Realized GARCH: Memodelkan Pulangan dan Ukuran Turun Naik Terealisasi Bersama

Model ARCH dan GARCH membuat inferens tentang perubahan varians daripada urutan pulangan. Engle memperkenalkan ARCH dan Bollerslev mengembangkan bentuk umumnya (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Satu pulangan ialah isyarat bising tentang banyaknya pergerakan sepanjang tempoh itu: pulangan kecil antara penutupan tidak bermakna sesi tersebut tenang, manakala pulangan besar tidak menunjukkan laluan yang menghasilkannya. Harga intrahari boleh membekalkan ukuran terealisasi yang berasingan, seperti varians terealisasi, dengan lebih banyak maklumat tentang pergerakan dalam sesi.

Realized GARCH memasukkan ukuran itu ke dalam dinamik varians. Dalam spesifikasi asas, varians bersyarat dan ukuran terealisasi tempoh lalu kedua-duanya membantu mengemas kini varians bersyarat semasa. Model ini turut mempunyai persamaan untuk ukuran terealisasi itu sendiri. Persamaan tambahan ini penting: ia menerangkan hubungan ukuran dengan varians laten dan kejutan pulangan, dan tidak membiarkan ukuran sebagai input luaran tanpa penjelasan.

Makalah asal melaporkan kesesuaian empirikal yang lebih baik berbanding GARCH yang hanya menggunakan pulangan harian dalam sampel saham Dow Jones dan sebuah dana dagangan bursa. Ini dapatan khusus bagi sampel tersebut, bukannya jaminan bahawa Realized GARCH akan meramal dengan lebih baik untuk setiap aset atau tempoh. Untuk model asas yang hanya menggunakan pulangan, lihat panduan GARCH.

Ambil \(r_t\) sebagai pulangan bagi tempoh \(t\), selepas purata bersyarat ditolak jika model memasukkannya. Ambil \(h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})\) sebagai varians bersyarat yang diketahui pada awal tempoh itu, dan \(x_t\) sebagai ukuran terealisasi positif yang diperhatikan semasa atau pada penghujung tempoh \(t\). Contohnya, \(x_t\) boleh berupa jumlah kuasa dua pulangan intrahari, dalam unit pulangan kuasa dua yang sama seperti \(h_t\).

Urutan masa penting. Ramalan bagi \(h_t\) menggunakan maklumat yang tersedia sebelum tempoh \(t\); selepas \(r_t\) dan \(x_t\) diperhatikan, model mengemas kini ramalan varians seterusnya, \(h_{t+1}\). Jangan gunakan \(x_t\) untuk mendakwa bahawa ramalan \(h_t\) tersedia sebelum tempoh \(t\) bermula.

Realized GARCH ialah model dinamik bersama untuk pulangan dan proksi turun naik yang diukur. Ia berbeza daripada regresi MIDAS, yang menggunakan fungsi pemberat lag berstruktur untuk menghubungkan data berlainan kekerapan. Kedua-duanya boleh menggunakan maklumat intrahari, tetapi persamaan, sasaran ramalan dan masa maklumat perlu dikenal pasti sebelum perbandingan dibuat.

Model Realized GARCH\(1,1\) yang lazim mempunyai persamaan pulangan, persamaan varians dan persamaan pengukuran:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Di sini \(z_t\) ialah inovasi pulangan piawai, \(u_t\) ialah ralat pengukuran, dan \(\tau(z_t)\) membolehkan ukuran yang diperhatikan bergantung pada kejutan pulangan. Persamaan pertama mendarabkan kejutan varians satu dengan sisihan piawai bersyarat. Persamaan kedua mengemas kini log varians menggunakan log varians dan log ukuran terealisasi tempoh lalu. Persamaan ketiga menghubungkan log ukuran yang diperhatikan dengan log varians laten semasa, kejutan pulangan dan inovasi pengukuran.

Bentuk log memudahkan \(h_t\) dan \(x_t\) yang positif diwakili pada skala log tanpa sekatan; mengeksponenkan ramalan varians menghasilkan nilai positif. Oleh itu, pintasan \(\omega\) ialah pintasan log varians, bukannya varians jangka panjang itu sendiri. Dalam model asas, parameter dianggarkan bersama, bukan dibaca secara berasingan sebagai ukuran kegigihan.

Dengan menggantikan persamaan pengukuran pada \(t−1\) ke dalam kemas kini varians, kita dapat melihat bagaimana ukuran terealisasi memberi maklum balas kepada log varians:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Bagi spesifikasi \(1,1\) ini, kegigihan log varians diringkaskan oleh \(β + γφ\), bukannya \(β\) sahaja. Hubungan pengukuran menyumbang kepada maklum balas kerana varians terdahulu yang lebih tinggi berkait dengan ukuran terealisasi yang lebih tinggi, lalu ukuran itu masuk ke dalam kemas kini seterusnya. Algebra ini membantu mentafsir pekali teranggarkan, tetapi bukan bukti kestasioneran bagi setiap peluasan Realized GARCH; inferens perlu mengikut sekatan bagi spesifikasi yang benar-benar dianggarkan.

