Par-, spot- en forwardrentes: wat de rentecurve laat zien

Een obligatiecurve wordt opgebouwd uit prijzen of rendementen van effecten met verschillende betalingsschema’s en looptijden. De marktprijs van een couponobligatie vat meerdere toekomstige kasstromen samen in één rendement tot de einddatum. Een zero-coupon spotrente waardeert één betaling op één datum. Een forwardrente beschrijft de rente voor een periode die later begint. De maten hangen samen via dezelfde disconteringsrelaties, maar beantwoorden verschillende vragen over kasstromen.

Staat op een scherm “tweejaarsrente”, dan kan dat het rendement op een specifieke tweejarige Treasury note zijn, een constante-looptijdpunt op een gefitte parcurve, een zero-coupon spotrente of een forwardrente die op een toekomstige datum begint. Alleen de looptijd zegt niet welke maat wordt bedoeld. Controleer de bron en het instrument van de curve, de samengestelde-renteconventie en of het cijfer een huidig effectrendement, parrente, zerorente of rente voor een toekomstige periode is.

Drie praktische vragen helpen de termen uit elkaar te houden: welke rente verdisconteert één betaling op een bepaalde datum? Welke coupon zorgt ervoor dat een obligatie tegen pari wordt verhandeld? Welke rente voor een latere periode maakt twee beleggingsroutes met dezelfde begin- en einddatum gelijkwaardig? Dat zijn respectievelijk de spot-, par- en forwardvragen.

Een spotrente, voor de bijbehorende looptijd ook zero-couponrente genoemd, is de rente waarmee één betaling op die einddatum wordt verdisconteerd. Betaalt een hypothetische tweejarige zero-couponclaim aan het einde van jaar twee $100 en is de jaarlijkse effectieve spotrente 4%, dan is de waarde vandaag onder deze vereenvoudigde conventie $100 ÷ (1.04)², oftewel ongeveer $92.46. In deze kasstroom zitten geen tussentijdse coupons die verdisconteerd moeten worden.

Een disconteringsfactor geeft dezelfde relatie weer zonder een rendement op jaarbasis te brengen. Stel DF(T) gelijk aan de huidige waarde van $1 die op tijdstip T wordt ontvangen. Bij jaarlijkse samengestelde rente is DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, waarbij z(T) de spotrente is voor looptijd T in jaren. Een kasstroom C die op T wordt betaald, is C × DF(T) waard, vóór aanpassing voor andere risico’s of conventies. De disconteringsfactor is bij prijsberekeningen vaak directer, omdat die afzonderlijk op elke gedateerde betaling kan worden toegepast.

Een couponobligatie heeft betalingen op meerdere datums en vraagt daarom meestal om disconteringsfactoren voor elke betaaldatum. Alle coupons met één rendement tot de einddatum verdisconteren is alleen onder expliciete YTM-conventies een bruikbare verkorting; het is niet hetzelfde als iedere kasstroom over een spotcurve verdisconteren. Dat verschil is van belang wanneer de curve een helling heeft, kasstroomdatums onregelmatig zijn of twee obligaties verschillende coupons maar een vergelijkbare eindlooptijd hebben.

Een parrendement is de couponrente waardoor de waarde van een theoretische couponobligatie gelijk wordt aan de nominale waarde, gegeven de disconteringsfactoren van de curve en de veronderstelde betaaldatums. Voor een jaarlijks uitkerende obligatie met een nominale waarde van $100 en kasstromen in jaar 1 tot en met T voldoet de parcoupon c aan: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T). Bij halfjaarlijkse of onregelmatige betalingen tellen ook het verstreken deel van elke couponperiode en de bijbehorende discontodatums mee.

