Realized GARCH uitgelegd: rendementen en gerealiseerde volatiliteitsmaten gezamenlijk modelleren

ARCH- en GARCH-modellen leiden veranderende variantie af uit een reeks rendementen. Engle introduceerde ARCH en Bollerslev ontwikkelde de gegeneraliseerde vorm (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Eén rendement is een ruisachtig signaal over de omvang van bewegingen in de periode: een klein rendement tussen twee slotkoersen betekent niet dat de sessie rustig was, en één groot rendement laat niet zien welk koerspad eraan voorafging. Intradayprijzen kunnen een afzonderlijke gerealiseerde maat opleveren, zoals gerealiseerde variantie, met meer informatie over bewegingen binnen de sessie.

Realized GARCH neemt die maat op in de variantiedynamiek. In de basisspecificatie helpen zowel de conditionele variantie als de gerealiseerde maat van de vorige periode bij het bijwerken van de huidige conditionele variantie. Het model bevat ook een vergelijking voor de gerealiseerde maat zelf. Die extra vergelijking is essentieel: ze beschrijft het verband tussen de maat, latente variantie en de rendementschok, in plaats van de maat als een onverklaarde externe invoer te behandelen.

Het oorspronkelijke artikel rapporteert een betere empirische fit dan GARCH op basis van alleen dagelijkse rendementen, voor een steekproef van Dow Jones-aandelen en één beursgenoteerd indexfonds. Dat is een resultaat voor die steekproef en geen garantie dat Realized GARCH elk activum of elke periode beter voorspelt. Zie de GARCH-gids voor het basismodel op basis van alleen rendementen.

Noem \(r_t\) het rendement voor periode \(t\), na aftrek van het conditionele gemiddelde als het model dat bevat. Laat \(h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})\) de conditionele variantie zijn die aan het begin van die periode bekend is, en \(x_t\) een positieve gerealiseerde maat die tijdens of aan het einde van periode \(t\) wordt waargenomen. Zo kan \(x_t\) de som zijn van intradayrendementen in het kwadraat, uitgedrukt in dezelfde eenheden van rendement-kwadraat als \(h_t\).

De tijdsvolgorde is belangrijk. Een prognose van \(h_t\) gebruikt informatie die beschikbaar is voordat periode \(t\) begint. Na waarneming van \(r_t\) en \(x_t\) werkt het model de volgende variantieprognose, \(h_{t+1}\), bij. Gebruik \(x_t\) niet om te beweren dat \(h_t\) al was voorspeld voordat periode \(t\) zich had voltrokken.

Realized GARCH modelleert de dynamiek van rendementen en een gemeten volatiliteitsproxy gezamenlijk. Het is niet hetzelfde als MIDAS-regressie, die een gestructureerde laggewichtsfunctie gebruikt om gegevens met verschillende frequenties te verbinden. Beide kunnen intradayinformatie gebruiken, maar vergelijk eerst de vergelijkingen, het voorspeldoel en het informatietijdstip.

Een gangbaar Realized GARCH\(1,1\)-model heeft een rendementsvergelijking, een variantievergelijking en een meetvergelijking:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Hier is \(z_t\) de gestandaardiseerde rendementsinnovatie, \(u_t\) de meetfout en laat \(\tau(z_t)\) de waargenomen maat afhangen van de rendementschok. De eerste vergelijking schaalt een schok met variantie één met de conditionele standaardafwijking. De tweede werkt de logvariantie bij met de vorige logvariantie en loggerealiseerde maat. De derde verbindt de log van de waargenomen maat met de huidige latente logvariantie, de rendementschok en een meetinnovatie.

De logvorm is handig omdat positieve waarden van \(h_t\) en \(x_t\) op een onbegrensde logschaal kunnen worden weergegeven; exponentiëren van de variantieprognose levert een positieve waarde op. Het intercept \(\omega\) is daarom een intercept voor logvariantie en niet zelf de langetermijnvariantie. In het basismodel worden de parameters gezamenlijk geschat en niet los gelezen als afzonderlijke maatstaven voor persistentie.

Door de meetvergelijking op \(t−1\) in de variantie-update te substitueren, wordt zichtbaar hoe de gerealiseerde maat terugkoppelt naar de logvariantie:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Voor deze \(1,1\)-specificatie wordt de persistentie van de logvariantie samengevat door \(β + γφ\), niet alleen door \(β\). De meetrelatie draagt bij aan de terugkoppeling: een hogere variantie in de vorige periode hangt samen met een hogere gerealiseerde maat, die vervolgens in de volgende update terechtkomt. Deze algebra helpt de geschatte coëfficiënten te interpreteren, maar bewijst niet de stationariteit van elke uitbreiding van Realized GARCH. De gevolgtrekking moet aansluiten bij de beperkingen voor de werkelijk geschatte specificatie.

