Realized GARCH: modelar conjuntamente rendimientos y volatilidad realizada

Los modelos ARCH y GARCH infieren los cambios de varianza a partir de una serie de rendimientos. Un rendimiento es una señal ruidosa del movimiento ocurrido durante su periodo: un rendimiento cierre a cierre inusualmente pequeño no significa que toda la sesión haya sido tranquila, y uno grande no revela la trayectoria que lo produjo. Los precios intradía pueden aportar una medida realizada independiente, como la varianza realizada, con más información sobre los movimientos de la sesión.

Realized GARCH incorpora esa medida a la dinámica de la varianza. En la especificación básica, tanto la varianza condicional anterior como la medida realizada anterior ayudan a actualizar la varianza condicional actual. El modelo también incluye una ecuación para la propia medida realizada. Esta ecuación adicional es esencial: describe cómo se relaciona la medida con la varianza latente y el choque del rendimiento, en lugar de dejarla como una entrada externa sin explicación.

El artículo original encuentra un mejor ajuste empírico que el GARCH basado solo en rendimientos diarios en su muestra de acciones del Dow Jones Industrial Average y un fondo cotizado. Es un resultado limitado a esa muestra, no una garantía de que Realized GARCH vaya a pronosticar mejor cualquier activo o periodo. Para el modelo basado solo en rendimientos, consulta la guía de GARCH.

Sea (rₜ) el rendimiento del periodo (t), una vez restada la media condicional si el modelo la incluye. (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) es la varianza condicional conocida al inicio de ese periodo, y (xₜ) es una medida realizada positiva que se observa durante el periodo (t) o al final. Por ejemplo, (xₜ) puede ser la suma de los rendimientos intradía al cuadrado, expresada en las mismas unidades de rendimiento al cuadrado que (hₜ).

El orden temporal importa. La previsión de (hₜ) usa la información disponible antes del periodo (t). Tras observar (rₜ) y (xₜ), el modelo actualiza la siguiente previsión de varianza, (hₜ₊₁). No uses (xₜ) para afirmar que habías previsto (hₜ) antes de que terminara el periodo (t).

Realized GARCH es un modelo dinámico de rendimientos y de una medida observada de volatilidad. No es lo mismo que la regresión MIDAS, que relaciona datos de distintas frecuencias mediante una función estructurada de ponderación de retardos. Ambos pueden usar información intradía, pero antes de compararlos hay que identificar sus ecuaciones, objetivos y tiempos de disponibilidad.

Una especificación común de Realized GARCH(1,1) contiene una ecuación de rendimiento, una de varianza y una de medición:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Aquí (zₜ) es la innovación estandarizada del rendimiento, (uₜ) es el error de medición y (τ(zₜ)) permite que la medida observada dependa del choque del rendimiento. La primera ecuación escala un choque de varianza unitaria con la desviación estándar condicional. La segunda actualiza el logaritmo de la varianza con el logaritmo de la varianza y de la medida realizada anteriores. La tercera relaciona el logaritmo observado de la medida con el logaritmo actual de la varianza latente, el choque del rendimiento y una innovación de medición.

La forma logarítmica resulta práctica porque representa valores positivos de (hₜ) y (xₜ) en una escala logarítmica sin restricciones; al exponenciar la previsión de varianza se obtiene un valor positivo. Por eso (ω) es el intercepto de la ecuación de log-varianza, no la varianza de largo plazo. En el modelo básico, los parámetros se estiman conjuntamente, no se interpretan de forma aislada.

Al sustituir la ecuación de medición de t−1 en la actualización de varianza, se ve cómo la medida realizada retroalimenta el logaritmo de la varianza:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

En esta especificación (1,1), la persistencia de la log-varianza se resume con β + γφ, no con β por sí solo. La relación de medición aporta retroalimentación: una varianza anterior mayor se asocia con una medida realizada mayor, que después entra en la siguiente actualización. Este desarrollo algebraico ayuda a interpretar los coeficientes estimados, pero no demuestra la estacionariedad de todas las extensiones de Realized GARCH. Para inferir, hay que usar las restricciones de la especificación estimada.