Deze definitie onderscheidt parrendement van de coupon en het rendement tot de einddatum van een bestaande obligatie. De coupon van een uitgegeven effect staat in de voorwaarden; het marktrendement verandert als de prijs beweegt. Een parrendement is daarentegen een coupon die uit de curve is afgeleid voor een theoretische nieuwe obligatie die tegen de nominale waarde wordt geprijsd. Het Amerikaanse ministerie van Financiën beschrijft zijn gepubliceerde curve als een gefitte parrendementscurve op basis van indicatieve biedkoersen, niet als een lijst met transactieprijzen van theoretische parobligaties. De methode zet marktprijzen om in rendementen, bootstrapt forwardrentes op de inputlooptijden en interpoleert vervolgens een curve die de inputs met een kleine prijsfout opnieuw prijst. De Treasury-methodologie licht die constructie toe.

Parrendement is nuttig om theoretische couponinstrumenten met een gekozen looptijd onder een consistente curve te vergelijken. Het betekent niet dat een bestaande obligatie met dezelfde looptijd die coupon betaalt, en het omvat niet de liquiditeit, fiscale behandeling, ingebouwde opties of afwikkelingsdetails van een specifiek effect. Gebruik voor één bepaalde obligatie de actuele prijs, coupondatums, aflossingsvoorwaarden en de toepasselijke conventie voor de rendementsberekening.

Een forwardrente is de rente die huidige prijzen impliceren voor lenen of beleggen gedurende een toekomstige periode. U kunt die afleiden door te vragen welke periode­rente ervoor zorgt dat twee beleggingsroutes met dezelfde begin- en einddatum hetzelfde eindbedrag opleveren. Onder een vereenvoudigde situatie zonder arbitrage en met jaarlijks samengestelde rente is de eenjaarsrente die over één jaar begint:

Forwardrente van jaar 1 tot jaar 2 = [(1 + tweejaars spotrente)² ÷ (1 + eenjaars spotrente)] − 1.

Als een belegging van $1 gedurende twee jaar tegen de tweejaars spotrente een ander bedrag oplevert dan een belegging van één jaar tegen de eenjaars spotrente die in jaar twee tegen de forwardrente wordt herbelegd, kan een belegger theoretisch de betere route kiezen. In echte markten maken leen- en spaarrentes, transactiekosten, onderpand, belastingen, kredietkwaliteit en instrumentconventies die theoretische replicatie niet voor iedere deelnemer exact. De formule is een heldere manier om de interne prijsrelatie van de curve te begrijpen, geen belofte van een verhandelbare rente voor elke omvang.

Stel bijvoorbeeld dat de jaarlijkse effectieve spotrente voor één jaar 3% is en die voor twee jaar 4%. Een belegging voor twee jaar wordt dan vermenigvuldigd met (1.04)² = 1.0816. De alternatieve route vermenigvuldigt de belegging in het eerste jaar met 1.03. De impliciete groeifactor voor jaar twee is dus 1.0816 ÷ 1.03 = 1.050097, wat neerkomt op een eenjaars forwardrente voor jaar twee van ongeveer 5.01%. De tweejaars spotrente is 4%, terwijl de forwardrente voor het laatste jaar ongeveer 5.01% is; het zijn verschillende maten van dezelfde curve.

Neem een volledig hypothetische zero-curve met jaarlijks effectieve samengestelde rente: de eenjaars spotrente is 3% en de tweejaars spotrente 4%. De disconteringsfactoren zijn DF(1) = 1 ÷ 1.03 = 0.970874 en DF(2) = 1 ÷ (1.04)² = 0.924556. Een zero-couponbetaling van $100 aan het einde van jaar één is vandaag ongeveer $97.09 waard; dezelfde $100 aan het einde van jaar twee is ongeveer $92.46 waard. Elke spotrente verdisconteert één eindbetaling op haar eigen datum.

Bereken nu welke jaarlijkse coupon een hypothetische obligatie van twee jaar met een nominale waarde van $100 precies $100 waard maakt, met aan het einde van elk jaar een coupon. De vergelijking luidt $100 = c × 0.970874 + ($100 + c) × 0.924556. De oplossing is c ≈ $3.9803, oftewel een parcouponrente van ongeveer 3.98%. Het tweejaars parrendement is iets lager dan de tweejaars zero-spotrente van 4%, omdat de parobligatie een deel van haar waarde al aan het einde van jaar één als coupon uitbetaalt; die coupon wordt verdisconteerd tegen de lagere eenjaars spotrente.

