Procesy Lévy’ego i kompensatory skoków — wyjaśnienie

Dla procesu Lévy’ego X przyrosty na rozłącznych przedziałach są niezależne, a prawo X_{t+h}-X_t zależy tylko od h

Ciągłość stochastyczna wyklucza stałe nieciągłości w prawdopodobieństwie, a wersja càdlàg daje ścieżki prawostronnie ciągłe z granicami lewostronnymi

Model ma zatem jednorodne w czasie prawo przyrostów — to silne założenie, które jest użyteczne analitycznie, ale można je testować empirycznie

Konwencja obcięcia daje trójkę (b, σ², ν): dryf, wariancję Browna i miarę skoków Lévy’ego

Miara ν zapisuje oczekiwaną intensywność skoków według rozmiaru i musi spełniać ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

Zmiana funkcji obcięcia może zmienić raportowany dryf b, ale nie prawo procesu, jeśli wszystkie składniki trójki zostaną przekształcone spójnie

Funkcja charakterystyczna ma postać E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), gdzie ψ wynika z trójki

Niezależne stacjonarne przyrosty zamieniają splot w czasie w mnożenie, co staje się liniowym skalowaniem wykładnika charakterystycznego

Ta struktura wspiera fourierowskie metody wyceny opcji, ale numeryczne odwracanie nadal wymaga kontroli tłumienia, siatki i obcięcia

Rozkład zapisuje X jako dryf, składnik Browna, duże skoki i skompensowane małe skoki

Duże skoki mają skończoną intensywność powyżej każdego ustalonego progu, a nieskończenie wiele małych skoków może wystąpić w skończonym czasie

Nieskończona aktywność i nieskończona wariacja to różne własności, więc trzeba badać całki względem ν, zamiast wyprowadzać jedną z drugiej

Niech N(dt,dx) liczy skoki rozmiaru x; kompensatorem procesu Lévy’ego jest dtν(dx)

Skompensowana miara Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) odejmuje przewidywalne przybycia skoków, a odpowiednio całkowane niespodzianki tworzą lokalny martyngał

Surowa suma skoków i całka skompensowana mają różne dryfy, więc przejście między nimi bez korekty skończonej wariacji zmienia model

Modele aktywów często przyjmują S_t = S_0e^{X_t} albo wykorzystują eksponentę stochastyczną, ale sama dodatniość nie sprawia, że zdyskontowana cena jest martyngałem

Wykładnik charakterystyczny musi spełniać odpowiedni warunek momentu wykładniczego i martyngałowości dla wybranej miary wyceny

Skoki tworzą ryzyko niepokryte, więc równoważne miary martyngałowe mogą nie być jednoznaczne i wycena wymaga dodatkowej reguły wyboru

Skoki Lévy’ego mogą lepiej dopasowywać skośność, ciężkie ogony i uśmiechy dla krótkich terminów niż czysta dyfuzja

Stacjonarne niezależne przyrosty wykluczają skupianie zmienności, dynamikę efektu dźwigni i zmienną w czasie intensywność skoków, chyba że model zostanie rozszerzony

Sprawdź istnienie momentów, obcięcie małych skoków, korektę martyngałową, stabilność kalibracji, ekstrapolację ogonów i błąd hedgingu poza próbą