ボラティリティモデルのEngle–Ng符号・サイズバイアス検定

モデルはリターンの大きさの集積を捉えていても、異なるショックが将来の分散に与える影響の違いを取りこぼすことがあります。対称GARCHは、同じ大きさの正負のイノベーションに同じ分散効果を与えます。符号ごとに標準化残差のパターンが異なるなら、その制約は標本に対して強すぎる可能性があります。

EngleとNgはこれを推定後の診断として扱います。過去のイノベーションの符号、または正負の枝の中での大きさが、今日の二乗正規化残差を説明するかを問います。原論文はニュース・インパクト曲線を定義し、日本株の日次リターンでモデルを比較しました。その順位は当該標本の結果であり、全市場に通用する結論ではありません（Engle and Ng, 1993）。

ここでの「バイアス」は推定された分散モデルに残る符号・大きさのパターンを指し、パラメーター推定量の統計的バイアスではありません。まずGARCHモデルを定義し、目的と標本に対してショック応答が適切かを調べます。

リターンを次のように表します。

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

ここで \(\mu_t\) は条件付き平均、\(\epsilon_t\) は平均モデルを推定した後のイノベーションです。\(h_t\) は推定された条件付き分散で、標準化残差はモデルが予測する分散スケールに対するイノベーションの大きさを示します。

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

分散モデルが適切なら、すでに説明された効果を超えて、特定の過去ショックの後に \(\hat z_t^2\) が系統的に大きく、または小さくなるはずはありません。標準化で予測分散のスケールを除きますが、未標準化残差の二乗には通常のボラティリティ集積が残り得ます。p値を解釈する前に、平均式、残差、分散、標本、単位を明確にします。

直前のイノベーションが負であることを示す指標と、その補数を定義します。

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

符号検定の回帰変数は \(S^-\)、負の大きさの検定は \(S^-\hat\epsilon\)、正の大きさの検定は \(S^+\hat\epsilon\) です。各検定は異なる問いを扱います。符号だけが重要か、各枝の中で大きさが追加情報を持つかです。ゼロのイノベーションをどちらに分類するか、単位も明記してください。大きさの係数は単位に依存します。

ニュース・インパクト曲線は、ほかの状態を固定したとき、新しいイノベーションが次の条件付き分散にどう反映されるかをモデルごとに要約します。対称GARCHの曲線はゼロを中心に対称で、非対称仕様はその制約を緩めます。これはモデルの性質であり、市場で直接観察した因果反応ではありません。

\(\mathbf z_{ot}^*\) は、帰無仮説の下で評価した、維持された条件付き分散を攪乱パラメータで微分した正規化導関数のベクトルです。これらはスコア／導関数項であり、分散モデルの生の回帰変数そのものとは限りません。各補助回帰ではこれらを残し、符号またはサイズ項の追加効果を検定します。

符号検定は、直前のイノベーションの符号が現在の二乗標準化残差を予測するかを調べます。帰無分散モデルのほかの項を残す補助回帰は次の通りです。

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

個別の帰無仮説は \(b_s=0\) です。ほかの維持項を含めた上で、符号指標が追加する説明力を検定します。有意な係数は、推定モデルを条件としたときに負のショックと非負のショックの後で残差分散のパターンが異なることを示します。

これは負のリターンが常にボラティリティを高めるという意味ではありません。因果メカニズムや、あらゆる非線形応答を特定するものでもありません。棄却されたらモデルとデータを点検します。

この検定は負の枝に注目し、イノベーションの大きさが残存パターンを説明するかを調べます。

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

個別の帰無仮説は \(b_-=0\) です。指標が1ならイノベーションは負なので、係数の符号は符号規約と単位に照らして解釈します。検定は負のショックの大きさが分散モデルにない情報を加えるかを調べます。悪いニュースの因果効果や予測改善を証明しません。

補助回帰変数は相関することがあり、各項の寄与を分離しにくくなります。個別検定は完全な回帰式と共同検定を併せて解釈します。

関連研究ではGJRなどの非対称分散仕様を比較していますが、実証結果は各研究のデータと仮定に限られます（Glosten, Jagannathan, and Runkle, 1993）。

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対応する検定は正のイノベーションの枝を調べます。

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

帰無仮説は \(b_+=0\) です。符号検定が有意でなくても、この検定は有意になり得ます。符号間の平均差がなくても、片方の枝の中で大きさに応じて応答が変わることがあるためです。

「正の大きさバイアス」は、正のリターンが必ずボラティリティを上げたり下げたりするという意味ではありません。NelsonのEGARCHやZakoianの閾値モデルは非対称な分散動学を許します。評価対象となる代替モデルであり、自動的な修正や常に優れたモデルではありません。

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

三つの回帰変数を一つの補助回帰で同時に検定できます。

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

共同帰無仮説は \(b_1=b_2=b_3=0\) です。維持された帰無モデル項を含み、大標本条件の下で、共同LM検定は自由度3のカイ二乗分布と漸近的に比較されます。一般的な形は \(LM=M R^2\) で、\(M\) は利用行数、\(R^2\) は指定回帰の決定係数です。採用した実装の回帰式と有限標本の規則に従ってください。

EngleとNgは、共同回帰から \(\mathbf z_{ot}^*\) を省くと検定が保守的になり、サイズは名目水準以下になる一方、検出力が低下する可能性があると述べています。

純粋な仮定例として、\(M=400\)、\(R^2=0.012\) なら \(LM=4.8\) です。自由度3のカイ二乗分布の5%臨界値は約7.81なので、ここでは棄却されません。説明用の数字であり、実証結果でも対称性の証明でもありません。

小さなp値は特定の残差パターンを調べる根拠ですが、代替モデルを選んだり、因果的なレバレッジ機構や予測の経済価値を証明したりするものではありません。大きなp値は、選んだパターンをこの標本で検出できなかったことを示すだけです。

補助回帰変数は相関することがあり、特に符号指標と負の大きさ項の共線性は個別検定の検出力を弱めます。標本規模、推定、維持した仕様も結果に関係します。多くの資産・モデル・ラグ・期間を試せば、偶然に小さなp値が見つかる可能性が高まります。

外れ値、ジャンプ、構造変化、欠落した平均動学、イノベーション単位の不統一も結果に影響します。リターン定義、推定期間、符号規約、推論方法を記録し、漸近近似の限界を示してください。必要に応じて適切な再標本化を検討します。

ARCH LMは、ラグ付き残差二乗が現在の残差二乗を説明するかを問います。ARCH-LMガイドを参照してください。Engle–Ngは特定の符号・枝別サイズ項を検定します。Ljung–Box検定は残差の自己相関を調べ、別の問いに答えます。

棄却後にはGJR-GARCH、EGARCH、閾値仕様などを推定し、残差を再確認して予測を別途評価できます。QLIKEと二乗誤差損失は予測の作成後に採点するもので、残差の仕様診断を置き換えません。

ボラティリティ予測を売買ルールに使うなら、手数料、スプレッド、市場インパクト、資金調達費用、リスク制限を含めて標本外で評価してください。符号・大きさバイアス検定は売買シグナルではありません。