Ujian Kointegrasi Johansen: Rank, Trace dan Nilai Eigen Maksimum

Katakan \(y_t\) mengandungi \(k\) pemboleh ubah yang setiap satunya dianggap \(I(1)\) di bawah tetapan proses penjana data yang dinyatakan. Rank kointegrasi \(r\) ialah bilangan hubungan saling bebas dalam gabungan linear aras pemboleh ubah tersebut yang bersifat pegun. Jika \(r=0\), tiada gabungan sedemikian ditemui di bawah spesifikasi itu. Jika \(0<r<k\), terdapat \(r\) hubungan jangka panjang yang saling bebas dan, di bawah syarat lazim sistem \(I(1)\), masih terdapat \(k-r\) trend stokastik sepunya. Rank satu bermaksud satu hubungan merentasi sistem; ia tidak semestinya pasangan aset yang jelas.

Ini persoalan tentang keseluruhan sistem. Prosedur dua langkah Engle–Granger menganggarkan satu persamaan jangka panjang yang dinormalkan, kemudian menguji baki terpadannya. Kaedah kebolehjadian Johansen pula menganggar dan menguji dimensi ruang kointegrasi dalam autoregresi vektor, maka ia boleh mewakili lebih daripada satu hubungan saling bebas. Kedua-dua kaedah menjawab soalan yang berkaitan tetapi berbeza; keputusannya boleh berlainan dalam sampel terhingga atau di bawah spesifikasi lag dan deterministik yang berbeza.

Tanpa sebutan deterministik, VAR dalam aras boleh disusun semula menjadi bentuk pembetulan ralat vektor yang dipermudah:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Di sini, \(p\) ialah tertib lag VAR dalam aras. Lajur \(\beta\) menerangkan gabungan jangka panjang, manakala \(\alpha\) mengandungi pemuatan pelarasan yang menghubungkan ketakseimbangan terdahulu dengan perubahan semasa. Apabila rank \(\Pi\) ialah \(r\), matriks itu boleh difaktorkan kepada matriks \(\alpha\) dan \(\beta\) bersaiz \(k\times r\). Bilangan sebutan pembetulan ralat dalam sistem ditentukan oleh rank, bukan bilangan pemboleh ubah sahaja.

Jika semua \(k\) siri benar-benar \(I(1)\), kes kointegrasi lazim mempunyai \(r<k\). Keputusan rank penuh menunjukkan aras mungkin pegun di sekitar sebutan deterministik yang dibenarkan spesifikasi terpadan, lalu anda patut menyemak semula andaian tertib integrasi asal. Rank sifar tidak membuktikan pemboleh ubah langsung tiada sebarang kaitan. Maksudnya, model pilihan tidak menemui gabungan aras yang pegun pada rank yang diuji.

Susun nilai eigen anggaran mengikut \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Nilai ini terhasil daripada masalah rank terkurang dalam prosedur kebolehjadian; ia bukan peratus varians diterangkan yang biasa. Bagi rank calon \(r\), statistik trace ialah:

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

yang menguji \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) berbanding \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Statistik ini mengumpulkan bukti daripada nilai eigen yang selebihnya. Statistik nilai eigen maksimum ialah:

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

yang membandingkan rank \(r\) dengan rank seterusnya, \(r+1\). Maka ujian trace bertanya sama ada jumlah hubungan melebihi \(r\), manakala ujian nilai eigen maksimum bertanya sama ada data menyokong penambahan hubungan yang berikutnya. Kedua-dua statistik tidak menggunakan taburan rujukan khi kuasa dua biasa untuk hipotesis nol rank ini.

Bayangkan sistem tiga pemboleh ubah dengan 200 pemerhatian boleh guna dan nilai eigen anggaran tersusun \(0.16\), \(0.05\), dan \(0.01\). Ini input rekaan untuk penerangan, bukan anggaran pasaran. Pada \(r=0\), statistik trace menjumlahkan ketiga-tiga sebutan dan bernilai kira-kira \(47.14\), manakala statistik nilai eigen maksimum menggunakan sebutan pertama sahaja dan bernilai kira-kira \(34.87\). Pada \(r=1\), nilainya kira-kira \(12.27\) dan \(10.26\); pada \(r=2\), kedua-duanya menggunakan nilai eigen terakhir dan bernilai kira-kira \(2.01\).

