasz \(RV-BV\), pokaż surową różnicę i określ, czy zastosowano próg, obcięcie lub ograniczenie do wartości nieujemnej.

Wyjaśnij, jaki model uzasadnia interpretację: ciągła zmienność stochastyczna ze skokami o skończonej aktywności czy szerszy model skoków wykorzystujący inny estymator. Ujawnij korektę szumu mikrostrukturalnego, statystykę testu skoków, estymatę kwarticzności, poziom istotności i korektę wielokrotnego testowania. Wraz z dekompozycją podaj miarę niepewności.

Zaletą wariacji bipower jest to, że iloczyny sąsiednich bezwzględnych stóp zwrotu zachowują granicę wariacji ciągłej, a jednocześnie ograniczają asymptotyczny wpływ odosobnionych skoków o skończonej aktywności. Trzeba też podać jej ograniczenia: standardowy wzór nie jest uniwersalnym filtrem skoków, testem istotności ani korektą szumu mikrostrukturalnego. Uwzględniaj te zastrzeżenia w analizie ryzyka i badaniach.