予測エンコンパッシング検定とは？一方の予測に他方の情報は含まれるのか

AとBが同じ対象を予測するとします。検定の問いは、Aの情報を考慮した後でも、Bが対象の説明に役立つかどうかです。指定した線形結合のもとで、AがBをエンコンパスするという帰無仮説は、Bが追加の予測情報を提供しないことを表します。帰無仮説を棄却できれば、その設定ではBが追加情報を持つ証拠になり得ます。

これは「この標本で、どちらのRMSEが小さいか」とは異なります。RMSEは個々の予測誤差の大きさを要約します。一方、エンコンパッシングは、一方の予測や誤差に、もう一方を条件とした追加情報があるかを見ます。BのRMSEが低くても、その情報がAに含まれていることがあります。逆に、RMSEが高いBでも、ある方向の追加情報を持つ可能性があります。

ChongとHendryは線形マクロ経済モデルの評価でエンコンパッシングの考え方を扱います。解釈の範囲は、指定した目的変数、予測期間、情報集合、モデル設定に限られます。Aがあらゆる意味で正しいという証明ではありません（Chong and Hendry, 1986）。{source:chongHendry1986ForecastEncompassing}

RMSE（二乗平均平方根誤差）は平均二乗誤差（MSE）の平方根です。最小のRMSEは、その標本・期間・目的変数・損失で誤差が小さかったことを示します。エンコンパッシング検定は予測同士の関係を問います。日付をそろえて比べても、二つの結論が一致するとは限りません。

Bの大きな誤差がいくつかRMSEを押し上げても、BとAの予測差がAの誤差に関連する情報を持つことがあります。反対に、BのRMSEが低くても、Aにない情報を加えているとは限りません。個々の精度表と、結合・エンコンパッシングの結果は分けて報告します。

近い検定の問いも区別してください。Diebold–Mariano検定は指定した損失の平均差を比べます。Clark–West検定は、入れ子モデルの標本外MSPE比較に生じる推定ノイズを調整します。予測結合の解説は平均や推定重みを扱います。Mincer–Zarnowitz検定は切片と傾きの校正を調べます。それぞれ問いと帰無仮説が異なります。

帰無仮説のもとでは、競合する非入れ子予測と、大きなモデルが制約付きモデルを含む場合とで、予測誤差の相関や推定誤差の構造が異なり得ます。一方で妥当なOLS統計量や基準分布を、もう一方にそのまま適用できるとは限りません。

Harvey、Leybourne、Newboldは、自然なOLSエンコンパッシング検定の帰無分布が予測誤差の非正規性に頑健ではないことを指摘し、代替法を論じています。OLS回帰を実行しただけでは一般的なp値は正当化されません。標本数、誤差分布と依存性、予測の生成方法を検定手順と併せて示します（Harvey, Leybourne and Newbold, 1998）。{source:harveyLeybourneNewbold1998ForecastEncompassing}

ClarkとMcCrackenは、自ら分析した入れ子線形モデルの1期先・標本外予測の設計で、予測精度の等しさとエンコンパッシング検定が持つ非標準の漸近・有限標本特性を扱います。この結果は、あらゆる入れ子予測や非入れ子比較に自動的に当てはまるものではありません。これは非入れ子比較にそのまま当てはまる結果ではなく、逆方向の適用にも注意が必要です（Clark and McCracken, 200100071-9)）。{source:clarkMcCrackenNestedForecasts2001}

予測が推定済み回帰係数に依存するなら、推定誤差も比較に入ります。Westは推定回帰パラメーターに依存する予測のエンコンパッシング検定を扱っています。最終的な予測値だけでなく、各予測起点の推定標本と手順も保存してください（West, 2001）。{source:west2001EstimatedForecastsEncompassing}

目的変数を \(y_t\)、同じ期間と情報 cutoff に基づく予測を \(f_{A,t}\)、\(f_{B,t}\) とします。基準予測の誤差と予測差を次のように定義します。

\[ e_{A,t}=y_t-f_{A,t}, \qquad d_t=f_{B,t}-f_{A,t} \]

単純な結合予測は \(f_{C,t}=f_{A,t}+w d_t\) です。\(w=0\)ならAだけを使い、\(w=1\)ならBになります。その間の値は二つを混ぜます。0から1の外にある重みは、一方の予測を越えて外挿する結合です。

\(e_A\)を\(d\)に回帰した傾きは、BとAの予測差がAの誤差と線形に関係するかを示す直感になります。傾きがゼロから離れていれば、指定した推定手順と仮定のもとで追加情報がある可能性を示します。ただしこれは全ての実装に共通する同一の統計量や臨界値ではありません。

切片を含む回帰 \(e_{A,t}=a+w d_t+u_t\) では、\(a\)は平均誤差の調整に、\(w\)は予測差の傾きに関係します。切片も結合予測に反映するなら \(f_A+a+w d\) です。切片を認めない結合では係数が異なる場合があります。参照する論文や実装の回帰式を確認してください。

