Ujian Kepegunan KPSS: Hipotesis Nol, Statistik dan Lebar Jalur

Ujian Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin biasanya dipendekkan sebagai KPSS. Hipotesis nolnya berlawanan dengan ujian Dickey–Fuller yang biasa digunakan: siri pegun di sekitar komponen deterministik yang ditetapkan. Dalam susunan asal, alternatif membenarkan komponen rawak-jalan dengan varians inovasi positif.

Statistik KPSS yang cukup besar menjadi bukti menentang nol kepegunan aras atau trend yang dipilih. Statistik yang kecil bermaksud sampel dan tetapan itu tidak memberikan bukti yang cukup untuk menolak nol. Itu bukan bukti proses akan sentiasa pegun, min akan kekal stabil, atau harga akan kembali ke paras yang berguna untuk dagangan. Panduan kepegunan dan punca unit menerangkan konsep berkaitan. Perbandingan ADF dan Phillips–Perron membincangkan dua ujian yang meletakkan punca unit dalam nol. Kedua-duanya menjawab soalan yang saling melengkapi, bukan versi berlainan bagi soalan yang sama.

KPSS mewakili siri pemerhatian seperti berikut:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Di sini, \(d_t\) ialah komponen deterministik, \(r_t\) komponen rawak-jalan, dan \(\epsilon_t\) ralat pegun. Ujian kepegunan aras meletakkan pemalar dalam \(d_t\); ujian kepegunan trend meletakkan pemalar dan trend masa linear.

Nol menetapkan varians inovasi rawak-jalan kepada sifar, \(\sigma_u^2=0\). Tanpa komponen itu, siri berayun di sekitar pemalar atau trend deterministik yang dipilih. Alternatif membenarkan \(\sigma_u^2>0\), maka kejutan boleh terkumpul menjadi trend stokastik dan bukannya reda di sekitar laluan tersebut.

Ini model yang dikekalkan oleh ujian, bukannya dakwaan bahawa setiap alternatif ialah rawak-jalan textbook. Perubahan struktur, kebergigihan pecahan, dinamik tak linear, varians berubah, atau komponen deterministik yang kurang sesuai juga boleh menyebabkan model nol tidak sepadan dengan sampel. Ujian menunjukkan ketegangan dengan andaian itu, bukan model pengganti yang unik.

Mula-mula, regresikan pemerhatian pada komponen deterministik yang dipilih dan panggil bakinya \(\hat e_t\). Jumlah separa terkumpul ialah

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

Statistik KPSS lazimnya ditulis sebagai

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

dengan \(n\) sebagai saiz sampel dan \(\hat{\omega}^{\,2}\) sebagai anggaran varians jangka panjang baki. Baki yang bertanda sama untuk beberapa tempoh menolak \(S_t\) jauh daripada sifar. Kuasa dua jumlah separa memberi kesan besar kepada sisihan yang berlarutan berbanding pertukaran tanda terpencil.

Statistik ini tidak negatif. Sisihan terkumpul yang besar berbanding varians jangka panjang anggaran menyukarkan nol kepegunan dikekalkan. Penyebut penting kerana korelasi bersiri baki turut mempengaruhi variasi jumlah separa walaupun prosesnya pegun.

Versi aras bertanya sama ada siri pegun di sekitar pemalar. Versi trend membuang pemalar dan trend masa linear dahulu, kemudian menguji kepegunan komponen yang tinggal. Pelaksanaan biasa mungkin melabelkannya mu dan tau, tetapi nama serta format output bergantung pada perisian.

Pilihan ini mengubah baki dan taburan rujukan. Jika trend tidak dibuang daripada siri yang pegun di sekitar trend, corak baki yang panjang boleh menaikkan statistik. Menambah trend tanpa sebab mengubah model yang diuji dan boleh mengurangkan kuasa mengesan sesetengah alternatif. Pilih berdasarkan takrif data dan persoalan ekonomi, kemudian laporkan pilihannya; jangan bertukar spesifikasi sehingga mendapat keputusan yang disukai.

