Martyngały lokalne a ścisłe martyngały lokalne — wyjaśnienie

Proces zaadaptowany M jest lokalnym martyngałem, jeśli czasy stopu τ_n rosną prawie na pewno do nieskończoności, a każdy zatrzymany proces M_{t∧τ_n} jest martyngałem

Zatrzymania mogą ograniczać eskapady lub całki, dzięki czemu wartości oczekiwane warunkowe są dobrze zachowane w każdym zlokalizowanym obszarze

Lokalizacja jest narzędziem dowodowym dotyczącym rozszerzających się bezpiecznych obszarów; nie oznacza, że proces jest w przybliżeniu martyngałem tylko dla krótkich horyzontów kalendarzowych

Każdy prawdziwy martyngał jest lokalny, ponieważ zgodnie z odpowiednią definicją można użyć trywialnych lub ograniczających czasów stopu

Odwrotność wymaga warunków takich jak jednostajna całkowalność albo odpowiednie ograniczenie, które pozwalają przenieść granice przez warunkowe wartości oczekiwane

Bez takiej kontroli masa może uciekać przez coraz rzadsze, ekstremalne ścieżki, gdy bariery lokalizujące odsuwają się

Nieujemny lokalny martyngał jest supermartyngałem na podstawie argumentów typu Fatou, więc E[M_t] ≤ E[M_s] dla s ≤ t

Jest prawdziwym martyngałem, gdy wartość oczekiwana jest zachowana przy odpowiedniej całkowalności; ścisły lokalny martyngał ma rzeczywisty ubytek wartości oczekiwanej

Sam brak lokalnego dryfu nie oznacza zatem stałej bezwarunkowej wartości oczekiwanej

Eksponenty stochastyczne są dodatnimi lokalnymi martyngałami i naturalnymi kandydatami na procesy gęstości przy zmianach miary

Warunki takie jak Novikova lub Kazamakiego mogą wykazać własność prawdziwego martyngału, ale są testami wystarczającymi, a nie wzajemnie wymiennymi definicjami

Jeśli kandydacka gęstość jest ścisła, jej końcowa wartość oczekiwana jest mniejsza od jedności i bez dodatkowego postępowania nie może definiować zamierzonej równoważnej miary probabilistycznej

W niektórych definicjach wyceny aktywów zdyskontowany nieujemny ścisły lokalny martyngał ma cenę rynkową wyższą od mniejszej wartości oczekiwanej fundamentów

Brakującą wartość oczekiwaną, często nazywaną defektem martyngała, można wykorzystać do zmierzenia tej zależnej od modelu różnicy

Jest to stwierdzenie wewnątrz określonej miary, filtracji, klasy dopuszczalności i reguły wyceny — nie jest automatycznym dowodem, że aktywo będące przedmiotem obrotu jest empirycznie błędnie wycenione

Standardowa parytetowa relacja put–call i monotoniczność ceny call względem terminu często wykorzystują własność prawdziwego martyngału zdyskontowanego instrumentu bazowego

W przypadku ścisłych lokalnych martyngałów parytet może zyskać składnik defektu, a pozornie naturalne wartości call mogą zależeć od konwencji dotyczących zabezpieczenia lub dopuszczalności

Zawsze wyprowadzaj tożsamości z wartości oczekiwanej modelu i założeń dotyczących obrotu, zamiast bez zmian importować wzory braku arbitrażu

Sprawdź analitycznie lub numerycznie zachowanie wartości oczekiwanej, zachowanie brzegowe, eksplozję, jednostajną całkowalność i poprawność każdego procesu gęstości

Metoda Monte Carlo może nie uchwycić rzadkich ścieżek odpowiedzialnych za utratę wartości oczekiwanej, więc stabilna średnia z próby jest słabym dowodem własności martyngału

Używaj warunków brzegowych PDE, asymptotyk, kryteriów ścisłości, badań obcięcia i estymat defektu martyngała razem z symulacją