Penjelasan Formula Dynkin untuk Proses Stokastik

Bagi proses Markov homogen masa X, penjana L digunakan pada fungsi ujian f, bukan secara terus pada satu laluan terealisasi

Secara formal, Lf(x) ialah had masa singkat bagi E_x[f(X_h)] ditolak f(x), dibahagikan dengan h

Domainnya penting: had, kelicinan dan kebolehintegralan yang diperlukan bergantung pada proses dan versi teorem

Bagi t deterministik, bentuk asasnya ialah E_x[f(X_t)] = f(x) + E_x[∫₀ᵗ Lf(X_s) ds]

Bahagian kiri ialah jangkaan ufuk terhingga, manakala bahagian kanan menambah nilai awal kepada perubahan jangkaan setempat yang terkumpul

Ini ialah padanan stokastik kepada pengamiran terbitan, tetapi L merangkumi kesan hanyutan, resapan dan mungkin lompatan

Di bawah syarat yang sesuai, t boleh digantikan dengan masa henti τ, seperti masa pertama keluar dari suatu rantau

Kemudian peristiwa sempadan dan soalan masa sentuhan menjadi identiti jangkaan yang melibatkan penjana sebelum τ

Pensampelan optional tidak automatik: keterbatasan, pelokalan, keintegralan seragam atau hipotesis lain mesti mewajarkan jangkaan yang dihentikan

Proses M_t = f(X_t) - f(X_0) - ∫₀ᵗ Lf(X_s) ds ialah martingale setempat di bawah syarat domain yang sesuai

Mengambil jangkaan yang telah diwajarkan menghapuskan kenaikan martingale dan menghasilkan formula Dynkin

Bagi resapan Itô, penggunaan formula Itô mengenal pasti L daripada hanyutan dan kovarians, jadi kedua-dua hasil itu saling melengkapi dan bukannya bersaing

Fungsi nilai terdiskaun direka supaya tidak mempunyai keuntungan boleh diramal di bawah ukuran penentuan harga apabila syarat model dan tuntutan dipenuhi

Penggunaan formula Dynkin pada nilai itu menjadikan baki penjana sifar di rantau kesinambungan

Ini ialah salah satu laluan daripada jangkaan neutral risiko kepada persamaan penentuan harga ke belakang, dan daripada jangkaan dihentikan kepada masalah nilai sempadan

Memilih f(x) = x, x² atau polinomial lain boleh menghasilkan persamaan bagi momen apabila sebutan penjana yang terhasil tertutup

Memilih fungsi Lyapunov pula boleh membatasi kebarangkalian keluar, masa henti jangkaan atau kestabilan jangka panjang

Formula itu tidak memilih f untuk anda; pemahaman datang daripada pemilihan fungsi yang penjananya mendedahkan kuantiti yang diminati

Fungsi tidak terbatas, proses yang meletup, sempadan tidak teratur dan masa henti tak terhingga boleh membatalkan langkah jangkaan yang dibuat secara sambil lewa

Proses lompatan menggunakan penjana dengan sebutan kamiran, manakala model tidak homogen masa menambah terbitan masa atau keadaan yang diperluas

Nyatakan proses, domain penjana, peraturan henti dan syarat kebolehintegralan sebelum melayan identiti itu sebagai jalan pintas berangka