Affine processen en Riccati-vergelijkingen uitgelegd

Voor een Markov-toestand X zoekt een affien model naar E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x), waarbij τ=T−t

Het woord affien verwijst naar het feit dat de logaritme van deze conditionele transformatie een constante plus een lineaire functie van de huidige toestand is

Paden kunnen nog steeds niet-lineair, heteroskedastisch en discontinu zijn; variantie met een wortelterm en sprongintensiteit kunnen allebei binnen deze klasse passen

Veelgebruikte canonieke toestanden combineren niet-negatieve coördinaten, zoals variantie of intensiteit, met onbegrensde reële coördinaten, zoals logprijs

Drift, diffusie en sprongmaten moeten aan toelaatbaarheidsvoorwaarden voldoen, zodat het proces in zijn toestandsruimte blijft en een geldige Markov-wet definieert

Een formule die er affien uitziet is niet genoeg: negatieve variantie, explosieve sprongactiviteit of een gefaalde bestaansvoorwaarde kan de specificatie ongeldig maken

De transformatie kan karakteristieke functies, Laplace-transformaties, momenten, obligatieprijzen en bouwstenen voor gedisconteerde uitbetalingen coderen

In plaats van een volledige overgangsdichtheid te reconstrueren, evalueer je φ en ψ bij het complexe argument dat de prijsformule vereist

Deze scheiding is krachtig: het stochastische model levert een transformatie, terwijl een inverse transformatie of uitbetalingstransformatie die omzet in prijzen

Door de exponentieel-affiene ansatz in de generatorvergelijking te substitueren, worden constante termen gegroepeerd in φ en termen die lineair zijn in de toestand in ψ

Het resultaat is een gekoppeld systeem zoals ∂τφ = F(ψ) en ∂τψ = R(ψ), met beginvoorwaarden φ(0,u)=0 en ψ(0,u)=u

Diffusietermen maken R kwadratisch, terwijl sprongen transformatie-integralen toevoegen. Daarom heten de vergelijkingen gegeneraliseerde Riccati-vergelijkingen

CIR gebruikt een niet-negatieve toestand met een wortelterm, terwijl Heston logprijs koppelt aan variantie met een wortelterm en een affiene gezamenlijke transformatie behoudt

Affiene termijnstructuur- en kredietmodellen kunnen korte rentes, defaultintensiteiten of compensatoren voor sprongen als affiene functies van de toestand modelleren

De gedeelde transformatiearchitectuur maakt de modellen niet equivalent; elk model heeft andere toestandsbeperkingen, staartgedragingen en economische betekenis

De karakteristieke functie bestaat voor reële frequenties, maar exponentiële momenten bij complexe argumenten bestaan mogelijk alleen op een beperkt domein

Een Riccati-oplossing kan op een eindige horizon exploderen. Dat wijst op het falen van een moment en niet noodzakelijk op het einde van het onderliggende kansproces

Ook gesloten-vormuitdrukkingen hebben consistente takken voor wortels en logaritmen nodig; algebraïsch gelijke vormen kunnen zich in floating-pointberekeningen anders gedragen

Controleer beginwaarden, de semigroepeigenschap, geconjugeerde symmetrie, de martingaalvoorwaarde en bekende limietgevallen voordat je opties prijst

Houd de Riccati-oplosser, het transformatiedomein, de continuïteit van takken en de gevoeligheid voor toleranties bij verschillende looptijden en parameterrasters in de gaten

Affiene hanteerbaarheid reduceert één moeilijk probleem tot kleinere problemen; ze neemt kalibratierisico, numerieke fouten of modelspecificatiefouten niet weg