Analiza głównych składowych (PCA) — wyjaśnienie

PCA stosuje się do danych wycentrowanych po odjęciu średniej z próby dla każdej zmiennej. W przeciwnym razie średnie poziomy mogą zdominować to, co powinno być kierunkiem zmienności.

Przed obliczeniem wybierz sensowne przekształcenia. Wspólny trend w niestacjonarnych poziomach cen może udawać użyteczny wspólny sygnał ryzyka.

Brakujące wartości, obserwacje odstające, częstotliwość i okno próby zmieniają kowariancję. Projekt danych przed PCA ma większe znaczenie niż nazwa nadana wynikowi później.

PCA na macierzy kowariancji zachowuje oryginalne jednostki, więc zmienna o większej zmienności może mieć większy wpływ na główne kierunki.

PCA na macierzy korelacji najpierw skaluje każdą zmienną do wariancji równej jeden. Ogranicza wpływ jednostek, ale może odrzucić ekonomicznie istotne różnice w skali.

Cel determinuje wybór. Zmiany rentowności w podobnych jednostkach i mieszany zbiór wskaźników nie muszą wymagać tej samej macierzy.

Pierwsza główna składowa jest kierunkiem jednostkowym, którego obserwacje po projekcji mają największą możliwą wariancję próby.

Każda kolejna składowa maksymalizuje pozostałą wariancję projekcji, pod warunkiem że jest ortogonalna do wszystkich składowych wybranych wcześniej.

Ortogonalność sprawia, że wyniki składowych są nieskorelowane w dopasowanej próbie. Nie dowodzi to, że leżące u podstaw szoki ekonomiczne są niezależne.

Ładunki są wagami łączącymi oryginalne zmienne w składową. Pokazują, które zmienne wskazują konkretną oś albo są skierowane przeciwnie do niej.

Wyniki są współrzędnymi uzyskanymi przez rzut każdej obserwacji na tę oś. Ładunki definiują kierunek, a wyniki poruszają się w czasie wzdłuż niego.

Wektor własny można pomnożyć przez minus jeden bez zmiany jego osi. Samo odwrócenie znaku nie jest dowodem, że relacja ekonomiczna się odwróciła.

Wartość własna składowej równa się jej wariancji próby. Podzielenie jej przez sumę wszystkich wartości własnych daje jej udział w wyjaśnionej wariancji.

Wykres osypiska i skumulowana wyjaśniona wariancja są punktami wyjścia do wyboru wymiaru. Stały próg, taki jak 80%, nie jest uniwersalnie optymalny.

Kierunek o małej wariancji nadal może zawierać informację predykcyjną albo wiążącą relację zabezpieczającą. Wyjaśniona wariancja nie równa się przewidywalności zwrotu.

Zbyt mała liczba składowych pomija strukturę, a zbyt duża zachowuje szum próby obok trwałego wspólnego ruchu.

Porównuj błąd rekonstrukcji, walidację krzyżową właściwą dla zadania, luki między wartościami własnymi i stabilność bootstrapową zgodnie z zamierzonym zastosowaniem.

Ponownie estymuj ładunki i wyjaśnioną wariancję na próbach kroczących. Użycie osi z pełnej próby w prognozie historycznej wprowadza informację z przyszłości.

Zmiany krzywej dochodowości mogą być kompresowane do osi podobnych do poziomu, nachylenia i krzywizny, podczas gdy zwroty z akcji mogą ujawniać kierunki szerokie i właściwe dla grup.

W przypadku portfeli główne osie pokazują, czy ryzyko jest skoncentrowane mimo dużej nominalnej liczby pozycji.

Nazwanie osi statystycznej „wzrostem” albo „płynnością” wymaga zmiennych zewnętrznych, rozumowania ekonomicznego i walidacji na innej próbie.

Ujawnij zmienne, przekształcenia, waluty, jednostki, centrowanie, skalowanie, traktowanie brakujących wartości, obserwacje odstające i okno estymacji.

Podaj macierz, wartości własne, wyjaśnioną wariancję, ładunki, regułę obliczania wyników i kryterium wymiaru, aby inny analityk mógł odtworzyć wynik.

Pokaż wyniki poza próbą i stabilność kroczącą. PCA jest oszacowanym układem współrzędnych dla wybranych danych, a nie stałą mapą rzeczywistości.