Proses Afin dan Persamaan Riccati Diterangkan

Bagi keadaan Markov X, model afin mencari E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x), dengan τ=T−t

Istilah afin merujuk kepada logaritma transform bersyarat ini yang terdiri daripada pemalar ditambah fungsi linear bagi keadaan semasa

Laluan masih boleh bersifat tak linear, heteroskedastik dan tidak berterusan; varians punca kuasa dua serta keamatan lompatan juga boleh termasuk dalam kelas ini

Keadaan kanonik yang biasa menggabungkan koordinat tidak negatif, seperti varians atau keamatan, dengan koordinat nyata yang tidak terhad, seperti log harga

Hanyutan, resapan dan ukuran lompatan mesti memenuhi syarat kebolehterimaan supaya proses kekal dalam ruang keadaannya dan mentakrifkan hukum Markov yang sah

Formula yang kelihatan afin sahaja tidak mencukupi: varians negatif, aktiviti lompatan yang meletup atau syarat kewujudan yang gagal boleh membatalkan spesifikasi tersebut

Transform itu boleh mengekod fungsi ciri, transform Laplace, momen, harga bon dan blok binaan hasil diskaun

Daripada membina semula keseluruhan ketumpatan peralihan, kita menilai φ dan ψ pada hujah kompleks yang diperlukan oleh formula penetapan harga

Pemisahan ini berkuasa: model stokastik membekalkan transform, manakala transform songsang atau transform hasil menukarkannya kepada harga

Apabila ansatz eksponen-afin dimasukkan ke dalam persamaan penjana, sebutan pemalar dikumpulkan ke dalam φ dan sebutan linear keadaan ke dalam ψ

Hasilnya ialah sistem berganding seperti ∂τφ = F(ψ) dan ∂τψ = R(ψ), dengan syarat awal φ(0,u)=0 dan ψ(0,u)=u

Sebutan resapan menjadikan R kuadratik, manakala lompatan menambah kamiran transform; sebab itu persamaan ini dipanggil persamaan Riccati teritlak

CIR menggunakan keadaan punca kuasa dua yang tidak negatif, manakala Heston menggandingkan log harga dengan varians punca kuasa dua dan mengekalkan transform gabungan afin

Model struktur kadar dan kredit afin boleh menjadikan kadar jangka pendek, keamatan mungkir atau pampasan lompatan sebagai fungsi afin bagi keadaan

Seni bina transform yang dikongsi tidak menjadikan model-model itu setara; setiap satu mempunyai kekangan keadaan, tingkah laku ekor dan makna ekonomi yang berbeza

Fungsi ciri wujud untuk frekuensi nyata, tetapi momen eksponen pada hujah kompleks mungkin hanya wujud dalam domain terhad

Penyelesaian Riccati boleh meletup pada ufuk terhingga, menandakan kegagalan momen dan tidak semestinya berakhirnya proses kebarangkalian asas

Ungkapan bentuk tertutup juga memerlukan cabang punca kuasa dua dan logaritma yang konsisten; bentuk yang sama secara algebra boleh berkelakuan berbeza dalam aritmetik titik apung

Semak nilai awal, hubungan semigrup, simetri konjugat, syarat martingal dan kes had yang diketahui sebelum menetapkan harga opsyen

Pantau penyelesai Riccati, domain transform, kesinambungan cabang dan kepekaan terhadap tolerans merentasi grid tempoh matang dan parameter

Kebolehselesaian afin mengecilkan satu masalah sukar kepada beberapa masalah yang lebih kecil; ia tidak menghapuskan risiko kalibrasi, ralat berangka atau salah spesifikasi model