母集団で切片を含む回帰の傾きは \(\beta=\operatorname{Cov}(e_A,d)/\operatorname{Var}(d)\) です。\(\operatorname{Var}(d)>0\) のとき \(\beta=0\) が意味するのは、切片で平均誤差を調整した後に線形の共分散関係がないことです。\(e_A\) と \(d\) の独立、または条件付き独立を意味しません。切片なし回帰は、生のモーメント条件 \(E[e_A d]=0\) を課します。\(\operatorname{Cov}(e_A,d)=E[e_A d]-E[e_A]E[d]\) なので、これは \(E[e_A]=0\) または \(E[d]=0\) の場合に限って共分散ゼロと一致します。切片を除くことは \(\alpha=0\)、すなわち平均誤差を補正しない制約も課します

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次の数値は仮定の例で、単位はすべてbp（ベーシスポイント）です。\(d=f_B-f_A\)、\(e_A=y-f_A\)とし、予測起点が6つあるとします。

切片を含むOLSでは、誤差の平均は \(\bar e_A=1/3\)bpです。中心化した積の合計は \(\sum d_t(e_{A,t}-\bar e_A)=16.4\)、予測差の二乗和は \(\sum d_t^2=42\)です。したがって傾きは \(16.4/42\approx0.3905\)です。この小さな例では、BとAの差のおよそ39%を加える線形調整がAの誤差構造と関係しています。

切片を結合予測に適用する設定なら、補正は \(1/3+0.3905d_t\) です。切片なしの重みも同じだとは限りません。この6観測は係数の計算を示すだけです。p値、有意性、標本外の優位性、一般化可能性を主張する根拠にはなりません。

無条件と条件付きのエンコンパッシングは異なる問いです。情報集合が二つの予測だけなのか、景気やボラティリティなどの状態変数も含むのかを明記します。各変数が予測起点で利用可能だったことも確認してください。後から判明した情報を加えると、リアルタイムの問いではなくなります。

結合重みを自由にするか、\(0\leq w\leq1\)のように制約するかで解釈が変わります。制約のないOLSでは重みが0から1の外に出ることがあります。これは計算ミスではなく、単純な平均ではなく外挿を許した仕様の結果です。制約付きと制約なしの結合は異なる推定問題です。

切片による偏り調整や、変数の中心化をするかも事前に決めます。結果を見てから切片、制約、条件変数を変更すると、仕様選択が推論に混ざります。帰無仮説、結合式、情報集合、推定標本、推論手順をまとめて報告しましょう。

各行の \(y_t\)、\(f_A\)、\(f_B\)が、同じ目的変数、期間、単位、予測起点、情報 cutoff を指すか確認します。月次リターンと翌月末までの累積リターンは、そのまま比べられるとは限りません。データの公表遅れや目的変数の改定も記録します。

予測は当時利用できたデータだけから作る必要があります。学習期間、モデルの版、再推定の時期、変換、ハイパーパラメーターの選択を保存してください。推定回帰係数に依存するなら、推定標本が評価期間や将来情報を使っていないことを確かめます。標本内の当てはめ値は、当時作った標本外予測記録の代わりにはなりません。

重みやモデルの選択期間は最終評価から分離します。予測起点 \(t\)では、\(t\)より前に結果が分かっていた記録だけで規則を決め、AとBを同じ将来の対象で評価します。複数期先の予測が重なる場合、誤差や損失に依存性が生じることがあります。各行を独立と扱わず、設計に沿った推論を使います。

回帰誤差の系列に異分散や自己相関がある場合は、設計と予測期間に合うHAC共分散推定量を検討できます。NeweyとWest（1987）は、異分散と自己相関に頑健で正半定値となる共分散行列推定量を示しました（Newey–West, 1987）。{source:neweyWest1987} 使用した推定量とラグの決め方を報告してください。HAC標準誤差を使っても、非正規性や入れ子モデルに由来する帰無分布の問題が自動的に解決するわけではありません。

帰無仮説を棄却できなくても、二つの予測が同等、またはAが優れていると証明されたことにはなりません。指定した検定で追加情報を明確に検出できなかったという結果です。検出力の低さ、短い標本、高い誤差相関、モデルの設定ミスが情報を見えにくくすることがあります。同等性を主張するには専用の許容幅と検定設計が必要です。

棄却できても、Bが利益を生む、あるいは取引コストを上回ることを示すわけではありません。予測情報は、売買ルール、約定価格、スプレッド、手数料、市場インパクト、資金調達、リスク制限を考慮した戦略成績とは別です。戦略における有用性は別途評価します。

再現可能な報告には、目的変数、予測時点、予測の生成方法、情報 cutoff、切片と制約、条件変数、標本期間、欠測処理、帰無仮説、統計量と標準誤差の推定法を含めます。モデルが入れ子か、推定パラメーターがどう関与するかも明記します。RMSEを載せる場合は別の問いとして説明してください。

• Chong and Hendry, “Econometric Evaluation of Linear Macro-Economic Models” (1986), *Review of Economic Studies*, 53(4), 671–690
• Harvey, Leybourne and Newbold, “Tests for Forecast Encompassing” (1998), *Journal of Business & Economic Statistics*, 16(2), 254–259
• Clark and McCracken, “Tests of Equal Forecast Accuracy and Encompassing for Nested Models” (2001), *Journal of Econometrics*, 105(1), 85–11000071-9)
• West, “Tests for Forecast Encompassing When Forecasts Depend on Estimated Regression Parameters” (2001), *Journal of Business & Economic Statistics*, 19(1), 29–33
• Newey and West, “A Simple, Positive Semi-definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix” (1987), *Econometrica*, 55(3), 703–708