Hansen, Huang y Shek presentan las formas lineal y log-lineal del modelo conjunto y su estructura de tres ecuaciones (2012). La especificación estimada debe indicar el orden de los retardos, la medida realizada, el tratamiento de la media condicional y los supuestos sobre las innovaciones.

La ecuación de medición ayuda a explicar por qué la medida realizada puede variar tanto con la varianza latente como con el choque del rendimiento. Una función de apalancamiento habitual es:

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

El término lineal y el cuadrático centrado pueden representar una relación asimétrica entre los choques del rendimiento y la medida realizada. Los coeficientes determinan su forma; la fórmula por sí sola no demuestra que los rendimientos negativos causen volatilidad futura.

En la formulación básica del artículo, (zₜ) y (uₜ) se modelan como innovaciones separadas, (zₜ) está estandarizada y se supone que ambas son independientes. Es una especificación estadística manejable, no una prueba de que los rendimientos de mercado o los errores de medición sigan una distribución concreta en todas las muestras. Se puede usar una cuasiverosimilitud gaussiana para estimar sin afirmar que los rendimientos sean normales.

Esta ecuación también distingue Realized GARCH de GARCH-X. GARCH-X puede incluir una medida observada en la actualización de varianza sin especificar su propia dinámica. Realized GARCH modela también la medida, lo que permite pronósticos a más de un paso cuando las medidas futuras aún no se observan. El modelo describe una relación estadística conjunta; no convierte la medida realizada en una causa externa.

Supongamos que un modelo log-lineal estimado tiene (ω=-0.7824), (β=0.75) y (γ=0.15). Al cierre del periodo (t), la varianza condicional actual es (hₜ=0.0004) y la medida realizada observada es (xₜ=0.0009). Todos los valores son hipotéticos, positivos y están en la misma escala diaria de varianza de rendimientos decimales.

Usa la ecuación de varianza para actualizar la previsión del periodo (t+1):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

La desviación estándar condicional correspondiente es (√0.0004517 ≈ 0.02125), o cerca del 2,13% para el periodo de rendimiento indicado. La medida realizada afecta a la previsión de varianza siguiente a través de su coeficiente estimado. Este cálculo no vuelve a estimar los coeficientes ni usa la ecuación de medición para afirmar que (xₜ=hₜ).

El ejemplo ilustra solo la aritmética. No incluye incertidumbre de parámetros, error de estimación ni observaciones fuera de muestra, así que no permite concluir que haya significación estadística o que el modelo supere a una referencia <!-- learn:illustration -->

La estimación requiere observaciones alineadas de rendimientos y medidas realizadas. La verosimilitud o cuasiverosimilitud combina la ecuación de rendimientos con la de medición; por tanto, cambiar los supuestos sobre la distribución o dependencia de las innovaciones puede cambiar los parámetros estimados. Indica el método de estimación, los supuestos de innovación, el tratamiento de la media condicional, la medida realizada y las reglas de limpieza de datos, en lugar de mostrar únicamente la recursión de actualización.

Al terminar cada periodo, el modelo puede usar el nuevo rendimiento y la medida realizada para actualizar su estado y generar la siguiente previsión de varianza. En un pronóstico a varios pasos, los valores futuros de (x) todavía se desconocen. Una especificación completa de Realized GARCH incluye la dinámica de la medida realizada; por tanto, el pronóstico debe reflejar su distribución o esperanza futura y no insertar valores del periodo futuro tomados de la muestra de prueba.

El objetivo de evaluación debe coincidir con el pronóstico: por ejemplo, la varianza condicional del rendimiento del periodo siguiente o una medida realizada para el mismo intervalo. Alinea el objetivo, la proxy, las unidades, el horizonte y las fechas de evaluación. La verosimilitud dentro de muestra compara el ajuste del modelo, pero no sustituye una evaluación cronológica de pronósticos.