Pengiraan menghasilkan statistik ujian, bukan keputusan rank. Untuk membuat keputusan, bandingkan setiap statistik dengan nilai kritikal atau p-nilai yang sepadan dengan kes deterministik tepat dan turutan ujian. Contohnya, jadual perisian yang menyatakan “tolak \(r=0\)” memberikan bukti menentang rank sifar di bawah andaian jadual dan aras yang dipilih; itu bukan kebarangkalian langsung bahawa spread aset tertentu pegun. P-nilai melebihi ambang bermaksud hipotesis nol rank itu gagal ditolak, bukan terbukti benar.

Pilih tertib lag VAR yang munasabah sebelum mentafsir rank. VAR aras tertib \(p\) sepadan dengan \(p-1\) beza tertangguh dalam VECM. Lag yang terlalu sedikit boleh meninggalkan korelasi bersiri dalam baki; terlalu banyak pula menggunakan darjah kebebasan dan boleh menjadikan inferens sampel terhingga tidak stabil. Kriteria maklumat membantu menyusun pilihan tertib, tetapi diagnostik baki, saiz sampel dan masa ekonomi juga penting. Nyatakan cara tertib dipilih dan semak alternatif yang munasabah.

Tentukan sama ada pintasan dan trend diletakkan di luar hubungan kointegrasi, dihadkan di dalamnya atau tiada dalam model yang dikekalkan. Tetapan ini membayangkan tingkah laku jangka panjang dan taburan ujian rank yang berbeza. Pilih spesifikasi berdasarkan soalan dan data, bukan dengan mencari p-nilai paling menguntungkan. Gunakan nilai kritikal yang sepadan dengan kes deterministik tepat, bilangan pemboleh ubah dan pelaksanaan. Statistik rank Johansen mempunyai taburan tidak piawai. MacKinnon, Haug dan Michelis mengira taburan permukaan respons untuk ujian nisbah kebolehjadian jenis Johansen yang ditetapkan, termasuk peluasan yang membenarkan pemboleh ubah \(I(1)\) eksogen. Nilai mereka tidak boleh digunakan untuk setiap tetapan ujian rank.

Kedudukan sebutan deterministik bukan pilihan perisian yang sekadar kosmetik. Dalam parameterisasi lazim, pemalar yang dihadkan dalam hubungan kointegrasi membolehkan gabungan keseimbangan itu mempunyai min bukan sifar; pemalar tanpa sekatan di luar hubungan boleh membenarkan hanyutan deterministik yang berbeza pada aras. Sekatan trend juga mengubah laluan jangka panjang yang dikekalkan model. Label “pemalar disertakan” sahaja tidak memadai; laporkan kedudukan pemalar dan setiap sekatan.

Ruang kointegrasi ialah anggaran utama. Dalam model rank satu, mendarab vektor \(\beta\) dengan pemalar bukan sifar tidak mengubah gabungan aras yang pegun. Oleh itu, penganalisis memilih normalisasi, contohnya menetapkan satu pekali kepada satu. Pada rank lebih tinggi, beberapa asas boleh merentangi ruang yang sama; vektor yang dipaparkan perisian tidak semestinya hubungan ekonomi yang unik. Sekatan atau teori tambahan diperlukan untuk mentafsir vektor tertentu, dan normalisasi patut dilaporkan.

Matriks pelarasan \(\alpha\) menerangkan pemboleh ubah mana yang bertindak balas terhadap ketakseimbangan dalam sistem terpadan. Tandanya bergantung pada normalisasi pilihan, manakala entrinya ialah pekali bersyarat dalam sistem dan bukannya kesan sebab-akibat kendiri. Pemuatan kecil atau sifar boleh menimbulkan hipotesis eksogeniti lemah, tetapi kesimpulan itu memerlukan sekatan formal yang berkenaan dan model yang dikekalkan. Rank kointegrasi sahaja tidak memberitahu pemboleh ubah mana yang “mendahului”, hubungan mana yang bermakna dari segi ekonomi atau kesan kejutan terhadap harga masa depan.

Ketidakunikan ini ialah sifat pemfaktoran matriks, bukan sekadar cara hasil dipaparkan. Bagi \(H\) tak singular, \(\beta H\) dan \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) menghasilkan matriks jangka panjang \(\Pi\) yang sama. Maka ruang anggaran boleh dikenal pasti walaupun vektor yang dipaparkan satu demi satu tidak unik. Memilih satu vektor sebagai spread yang boleh didagangkan memerlukan normalisasi atau sekatan ekonomi yang jelas; unit dan risikonya masih perlu dianalisis secara berasingan.

Rank biasanya dinilai dengan menguji nilai calon secara berurutan bermula daripada sifar sehingga hipotesis nol pertama yang tidak ditolak. Rank terpilih ialah pilihan model di bawah aras keertian dan spesifikasi yang digunakan. Jika keputusan ujian trace dan nilai eigen maksimum berbeza, laporkan kedua-duanya dan kaji panjang lag, sebutan deterministik, kuasa ujian yang rendah, pecahan struktur dan kepekaan sampel; jangan sembunyikan percanggahan itu.