Nilai kritikal KPSS datang daripada taburan asimptotik bukan piawai, dengan nilai berbeza bagi kes aras dan trend. Jangan bandingkan statistik dengan ambang t atau khi kuasa dua biasa, atau gunakan satu ambang yang dihafal untuk semua spesifikasi. Gunakan jadual atau output perisian yang sepadan dan nyatakan aras keertian. Sesetengah pelaksanaan hanya memberikan julat nilai-p kerana jadual kritikalnya terhad; laporkan julat yang disokong, bukan perpuluhan rekaan. Sertakan kes aras atau trend serta sumber nilai kritikal supaya keputusan boleh diulang.

<!-- learn:illustration -->

Anggaran varians jangka panjang lazimnya menggunakan autokovarians baki berwajaran:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Di sini, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) mentakrifkan autokovarians sampel pada lat \(j\) dengan penyebut \(n\); konvensyen sampel terhingga boleh berbeza mengikut pelaksanaan.

Dengan pemberat Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). Lebar jalur pemotongan \(\ell\) menentukan bilangan autokovarians baki yang dimasukkan dan kadar pemberatnya berkurang. Kernel, peraturan lebar jalur dan pengiraan sampel terhingga boleh berbeza antara pelaksanaan; nyatakan semuanya supaya keputusan boleh dihasilkan semula.

Lebar jalur ini bukan bilangan lat perbezaan yang ditambah pada regresi ADF. Dalam KPSS ia mengawal anggaran varians jangka panjang; dalam ADF lat perbezaan dimasukkan terus dalam regresi. Perisian mungkin menamakan kedua-duanya “lat”, jadi “lat 4” sahaja tidak menerangkan tetapan dengan secukupnya.

Lebar jalur terlalu pendek boleh meninggalkan kebergantungan jangka pendek yang bermakna daripada anggaran. Lebar terlalu panjang boleh menambah autokovarians sampel yang bising. Kedua-duanya boleh mengubah statistik, saiz atau kuasa ujian, tanpa arah kesan yang sama untuk setiap corak baki. Laporkan kernel dan aturan pemilihan lat, kemudian lihat sama ada alternatif munasabah yang ditetapkan lebih awal mengubah tafsiran.

Pelarasan varians jangka panjang ini berkaitan dengan anggaran kovarians teguh terhadap heteroskedastisiti dan autokorelasi (HAC). Namun, ia tidak menjadikan KPSS teguh terhadap semua kebergantungan, perubahan struktur atau spesifikasi deterministik yang buruk. Panduan kovarians Newey–West menerangkan peranan dan batas HAC dengan lebih luas.

Andaikan regresi trend bagi enam pemerhatian sintetik menghasilkan baki \(1,-1,0,0,-1,1\). Jumlah baki ialah sifar dan hasil darab dalamannya dengan trend masa linear juga sifar, seperti yang sepatutnya bagi baki regresi trend. Jumlah separanya ialah \(1,0,0,0,-1,0\), maka jumlah kuasa duanya ialah \(2\).

Untuk menunjukkan aritmetik, gunakan konvensyen autokovarians sampel dengan penyebut \(n\) dan pemberat Bartlett berlebar jalur satu. Komponen varians baki ialah \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Autokovarians lat satu ialah \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), dengan pemberat Bartlett \(1/2\). Maka

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Pengiraan enam titik ini hanya menerangkan mekanik. Sampelnya terlalu kecil untuk keputusan KPSS asimptotik biasa; jangan menilainya menggunakan nilai kritikal terbitan seolah-olah ia dapatan empirikal.