Hansen, Huang en Shek introduceren lineaire en loglineaire vormen van dit gezamenlijke model en beschrijven de structuur met drie vergelijkingen (2012). De precieze lagorden, gerealiseerde maat, conditionele gemiddelde en aannames over innovaties moeten overeenkomen met de geschatte specificatie.

De meetvergelijking helpt verklaren waarom de gerealiseerde maat kan meebewegen met zowel latente variantie als de rendementschok. Een gangbare leveragefunctie is

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

De lineaire en gecentreerde kwadratische termen kunnen een asymmetrische samenhang tussen rendementschokken en de gerealiseerde maat weergeven. De coëfficiënten bepalen de vorm; de formule alleen bewijst niet dat negatieve rendementen toekomstige volatiliteit veroorzaken.

In de basisformulering van het artikel zijn \(z_t\) en \(u_t\) afzonderlijke innovaties; \(z_t\) is gestandaardiseerd en de innovaties zijn onderling onafhankelijk. Dat is een hanteerbare statistische specificatie, geen bewijs dat marktrendementen of meetfouten in elke steekproef een bepaalde verdeling volgen. Voor schatting kan een Gaussische quasi-likelihood worden gebruikt zonder normaliteit als feit te stellen.

Deze vergelijking onderscheidt Realized GARCH ook van GARCH-X. GARCH-X kan een waargenomen maat in de variantie-update opnemen zonder de eigen dynamiek ervan vast te leggen. Realized GARCH modelleert de gerealiseerde maat ook, waardoor meerstapsprognoses mogelijk zijn wanneer toekomstige maten nog niet zijn waargenomen. Het model beschrijft een gezamenlijke statistische relatie; de gerealiseerde maat wordt daarmee geen externe oorzaak.

Stel dat een geschat loglineair model \(ω=-0.7824\), \(\beta=0.75\) en \(\gamma=0.15\) heeft. Neem aan dat aan het einde van periode \(t\) de huidige conditionele variantie \(h_t=0.0004\) is en de waargenomen gerealiseerde maat \(x_t=0.0009\). Alle waarden zijn hypothetisch en positief, en staan op dezelfde dagelijkse schaal voor variantie van decimale rendementen.

Gebruik de variantievergelijking om de prognose voor periode \(t+1\) bij te werken:

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

De impliciete conditionele standaardafwijking is \(\sqrt{0.0004517} \approx 0.02125\), of ongeveer 2,13% voor de genoemde rendementsperiode. De gerealiseerde maat beïnvloedt de volgende variantieprognose via de geschatte coëfficiënt. Deze berekening schat geen coëfficiënten opnieuw en gebruikt de meetvergelijking niet om te beweren dat \(x_t\) gelijk is aan \(h_t\).

Het voorbeeld laat alleen de rekenstappen zien. Parameteronzekerheid, schattingsfouten en waarnemingen buiten de steekproef ontbreken; het zegt dus niets over statistische significantie of betere prestaties dan een benchmark. <!-- learn:illustration -->

De schatting gebruikt tijdmatig uitgelijnde waarnemingen van rendementen en gerealiseerde maten. Een likelihood of quasi-likelihood combineert de rendementsvergelijking met de meetvergelijking. Andere aannames over de verdelingen of afhankelijkheidsstructuur van innovaties kunnen de geschatte parameters dus veranderen. Vermeld de schattingsmethode, aannames over innovaties, behandeling van het conditionele gemiddelde, de gerealiseerde maat en regels voor gegevensopschoning; presenteer de variantie-recursie niet zonder het meetmodel.

Na elke periode kan het model de nieuwe rendementen en gerealiseerde maat gebruiken om de toestand bij te werken en de volgende variantieprognose te maken. Bij een meerstapsprognose zijn toekomstige waarden van \(x\) onbekend. Een volledige Realized GARCH-specificatie bevat dynamiek voor de gerealiseerde maat. De prognose moet daarom rekening houden met de toekomstige verdeling of verwachting daarvan, in plaats van toekomstige gerealiseerde waarden uit de teststeekproef in te vullen.

Een evaluatie vraagt om een doel dat bij de prognose past, bijvoorbeeld de conditionele variantie van rendementen in de volgende periode of een gerealiseerde maat voor hetzelfde interval. Stem doel, proxy, eenheden, horizon en evaluatiedata op elkaar af. De likelihood binnen de steekproef vergelijkt model-fit, maar vervangt geen chronologische prognosetest.