De impliciete eenjaars forwardrente van jaar één tot jaar twee is, zoals hierboven berekend, ongeveer 5.01%. De drie rentes beantwoorden dus verschillende vragen: 4% verdisconteert één betaling aan het einde van jaar twee; 3.98% is de coupon van een theoretische tweejarige obligatie die tegen pari wordt geprijsd; en 5.01% is de door de curve geïmpliceerde rente voor jaar twee bij jaarlijkse samengestelde rente. De cijfers zijn afgerond voor weergave; de berekening gebruikt niet-afgeronde disconteringsfactoren. Het zijn verzonnen invoerwaarden, geen marktwaarneming of actuele Treasury-notering.

Een forwardrente wordt wiskundig afgeleid uit huidige instrumentprijzen onder gekozen curve- en samengestelde-renteaannames. Ze is niet hetzelfde als de korte rente die in de toekomstige periode daadwerkelijk geldt. U kunt de forwardrente zien als een door de markt geïmpliceerde break-evenrente of, met aanvullende aannames, als een ruwe aanwijzing voor verwachte korte rentes. Ze kan ook compensatie bevatten voor rente-, inflatie- en andere risico’s.

Een analyse van de Federal Reserve beschrijft een forwardrente als een graadmeter voor de verwachte toekomstige korte rente plus een termijnpremie. Die exacte uitsplitsing is niet rechtstreeks uit één curve waarneembaar en hangt af van een model of aanvullend bewijs, zoals enquêtes of schattingen van de termijnpremie. De bespreking van forwardspreads door de Federal Reserve laat zien waarom een impliciete forward zowel informatie over beleidsverwachtingen als een risicopremie kan bevatten. Verschillende looptijden en schattingsmethoden kunnen daarom tot verschillende conclusies leiden.

Ook als een forwardrente een bruikbaar marktsignaal is, kan de gerealiseerde rente ervan afwijken. Toekomstige besluiten van centrale banken, inflatie, groei, risicobereidheid en vraag naar looptijdrisico kunnen veranderen. Beschouw een hoge impliciete forward niet als belofte dat de kortlopende financieringskosten dat niveau zullen bereiken, en evenmin als zelfstandige handelsinstructie. Het ministerie van Financiën waarschuwt ook dat zijn par- en constant-maturityreeksen waargenomen marktomstandigheden beschrijven en geen voorspelling van toekomstige rentes zijn.

De dagelijkse Constant Maturity Treasury-rente (CMT) wordt afgelezen van een punt op de gefitte parrendementscurve. Het hoeft niet het rendement te zijn op één specifieke Treasury die precies op die datum afloopt, en het is geen zero-coupon spotrente. Volgens het ministerie van Financiën gebruikt de dagelijkse parcurve indicatieve biedkoersen voor de meest recent geveilde effecten, verzameld rond 15.30 uur Eastern Time, en een monotone-convex-curve­methode. De punten worden uit marktinputs opgebouwd; een exacte CMT-looptijd is een curvewaarde, geen identificatie van een effect.

Het ministerie stelt ook dat CMT-rentes bond-equivalent yields zijn voor effecten met halfjaarlijkse coupons. Het zijn eenvoudige renten op jaarbasis, geen effectieve jaarrentes of APY’s. Volgens de Treasury-conventie komt een bond-equivalent yield van 8.00% na halfjaarlijkse samengestelde rente overeen met een effectieve jaarrente van 8.16%. De organisatie publiceert in die CMT-tabel geen dagelijkse zero-couponcurve. De aparte Treasury Coupon Issues-bronnen bevatten historische spot-, par- en forwardcurvedatasets met maandelijkse, driemaandelijkse of maandultimo-frequentie. De Treasury-FAQ over rentes licht deze verschillen toe.