Guarda cada pronóstico cuando habría estado disponible, reestima solo con información conocida en ese momento y compara con una referencia predefinida en una muestra común. Elige la función de pérdida antes de revisar los resultados e informa de la diferencia de pérdidas emparejada con una estimación de incertidumbre que tenga en cuenta la dependencia cuando sea necesario. La guía de QLIKE y error cuadrático explica cómo las propiedades de la proxy y la pérdida elegida afectan la comparación.

La utilidad del modelo depende de la medida y del intervalo que utilice. Una medida realizada calculada con precios intradía puede omitir el movimiento nocturno aunque (rₜ) sea un rendimiento cierre a cierre. El artículo original permite que la medida cubra un periodo más corto que el intervalo del rendimiento; su ecuación de medición no exige que (xₜ) sea una estimación insesgada de (hₜ). Eso no vuelve inocua la diferencia entre intervalos: la interpretación de (φ), el objetivo del pronóstico y cualquier comparación dependen de ellos.

El artículo da un ejemplo concreto: una medida construida con unas 6,5 horas de negociación puede emparejarse con la varianza condicional de un rendimiento cierre a cierre de 24 horas. En ese caso, los autores esperan φ < 1 porque la medida intradía solo recoge una parte del intervalo completo del rendimiento. Por tanto, el φ estimado depende de la medida, la sesión y la definición del rendimiento; no es un factor de calibración universal que pueda trasladarse sin cambios a otro activo o diseño de muestreo.

Los datos de alta frecuencia también pueden incluir rebotes entre oferta y demanda, negociación asíncrona, granularidad de precios, cotizaciones desactualizadas y errores de registro. La guía de volatilidad realizada en dos escalas describe un estimador pensado para tratar parte del ruido de microestructura de alta frecuencia. Hansen y Lunde documentan que ese ruido puede afectar de forma importante la medición de la varianza realizada (2006). Cambiar la proxy puede modificar el ajuste, las previsiones y las estimaciones de apalancamiento.

La especificación log-lineal usa (log xₜ), así que la medida elegida debe ser estrictamente positiva. Si los datos pueden ser cero o negativos, la forma logarítmica no se puede aplicar sin una transformación o un filtro justificados. Un suelo modifica el modelo y debe declararse. Comprueba si la medida incluye saltos, qué sesión cubre, cómo trata las barras ausentes y si sus unidades coinciden con la varianza del rendimiento. Más observaciones intradía no eliminan automáticamente el error de medición.

El GARCH ordinario usa rendimientos rezagados o innovaciones al cuadrado junto con la varianza previa. Realized GARCH incorpora una medida realizada a la dinámica de varianza y la modela con una ecuación que la conecta con la varianza latente y los choques de rendimiento. GARCH-X suele tratar la medida añadida como una entrada externa. La regresión MIDAS aplica una curva de ponderación parametrizada a retardos de distintas frecuencias; GARCH-MIDAS es un híbrido relacionado con sus propias ecuaciones. Estos nombres no son intercambiables.

El modelo pronostica una varianza condicional o medida realizada definida bajo sus supuestos. No predice la dirección del rendimiento, no prueba que una medida intradía cause la varianza del periodo siguiente ni demuestra que una estrategia sea rentable. Una buena verosimilitud dentro de muestra no garantiza mejores previsiones futuras. Las conclusiones de trading requieren una señal definida por separado y una evaluación después de costes que incluya spread, comisiones, impacto de mercado, financiación y límites de riesgo.

Para que el análisis se pueda reproducir, especifica activo y muestra, definición del rendimiento y media condicional, construcción de la medida realizada y ventana de sesión, ecuaciones y retardos del modelo, supuestos de las innovaciones, ventana de estimación, origen y horizonte del pronóstico, referencia, pérdida de evaluación y método de incertidumbre. Muestra la sensibilidad a medidas alternativas plausibles y declara las exclusiones de datos o ajustes para asegurar positividad