Bewaar elke prognose op het tijdstip waarop die beschikbaar zou zijn geweest, schat opnieuw met alleen de informatie die op dat voorspelmoment beschikbaar was en vergelijk met een vooraf gekozen benchmark op een gemeenschappelijke steekproef. Kies de verliesfunctie voordat je de resultaten bekijkt en rapporteer het gepaarde verliesverschil met een onzekerheidsschatting die waar nodig afhankelijkheid meeneemt. De gids over QLIKE en kwadratische fouten legt uit hoe proxy-eigenschappen en de verlieskeuze de vergelijking beïnvloeden.

De bruikbaarheid van het model hangt af van de maat en het tijdsinterval. Een gerealiseerde maat op basis van intradayprijzen kan nachtelijke bewegingen uitsluiten, ook als \(r_t\) een rendement tussen slotkoersen is. Het oorspronkelijke artikel staat uitdrukkelijk een meetvenster toe dat korter is dan het rendementsinterval; de meetvergelijking hoeft \(x_t\) niet als een zuivere schatter van \(h_t\) op te leggen. Dat maakt vensterverschillen niet onschadelijk: de interpretatie van \(\phi\), het voorspeldoel en elke vergelijking hangen af van de intervallen.

Het artikel geeft een concreet voorbeeld: een maat op basis van ongeveer \(6.5\) handelsuren wordt gekoppeld aan de conditionele variantie van een rendement tussen slotkoersen over \(24\) uur. In die opzet verwachten de auteurs \(φ < 1\), omdat de intradaymaat maar een deel van het volledige rendementsinterval vastlegt. De geschatte \(φ\) hangt dus samen met de maat, sessie en rendementsdefinitie; het is geen universele kalibratiefactor die ongewijzigd naar een ander activum of steekproefontwerp kan worden overgezet.

Hoogfrequente gegevens kunnen ook bid-ask-bounce, asynchrone handel, prijsdiscretisatie, verouderde quotes en registratiefouten bevatten. De gids over tweeschalige gerealiseerde volatiliteit beschrijft een schatter voor situaties met microstructuurruis. Hansen en Lunde laten zien dat marktmicrostructuurruis de meting van gerealiseerde variantie wezenlijk kan beïnvloeden (2006). Een andere proxy kan de fit, prognoses en leverage-schattingen veranderen.

Omdat het loglineaire model \(\log x_t\) gebruikt, moet de gekozen maat strikt positief zijn. Als gegevens nul of negatieve waarden kunnen hebben, verandert een transformatie, filter of ondergrens het model en moet die keuze worden verantwoord en vermeld. Controleer of de maat sprongen bevat, welke sessie ze omvat, hoe ontbrekende bars zijn verwerkt en of de eenheden overeenkomen met de rendementsvariantie. Meer intradaywaarnemingen verwijderen meetfouten niet automatisch.

Gewone GARCH gebruikt vertraagde rendementen of gekwadrateerde innovaties en vertraagde variantie. Realized GARCH voegt een gerealiseerde maat toe aan de variantiedynamiek en modelleert die maat met een vergelijking die samenhangt met latente variantie en rendementschokken. GARCH-X behandelt een toegevoegde maat doorgaans als externe invoer. MIDAS-regressie gebruikt een parametrische laggewichten-curve over frequenties heen; GARCH-MIDAS is een verwante hybride waarvan de vergelijkingen apart moeten worden bekeken. Deze benamingen zijn niet onderling uitwisselbaar.

Het model voorspelt een conditionele variantie of gerealiseerde maat die onder de aannames is gedefinieerd. Het voorspelt niet de richting van rendementen, bewijst niet dat een intradaymaat de variantie van morgen veroorzaakt en stelt niet vast dat een strategie winstgevend is. Een sterke likelihood binnen de steekproef garandeert geen betere toekomstige prognoses. Handelsconclusies vragen om een afzonderlijk gedefinieerd signaal en een evaluatie na kosten voor spread, vergoedingen, marktimpact, financiering en risicolimieten.

Vermeld voor een reproduceerbaar rapport het activum en de steekproef, de rendementsdefinitie en het conditionele gemiddelde, de constructie en sessieperiode van de gerealiseerde maat, modelvergelijkingen en lagorden, aannames over innovaties, schattingsvenster, voorspelmoment en horizon, benchmark, verliesfunctie en onzekerheidsmethode. Rapporteer gevoeligheid voor plausibele alternatieve gerealiseerde maten en vermeld gegevensuitsluitingen of aanpassingen om waarden positief te maken.