Hansen, Huang dan Shek memperkenalkan bentuk linear dan log-linear bagi model bersama ini serta menghuraikan struktur tiga persamaannya (2012). Orde lag, ukuran terealisasi, purata bersyarat dan andaian inovasi yang tepat perlu mengikut spesifikasi yang dianggarkan.

Persamaan pengukuran membantu menerangkan sebab ukuran terealisasi boleh bergerak bersama varians laten dan kejutan pulangan. Fungsi leverage yang lazim ialah

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

Terma linear dan kuadratik terpusat boleh mewakili hubungan tidak simetri antara kejutan pulangan dengan ukuran terealisasi. Pekali menentukan bentuknya; formula ini sahaja tidak membuktikan bahawa pulangan negatif menyebabkan turun naik pada masa depan.

Dalam rumusan asas makalah, \(z_t\) dan \(u_t\) dimodelkan sebagai inovasi berasingan, \(z_t\) dipiawaikan dan kedua-duanya diandaikan saling bebas. Ini spesifikasi statistik yang boleh dianggarkan, bukan bukti bahawa pulangan pasaran atau ralat pengukuran mengikut taburan tertentu dalam setiap sampel. Kebolehjadian kuasi Gaussian boleh digunakan tanpa mendakwa normaliti sebagai fakta.

Persamaan ini juga membezakan Realized GARCH daripada GARCH-X. GARCH-X boleh memasukkan ukuran yang diperhatikan dalam kemas kini varians tanpa menetapkan dinamik ukuran itu sendiri. Realized GARCH turut memodelkan ukuran terealisasi, lalu menyokong ramalan lebih daripada satu langkah apabila ukuran masa depan belum diperhatikan. Model ini menerangkan hubungan statistik bersama, bukan punca luaran.

Andaikan model log-linear teranggarkan mempunyai \(\omega=-0.7824\), \(\beta=0.75\) dan \(\gamma=0.15\). Pada akhir tempoh \(t\), anggap varians bersyarat semasa ialah \(h_t=0.0004\) dan ukuran terealisasi yang diperhatikan ialah \(x_t=0.0009\). Semua nilai ini hipotetikal, positif dan dinyatakan pada skala varians pulangan perpuluhan harian yang sama.

Gunakan persamaan varians untuk mengemas kini ramalan tempoh \(t+1\):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

Sisihan piawai bersyarat yang terhasil ialah \(\sqrt{0.0004517} \approx 0.02125\), atau kira-kira 2.13% bagi tempoh pulangan yang dinyatakan. Ukuran terealisasi mempengaruhi ramalan varians seterusnya melalui pekali teranggarnya. Kiraan ini tidak mengemas kini pekali dan tidak menggunakan persamaan pengukuran untuk mendakwa bahawa \(x_t\) sama dengan \(h_t\).

Contoh ini hanya menunjukkan aritmetik. Tiada ketidakpastian parameter, ralat anggaran atau pemerhatian luar sampel, maka ia tidak menunjukkan keertian statistik atau sama ada model ini mengatasi penanda aras. <!-- learn:illustration -->

Anggaran menggunakan pemerhatian pulangan dan ukuran terealisasi yang diselaraskan mengikut masa. Kebolehjadian atau kebolehjadian kuasi menggabungkan persamaan pulangan dengan persamaan pengukuran. Oleh itu, perubahan andaian tentang taburan inovasi atau struktur kebergantungannya boleh mengubah parameter teranggarkan. Nyatakan kaedah anggaran, andaian inovasi, pengendalian purata bersyarat, ukuran terealisasi dan aturan pembersihan data; jangan paparkan rekursi varians tanpa model pengukurannya.

Selepas setiap tempoh berakhir, model boleh menggunakan pulangan dan ukuran terealisasi baharu untuk mengemas kini keadaannya serta menghasilkan ramalan varians seterusnya. Untuk ramalan berbilang langkah, nilai \(x\) masa depan belum diketahui. Spesifikasi Realized GARCH yang lengkap merangkumi dinamik ukuran terealisasi, jadi ramalan perlu mengambil kira taburan atau jangkaan masa depannya dan bukannya memasukkan ukuran masa depan daripada sampel ujian.

Penilaian memerlukan sasaran yang sepadan dengan ramalan, contohnya varians bersyarat pulangan tempoh seterusnya atau ukuran terealisasi bagi sela yang sama. Selaraskan sasaran, proksi, unit, ufuk dan tarikh penilaian. Kebolehjadian dalam sampel membandingkan kesesuaian model, tetapi tidak menggantikan ujian ramalan kronologi.

