QLIKE vs Ralat Kuasa Dua untuk Ramalan Volatiliti: Proksi Bising

Model volatiliti meramalkan sejauh mana pulangan masa depan mungkin tersebar, bukan sama ada pulangan itu positif atau negatif. Untuk menilainya, tentukan sasaran terlebih dahulu: contohnya, varians bersyarat pulangan esok, diukur dalam mata asas kuasa dua. Ramalan sisihan piawai, ramalan varians dan anggaran varians terealisasi intrahari ialah kuantiti yang berkaitan, tetapi tidak boleh saling menggantikan tanpa transformasi dan horizon yang dinyatakan.

Soalan ini berasingan daripada cara model menghasilkan ramalan. Panduan GARCH menerangkan satu cara mengemas kini varians bersyarat daripada pulangan lalu. Panduan ini bermula selepas dua atau lebih model menghasilkan ramalan, lalu menilai cara memadankannya dengan ukuran tidak sempurna bagi varians yang kemudian berlaku.

“Ramalan terbaik” tidak mempunyai satu makna sebelum sasaran, sampel penilaian dan fungsi kerugian ditetapkan. Model boleh menduduki tempat pertama dengan satu kerugian dan tempat kedua dengan kerugian yang lain kerana setiap kerugian mengenakan kos berbeza pada kesilapan ramalan

Biarkan vₜ ialah varians bersyarat sasaran pulangan yang tidak diperhatikan, hₜ ramalan yang dibuat menggunakan maklumat yang tersedia sebelum pulangan itu, dan xₜ proksi cerapan untuk penilaian. Proksi yang lazim ialah kuasa dua pulangan, tetapi ia hanya tidak berat sebelah secara bersyarat bagi varians apabila min bersyarat pulangan ialah sifar. Jika min bersyarat bukan sifar, kuasa dua pulangan mentah menganggar momen kedua bersyarat, bukannya varians bersyarat. Proksi juga boleh dibentuk daripada pulangan selepas min bersyarat ditolak. Varians terealisasi yang dibina daripada pulangan intrahari boleh memberikan ukuran variasi sepanjang sesi yang lebih bermaklumat, tetapi ia tetap mengukur suatu selang dan bergantung pada peraturan persampelan serta data harga.

Penyahminaan tidak menghapuskan bias proksi secara automatik apabila min bersyarat dianggarkan. Jika mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁), dan min anggaran m̂ₜ ditetapkan menggunakan maklumat yang tersedia pada asal ramalan, maka E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Oleh itu, setiap ralat anggaran min yang boleh diramal menambahkan sebutan bukan negatif pada proksi. Nyatakan cara min dianggarkan dan sama ada proksi menyasarkan varians atau momen kedua sebelum menggunakan hasil ketakbiasan bersyarat.

Padankan xₜ dan hₜ dari segi aset, takrif pulangan, tempoh masa, horizon dan unit yang sama. Jika xₜ diukur dalam bp², hₜ juga mesti dalam bp²; skor ralat kuasa dua kemudiannya dalam bp⁴. Ramalan harian dari tutup ke tutup tidak sepatutnya dinilai menggunakan ukuran terealisasi yang meninggalkan tempoh semalaman, kecuali itulah sasaran yang dimaksudkan.

Simpan nilai proksi dan semua ramalan bagi asal penilaian yang sama. Jika satu model tiada ramalan untuk sesuatu tarikh, tetapkan sampel sepunya atau peraturan data hilang yang wajar terlebih dahulu. Membandingkan purata bagi tarikh yang berbeza boleh mencampurkan prestasi model dengan perbezaan keadaan pasaran yang dihadapi setiap model

Bagi proksi varians bukan negatif xₜ dan ramalan varians positif hₜ, kerugian ralat kuasa dua ialah

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

Kerugian QLIKE ialah

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Skor yang lebih rendah menunjukkan hasil yang lebih baik. Apabila xₜ positif, QLIKE juga sering ditulis dalam bentuk nisbah setara, xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Kedua-dua formula berbeza mengikut sebutan yang bergantung pada proksi cerapan tetapi tidak pada ramalan, jadi kedua-duanya menghasilkan kedudukan yang sama dalam sampel sepunya. Bentuk log(hₜ) juga kekal ditakrifkan apabila xₜ sifar, dengan syarat hₜ positif. Patton mentakrifkan kerugian varians ini dan mengkaji sifatnya apabila menggunakan proksi tidak sempurna (Patton, 2011).

