R§0¤d§7¤–Nikodym Deriv§1¤tive §4¤ F§5¤§2¤nce Expl§3¤§6¤ed

Q jest ciągła absolutnie względem P, co zapisuje się Q ≪ P, gdy każde zdarzenie zerowe względem P jest także zerowe względem Q

Twierdzenie Radona–Nikodyma daje wtedy nieujemną gęstość Z = dQ/dP, jednoznaczną z dokładnością do zbiorów zerowych względem P

Jeżeli P i Q są równoważne, każda z nich jest ciągła absolutnie względem drugiej i obie zgadzają się co do tego, które zdarzenia są niemożliwe

Dla dowolnego zdarzenia A, Q(A) = E_P[Z 1_A]. Dla miar probabilistycznych E_P[Z] = 1

Wartości Z większe od jedności zwiększają względną wagę wyniku względem Q; wartości mniejsze od jedności ją zmniejszają

Z nie jest pochodną względem czasu ani ceny. Jest gęstością jednej miary względem innej

Dla całkowalnej wypłaty X, E_Q[X] = E_P[ZX], przy spełnieniu wymaganych warunków całkowalności

Tożsamość ta zmienia wagi, a nie wypłatę ani przestrzeń prób. Ten sam wynik X jest uśredniany inaczej

Gdy miary są równoważne, a Z jest dodatnie, dP/dQ = 1/Z zachodzi Q-prawie wszędzie; zmiany gęstości spełniają także regułę łańcucha

W modelu o skończonej liczbie stanów Z_s = q_s/p_s, gdy p_s jest dodatnie, więc q_s = p_s Z_s

To ta sama logika co w próbkowaniu ważnościowym: losuj z jednego rozkładu i koryguj średnią ilorazem wiarygodności

Bardzo zmienne gęstości koncentrują wagę na niewielu stanach i mogą tworzyć niestabilne estymaty Monte Carlo, nawet gdy tożsamość jest ścisła

Dla końcowej gęstości Z_T zdefiniuj Z_t = E_P[Z_T | F_t]. Proces ten jest nieujemnym martyngałem P

Warunkowe wartości oczekiwane spełniają E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t, gdy Z_t jest dodatnie

Filtracja ma znaczenie, ponieważ Z_t zapisuje tę część końcowego przeważenia, która jest widoczna przy informacji dostępnej w chwili t

Modele wyceny aktywów szukają równoważnej miary Q, względem której odpowiednio zdyskontowane ceny aktywów będących przedmiotem obrotu są martyngałami lub lokalnymi martyngałami

Twierdzenie Girsanova opisuje, jak gęstość zmienia dryf ruchu Browna, zachowując niepewność dyfuzyjną i zdarzenia zerowe

Przy numeraire rynku pieniężnego stochastyczny czynnik dyskontowy można, przy odpowiednich założeniach, zapisać jako dyskontowanie razy dQ/dP

Risk-neutral Q jest miarą wyceny, a niekoniecznie prognozą częstości występowania w świecie rzeczywistym względem P

Proponowana gęstość musi być nieujemna, całkować się do jedności, respektować filtrację i sprawiać, że zamierzone zdyskontowane aktywa są martyngałami

Przed użyciem przekształconych wartości oczekiwanych podaj miary bazową i docelową, numeraire, horyzont, konwencję gęstości, całkowalność i diagnostykę numeryczną