Simpan setiap ramalan pada masa ramalan itu sepatutnya tersedia, anggar semula hanya menggunakan maklumat yang tersedia pada asal ramalan tersebut, kemudian bandingkan dengan penanda aras yang dipilih lebih awal pada sampel yang sama. Pilih fungsi kerugian sebelum menyemak hasil dan laporkan beza kerugian berpasangan bersama anggaran ketidakpastian yang mengambil kira kebergantungan apabila perlu. Panduan QLIKE dan ralat kuasa dua menerangkan cara sifat proksi dan pilihan fungsi kerugian mempengaruhi perbandingan.

Kegunaan model bergantung pada ukuran dan sela masa yang digunakan. Ukuran terealisasi daripada harga intrahari mungkin tidak meliputi pergerakan semalaman walaupun \(r_t\) ialah pulangan antara penutupan. Makalah asal secara jelas membenarkan tetingkap ukuran terealisasi yang lebih pendek daripada sela pulangan; persamaan pengukuran tidak perlu memaksa \(x_t\) menjadi anggaran tidak berat sebelah bagi \(h_t\). Fleksibiliti itu tidak bermakna perbezaan tetingkap tidak penting: tafsiran \(\phi\), sasaran ramalan dan perbandingan tetap bergantung pada sela masa.

Makalah itu memberikan contoh khusus: ukuran daripada kira-kira \(6.5\) jam dagangan dipadankan dengan varians bersyarat bagi pulangan antara penutupan \(24\) jam. Dalam aturan ini, penulis menjangkakan \(φ < 1\) kerana ukuran intrahari hanya merangkumi sebahagian daripada sela pulangan penuh. Maka, nilai \(φ\) teranggarkan bergantung pada ukuran, sesi dan takrif pulangan; ia bukan faktor pelarasan sejagat yang boleh dipindahkan tanpa perubahan kepada aset atau reka bentuk pensampelan lain.

Data frekuensi tinggi juga boleh mengandungi lantunan bid–ask, dagangan tidak segerak, ketakselanjaran harga, sebut harga lapuk dan ralat rekod. Panduan volatiliti terealisasi dua skala menerangkan satu penganggar untuk menangani hingar mikrostruktur. Hansen dan Lunde mendokumenkan bahawa hingar mikrostruktur pasaran boleh mempengaruhi pengukuran varians terealisasi dengan ketara (2006). Proksi yang berbeza boleh mengubah kesesuaian, ramalan dan anggaran leverage.

Oleh sebab model log-linear menggunakan \(\log x_t\), ukuran yang dipilih mestilah positif secara ketat. Jika data boleh bernilai sifar atau negatif, transformasi, penapis atau lantai akan mengubah model dan perlu diberikan alasan serta didedahkan. Periksa sama ada ukuran merangkumi lompatan, sesi yang diliputi, pengendalian bar yang hilang dan kesepadanan unit dengan varians pulangan. Lebih banyak pemerhatian intrahari tidak secara automatik menghapuskan ralat pengukuran.

GARCH biasa menggunakan pulangan atau inovasi kuasa dua terdahulu serta varians terdahulu. Realized GARCH menambah ukuran terealisasi pada dinamik varians dan memodelkannya melalui persamaan yang dikaitkan dengan varians laten serta kejutan pulangan. GARCH-X biasanya menganggap ukuran tambahannya sebagai input luaran. Regresi MIDAS menggunakan lengkung pemberat lag berparameter merentas frekuensi; GARCH-MIDAS ialah hibrid berkaitan dengan persamaan yang perlu diperiksa secara berasingan. Istilah ini tidak boleh saling menggantikan.

Model ini meramal varians bersyarat atau ukuran terealisasi yang ditakrifkan di bawah andaian tertentu. Ia tidak meramal arah pulangan, membuktikan bahawa ukuran intrahari menyebabkan varians esok atau menetapkan bahawa strategi tertentu menguntungkan. Kebolehjadian dalam sampel yang tinggi tidak menjamin ramalan masa depan yang lebih baik. Kesimpulan dagangan memerlukan isyarat yang ditentukan secara berasingan dan penilaian selepas kos yang merangkumi spread, fi, kesan pasaran, pembiayaan dan had risiko.

Untuk laporan yang boleh dihasilkan semula, nyatakan aset dan sampel, takrif pulangan dan purata bersyarat, pembinaan ukuran terealisasi dan tetingkap sesi, persamaan model dan orde lag, andaian inovasi, tetingkap anggaran, asal dan ufuk ramalan, penanda aras, fungsi kerugian penilaian serta kaedah ketidakpastian. Laporkan kepekaan terhadap pilihan ukuran terealisasi yang munasabah dan dedahkan sebarang pengecualian data atau pelarasan untuk memastikan nilainya positif.