QLIKE sepadan dengan skor kebolehjadian kuasi Gaussian bagi ramalan varians (Hansen dan Lunde, 2005). Hubungan ini tidak membuktikan bahawa pulangan bertaburan Gaussian, dan skor rendah tidak mengesahkan andaian taburan model. Ralat kuasa dua pula mengukur jurang mutlak antara proksi dengan ramalan, kemudian mengkuasaduakannya. Pilih skor yang sepadan dengan matlamat perbandingan dan andaian proksi

Kerugian ralat kuasa dua mempunyai unit varians kuasa dua dan meningkat dengan cepat apabila proksi dan ramalan berjauhan. Oleh itu, beberapa nilai proksi yang sangat besar boleh mendominasi purata. Sifat ini mungkin sesuai apabila kesilapan mutlak yang besar dalam unit varians patut diberi kos yang jauh lebih tinggi, tetapi hasilnya sensitif terhadap cerapan ekstrem.

Mendarab xₜ dan hₜ dengan pemalar penukaran unit positif yang sama, c, menambahkan log(c) pada log(hₜ) + xₜ/hₜ. Tambahan ini sama untuk semua ramalan yang dinilai pada sampel proksi yang sama, maka kedudukan tidak berubah; namun nilai mutlak sebutan logaritma bergantung pada unit yang dipilih. QLIKE bertindak balas terhadap nisbah ramalan kepada proksi melalui xₜ/hₜ dan skala hₜ melalui log(hₜ). Apabila ramalan terlalu kecil berbanding proksi yang besar, sebutan nisbah meningkat dengan cepat. Ramalan berlebihan juga menambah kos apabila log(hₜ) bertambah, tetapi lebih perlahan bagi kesilapan berkadar yang setanding. QLIKE bukan kerugian yang kebal terhadap pencilan: proksi ekstrem masih menyumbang melalui xₜ/hₜ.

Tiada satu pun skor sentiasa lebih baik untuk setiap keputusan. Ralat kuasa dua memberi lebih berat kepada kesilapan mutlak yang besar dalam unit varians, manakala QLIKE mempunyai profil ralat relatif yang berbeza. Hasil keteguhan proksi Patton bukan bermaksud kedua-dua kerugian memberikan kedudukan ramalan yang sama atau mana-mana daripadanya kebal terhadap pencilan

Katakan proksi varians yang diperhatikan ialah x = [1, 4] bp². Model A meramalkan hᴬ = [1, 1] bp², manakala Model B meramalkan hᴮ = [4, 2] bp². Nilai ini bersifat hipotesis dan dipilih untuk menunjukkan bagaimana kerugian boleh mengubah susunan kedudukan.

MSE memihak kepada Model A: skor puratanya 4.5 bp⁴ berbanding 6.5 bp⁴ untuk Model B. QLIKE memihak kepada Model B: skor puratanya kira-kira 2.165 berbanding 2.5 untuk A. Dua baris ini hanya menunjukkan aritmetik. Pemerhatian terlalu sedikit untuk menganggar ketidakpastian, membuktikan sesuatu ramalan lebih baik atau membuat kesimpulan tentang strategi dagangan <!-- learn:illustration -->

Proksi volatiliti boleh bising tetapi masih tidak berat sebelah secara bersyarat. Katakan E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, dengan Fₜ₋₁ ialah maklumat yang tersedia ketika ramalan dibuat. Kerugian kuasa dua jangkaan bagi ramalan hₜ yang dibentuk daripada maklumat itu ialah

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Sebutan varians tidak bergantung pada ramalan yang dinilai. Ia menaikkan MSE jangkaan semua ramalan dengan jumlah yang sama, lalu terbatal apabila kerugian jangkaan dibandingkan. Bagi QLIKE, ketidakbiasan bersyarat memberikan

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Inilah skor yang akan diperoleh jika varians laten digunakan sebagai ganti proksi. Dalam keadaan ini, setiap kerugian mengekalkan kedudukan jangkaan ramalan varians yang bersaing relatif kepada sasaran laten. Patton (2011) menamakan sifat ini keteguhan kedudukan terhadap proksi; istilah itu merujuk kepada hingar dalam kedudukan jangkaan, bukannya ketahanan terhadap pencilan.

Hasil ini mengandaikan set maklumat bersyarat yang sama, proksi yang tidak berat sebelah secara bersyarat, ramalan positif untuk QLIKE dan kerugian jangkaan yang terhingga. Ia tidak bermaksud MSE dan QLIKE memberikan kedudukan model yang sama. Dalam contoh dua tempoh, kedua-dua kerugian dikira daripada cerapan bising yang sama, tetapi setiap satunya memberi kepentingan yang berbeza kepada kesilapan ramalan

Kekekalan kedudukan jangkaan tidak menjamin bahawa setiap sampel terealisasi menghasilkan kedudukan yang sama seperti varians laten. Hingar proksi menambah variasi pada kerugian cerapan dan boleh mengurangkan kuasa perbandingan ramalan. Tempoh penilaian yang singkat boleh menghasilkan kedudukan model yang berbeza hanya kerana beberapa cerapan proksi kebetulan sangat tinggi atau rendah, walaupun ketidakbiasan bersyarat berlaku secara purata.