Nilai kritikal nisbah kebolehjadian tidak piawai dan bergantung pada spesifikasi sistem. Tingkah laku hampir punca unit, sampel pendek, pencilan, perubahan rejim, pemboleh ubah \(I(2)\) atau regresor bersepadu eksogen boleh menjadikan tetapan mudah \(I(1)\) tidak sesuai. Jadual rank standard tidak secara automatik merangkumi kes ini. Kajian asal Johansen membangunkan inferens kebolehjadian di bawah andaian VAR Gaussian; pengiraan permukaan respons kemudian menyediakan taburan rujukan bagi tetapan ujian yang ditentukan, bukan bagi semua masalah data.

Contohnya, jika ujian trace menolak \(r=0\) dan \(r=1\), tetapi tidak menolak \(r=2\), turutan lazim memilih rank dua di bawah spesifikasi dan aras keertian tersebut. Ini tidak bermakna kebarangkalian rank sebenar ialah dua sama dengan satu. Ujian nilai eigen maksimum membandingkan hipotesis nol bagi rank bersebelahan, maka keputusannya juga patut ditunjukkan. Jangan gunakan nilai kritikal satu ujian pada statistik ujian yang lain.

Rank terpilih turut bergantung pada tempoh sampel. Perubahan hubungan ekonomi, struktur pasaran atau takrif pemboleh ubah boleh menghasilkan anggaran berbeza bagi bahagian awal dan akhir sampel. Analisis kepekaan boleh mendedahkan ketidakstabilan itu, tetapi mencari banyak titik akhir menimbulkan masalah ujian berbilang yang lain. Nyatakan tetingkap yang dirancang terlebih dahulu dan anggap pecahan yang dicuba selepas melihat data sebagai bukti penerokaan.

Dalam kajian dagangan, vektor \(\beta\) yang dianggarkan mungkin menjadi calon takrif spread, tetapi rank tidak menyediakan aras masuk atau keluar, saiz posisi atau pulangan jangkaan. Jika terdapat beberapa vektor kointegrasi, pemilihan satu gabungan mungkin melibatkan normalisasi, kekangan dan pemilihan data. Walaupun hubungan statistik dianggarkan, wajaran boleh membawa posisi jualan singkat, leveraj atau kecairan yang rendah.

Anggarkan sistem hanya dengan maklumat yang tersedia pada setiap tarikh keputusan dan uji keseluruhan proses pemilihan serta penganggaran semula mengikut kronologi. Semak kestabilan hubungan di luar sampel dan masukkan dividen, peralihan kontrak, penukaran mata wang, pembiayaan, ketersediaan pinjaman sekuriti, spread bida-tawar, kesan pasaran dan masa pelaksanaan apabila berkenaan. Penolakan hipotesis nol rank ialah bukti tentang model tertentu, bukan dakwaan keuntungan. Ujian Engle–Granger dan pembetulan ralat menerangkan alternatif satu persamaan; kointegrasi berbanding korelasi dalam dagangan pasangan menjelaskan sebab korelasi ialah sifat yang berbeza.

Kenal pasti \(k\) pemboleh ubah, transformasi, kekerapan pemerhatian, tarikh sampel dan bukti tertib integrasi. Laporkan tertib lag VAR aras, kedudukan sebutan deterministik, saiz sampel berkesan, statistik trace dan nilai eigen maksimum, nilai kritikal atau p-nilai yang sepadan, aras keertian dan keputusan rank berurutan. Nyatakan sama ada kedua-dua ujian sependapat, rank yang diteruskan dan sama ada semakan kepekaan mengubah hasil.

Apabila membentangkan vektor, berikan normalisasi, sekatan dan pemuatan pelarasan yang berkaitan. Bagi aplikasi dagangan, dedahkan juga data yang tersedia pada setiap pengimbangan semula, peraturan pemilihan vektor, reka bentuk luar sampel, kos dan pengendalian kegagalan. Analisis vektor kointegrasi Johansen pada tahun 198890041-3) membangunkan pendekatan kebolehjadian kepada ruang kointegrasi dan rank. Kajian VAR Gaussian tahun 1991 membincangkan inferens rank dan hipotesis tentang vektor. MacKinnon, Haug dan Michelis menyediakan taburan permukaan respons bagi ujian nisbah kebolehjadian kointegrasi. Panduan berkaitan menerangkan kepegunan dan punca unit.