Ook de constructiemethode van de curve is van belang. De huidige parcurve van Treasury interpoleert gebootstrapte forwardrentes; een andere aanbieder kan andere inputs, afvlakking of interpolatie gebruiken en daardoor een iets andere curve produceren. Een afgeleide spot- of forwardrente hangt dus samen met de curveconstructie en noteringsconventie. De rente kan intern consistent en bruikbaar zijn zonder een afzonderlijk verhandelbare Treasury te zijn.

Verdisconteer voor de waardering van toegezegde kasstromen elke gedateerde betaling met disconteringsfactoren uit de curve die bij het effect en de waarderingsdatum past. Een zero-coupon spotcurve is bedoeld om de tijdswaarde van elke betaaldatum weer te geven; voor krediet-, liquiditeits-, belasting- en optierisico kunnen aanvullende aanpassingen nodig zijn. Verdisconteer niet elke coupon tegen één looptijdrente, tenzij u bewust de YTM-methode kiest.

Gebruik voor de vergelijking van de coupon op een hypothetische nieuwe uitgifte tegen pari het passende parrendement en de couponfrequentie. Vermeld bij een rendement op een bestaande Treasury-benchmark of het om één specifieke note of om een CMT-curvepunt gaat. Gebruik voor de marktgeïmpliceerde rente over een toekomstige periode een forwardrente en vermeld begin- en einddatum, samengestelde-renteconventie en curvebron. Om verwachtingen voor korte rentes met termijnpremiecompensatie te vergelijken, volstaat een forward op zichzelf niet; daarvoor is een model- of enquêtemaatstaf nodig.

Deze verschillen verklaren ook waarom een rentecurvegrafiek er anders uit kan zien dan de prijsgevoeligheid van een obligatie. Lees over key-rate duration en rentecurverisico om te zien hoe een obligatieportefeuille reageert op curvebewegingen bij specifieke looptijden. Zie Treasury-termijnpremie en modelschattingen voor de bijdrage van termijnpremieschattingen aan langetermijnrentes. Voor de couponrente, current yield en YTM van één effect, lees obligatiecoupon versus current yield en YTM.

Noteer eerst het type en de bron van de curve. Is de input het rendement tot de einddatum van één effect, een Treasury CMT-parpunt, een geschatte spotrente of een forwardperiode? Controleer daarna of de rentes nominaal of reëel zijn, effectief op jaarbasis of bond-equivalent, en gebaseerd op jaarlijkse, halfjaarlijkse of een andere betalingsfrequentie. Een cijfervergelijking kan omkeren of misleidend zijn als de perioden of samengestelde-renteconventies verschillen.

Stem vervolgens kasstromen en datums op elkaar af. De parcoupon hangt af van de veronderstelde coupondatums; de spotdisconteringsfactor van de tijd tot elke betaling; en de forwardberekening van de exacte begin- en eindperioden. In een praktische curve beïnvloeden dagtelling, feestdagen, afwikkelingsvertraging, opgebouwde rente en interpolatie tussen genoteerde looptijden de uitkomst. Een verschil van enkele basispunten kan voortkomen uit een andere conventie of datacutoff en hoeft geen betekenisvol verschil van inzicht over de toekomst te zijn.

Houd ten slotte de curveberekening en uw conclusie uit elkaar. Par-, spot- en forwardrentes zijn verwante manieren om prijzen samen te vatten, geen onderling uitwisselbare voorspellingen. Een curve kan de discontering tonen die in huidige noteringen besloten ligt en relatieve prijzen over looptijden heen zichtbaar maken. Op zichzelf kan ze echter niet het toekomstige beleidspad bepalen, bewijzen dat een obligatie goedkoop of duur is, of vertellen wat een lener werkelijk betaalt na kredietspreads, kosten en voorwaarden.

Bronnen: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.