Jaminan itu juga gagal jika proksi berat sebelah secara bersyarat bagi sasaran yang dinyatakan. Varians terealisasi frekuensi tinggi boleh dipengaruhi lantunan bida-tawar, sebut harga lapuk atau tidak segerak, kekerapan persampelan dan pulangan semalaman yang tertinggal. Proksi untuk varians terkamir intrahari mungkin bukan ukuran tidak berat sebelah bagi varians bersyarat tutup ke tutup. Panduan pengiraan volatiliti terealisasi membincangkan pilihan pembinaan, manakala panduan varians terealisasi dua skala menerangkan satu penganggar yang direka untuk menangani sebahagian hingar mikrostruktur dalam data frekuensi tinggi. Hansen dan Lunde (2006) mendokumenkan cara hingar mikrostruktur pasaran boleh mempengaruhi pengukuran varians terealisasi (DOI Hansen dan Lunde, 2006).

“Robust” mempunyai makna yang sempit di sini: apabila proksi tidak berat sebelah secara bersyarat, kedudukan jangkaan dikekalkan. Ia tidak bermaksud skor sampel mengabaikan pencilan, semua ukuran volatiliti terealisasi tidak berat sebelah, atau perbandingan terlindung daripada ketidakpadanan sasaran. Nyatakan perkara yang diukur oleh proksi dan andaian yang menghubungkannya dengan vₜ

Bagi dua ramalan hᴬₜ dan hᴮₜ yang ditetapkan pada asal ramalan yang sama, perbezaan MSE jangkaan ialah E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Dengan syarat proksi yang sama, perbezaan QLIKE jangkaan ialah log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Ungkapan ini menunjukkan perkara yang dihapuskan oleh keteguhan kedudukan terhadap proksi: hingar tambahan dalam skor jangkaan proksi. Namun perbandingan ramalan tetap berbeza kerana MSE dan QLIKE memberikan kos yang berlainan kepada ralat.

Selepas memilih skor, bentuk perbezaan kerugian berpasangan bagi setiap asal ramalan yang sama. Dengan dₜ = L_A,ₜ − L_B, purata positif memihak kepada B kerana kerugiannya lebih rendah. Ujian Diebold–Mariano menilai sama ada perbezaan jangkaan ialah sifar menggunakan siri masa perbezaan berpasangan ini; ujian tersebut tidak memilih antara QLIKE dengan MSE atau menentukan sasaran yang patut diutamakan. Panduan Diebold–Mariano menerangkan rangka inferens yang lebih luas.

Jika ramalan berbilang tempoh bertindih, atau perbezaan skor berkorelasi secara bersiri atas sebab lain, gunakan ralat piawai yang mengambil kira kebergantungan, seperti anggaran HAC yang sesuai. Newey dan West (1987) memperkenalkan penganggar kovarians HAC semidefinit positif (Newey–West, 1987). Nyatakan horizon, asal penilaian, tanda perbezaan kerugian, kaedah kovarians, serta kernel dan bandwidth jika berkaitan. Nilai p yang kecil tidak membetulkan proksi yang berat sebelah atau tidak sepadan dengan sasaran

Gunakan reka bentuk kronologi di luar sampel dan simpan ramalan yang benar-benar akan dibuat setiap model pada setiap asal. Tetapkan sasaran, pembinaan proksi, horizon, unit, sampel sepunya dan kerugian sebelum melihat model yang mendapat skor terbaik. Rekodkan tetingkap anggaran, peraturan anggaran semula, cerapan yang hilang dan sama ada tempoh penilaian berulang kali digunakan untuk melaras model. Jika kedua-dua MSE dan QLIKE dibandingkan tetapi hanya pemenangnya dilaporkan, nyatakan pilihan itu dan jangan bentangkannya sebagai satu ujian yang dipraspesifikasikan.

Laporkan purata kerugian setiap model, perbezaan berpasangan, saiz sampel, takrif proksi dan kaedah inferens. QLIKE memerlukan hₜ positif; tetapkan sebarang lantai ramalan sebelum penilaian kerana lantai itu boleh mengubah skor. Uji kepekaan terhadap pilihan proksi dan persampelan yang munasabah, sambil menjelaskan bahawa mencuba banyak pilihan turut mewujudkan masalah pemilihan.

Kerugian volatiliti yang lebih rendah mengukur prestasi berdasarkan skor dan proksi yang dipilih. Ia tidak membuktikan bahawa peramal menyebabkan volatiliti, pulangan bertaburan normal atau strategi yang menggunakan ramalan akan menjana keuntungan selepas spread, fi, gelinciran, pembiayaan dan had risiko. Nilai kemahiran ramalan dan hasil dagangan sebagai dakwaan yang berasingan