Menjalankan KPSS bersama ujian jenis ADF membantu menunjukkan sejauh mana kesimpulan bergantung pada hipotesis nol. Baca pasangan keputusan sebagai bukti di bawah dua model berlainan:

Kedua-dua ujian boleh berbeza dari segi pembetulan lat, komponen deterministik, sampel dan penghampiran sampel terhingga. Selaraskan pilihan jika sesuai dan catat perbezaan yang tidak dapat dielakkan. Jangan jadikan empat kombinasi ini peraturan automatik untuk membezakan data. Gagal menolak bukan bermakna hipotesis nol benar.

Peralihan min sekali sahaja, trend yang berubah atau perubahan varians boleh membuat proses yang pegun dalam setiap rejim kelihatan tidak pegun sepanjang sampel. Sebaliknya, akar yang hampir satu sukar dibezakan daripada punca unit dengan data terhad. Sampel pendek, pencilan, ekor tebal, pelarasan tak linear dan pengamiran pecahan juga boleh melemahkan penghampiran rujukan.

Sebelum melaporkan ujian, plot aras, padanan deterministik yang dipilih dan baki. Jika perubahan disyaki, gunakan reka bentuk yang mengambil kira perubahan serta nyatakan hipotesis nol, cara perubahan dimodelkan dan nilai kritikalnya. Dedahkan jika beberapa tarikh perubahan atau lebar jalur dicuba; nilai-p terkecil selepas carian bukan keputusan ujian yang tidak dipilih.

Bagi pasangan atau spread, KPSS tidak menguji kointegrasi dua aset. Panduan Engle–Granger menerangkan prosedur kointegrasi berasaskan baki dan isu nilai kritikalnya yang tersendiri. Panduan pangkat kointegrasi Johansen membincangkan pendekatan sistem. KPSS pada satu siri harga tidak menggantikan mana-mana analisis itu.

Jika KPSS digunakan pada baki daripada nisbah lindung nilai, model ARMA atau tarikh perubahan yang dianggarkan, ingat bahawa baki tersebut datang daripada langkah pemadanan terdahulu. Anggaran parameter dan pemilihan model boleh mengubah taburan nol. Jangan anggap nilai kritikal biasa sah untuk keseluruhan proses; gunakan ujian baki yang ditentukur bagi model terpasang atau bootstrap yang mengulang langkah anggaran.

Nyatakan pemboleh ubah dan transformasi, bilangan pemerhatian, nol aras atau trend, komponen deterministik, kernel varians jangka panjang, aturan lebar jalur, statistik, nilai kritikal atau nilai-p yang sepadan, serta aras keertian. Jika membuat semakan sensitiviti, terangkan alasan pemilihan alternatif dengan telus; jangan cuba banyak tetingkap lalu hanya memilih hasil yang paling menarik.

Bagi data pasaran, laporkan tarikh sampel, kekerapan, penyelarasan sesi, pengendalian nilai hilang, dan sama ada pemboleh ubah ialah harga, pulangan, baki atau spread. Gagal menolak nol KPSS bukan bukti spread akan segera menumpu. Strategi purata-balik masih memerlukan takrif keseimbangan, penilaian luar sampel, masa isyarat yang tersedia ketika dagangan, serta kos spread, pembiayaan, pinjaman dan pelaksanaan yang realistik.

Ujian pada aras harga log menjawab soalan berbeza daripada ujian pada pulangan, iaitu perbezaan pertama harga log. Pembezaan boleh menghapuskan trend stokastik di bawah model tertentu, tetapi turut mengubah pemboleh ubah kajian dan tidak membuktikan hubungan jangka panjang antara dua aset. Pilih transformasi mengikut kuantiti sasaran dan model, kemudian nyatakannya dengan jelas.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt dan Shin dalam makalah 199290104-Y) merumuskan ujian ini sebagai ujian LM sama ada varians komponen rawak-jalan ialah sifar. Makalah Newey dan West tahun 1987 ialah rujukan utama bagi anggaran kovarians HAC semidefinit positif. Untuk perbandingan dengan nol punca unit, rujuk makalah Dickey dan Fuller tahun 1979.