Semivida de Ornstein–Uhlenbeck: reversión a la media en trading

Supongamos que un diferencial está por encima de su media estimada de largo plazo. Un modelo de reversión a la media afirma que, en promedio, el diferencial tiende a volver hacia ella con el tiempo. La semivida responde a una pregunta concreta: según el modelo estimado, ¿cuánto tarda en reducirse a la mitad la desviación esperada? Si la desviación inicial es de 100 puntos básicos, una semivida de cuatro periodos significa que la desviación esperada condicional del modelo será de unos 50 puntos básicos después de cuatro periodos.

La afirmación se refiere a una esperanza sobre trayectorias posibles. El diferencial observado puede subir primero, cruzar la media enseguida o permanecer alejado mucho más tiempo. La semivida también depende de la unidad de observación: la estimación con datos diarios se expresa en días y la basada en datos horarios, en horas. Indica siempre el intervalo de muestreo y el modelo con el que se estimó la velocidad.

Un proceso OU de un factor puede escribirse así:

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

donde \(\mu\) es la media de largo plazo, \(\kappa>0\) la velocidad de reversión a la media, \(\sigma\) controla la variación aleatoria instantánea y \(W_t\) es un movimiento browniano. La deriva apunta hacia \(\mu\): por encima de la media, su dirección condicional es descendente; por debajo, ascendente.

La desviación esperada condicional evoluciona según

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

Iguala el multiplicador a la mitad, \(e^{-\kappa h}=1/2\), y despeja el tiempo transcurrido:

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

La semivida no incluye \(\sigma\). La volatilidad afecta a cuánto se dispersan las trayectorias individuales alrededor de la esperanza condicional, mientras que \(\kappa\) determina la tasa esperada de decaimiento en este modelo. El análisis del movimiento browniano de Uhlenbeck y Ornstein proporciona la base clásica del proceso estocástico; más adelante, Vasicek utilizó un proceso de tipo OU para modelar el tipo de interés a corto plazo.

Con observaciones equiespaciadas por un intervalo \(\Delta\), una muestra exacta del proceso OU tiene la forma

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

En el modelo OU escalar, si \(\kappa>0\), entonces \(0<\phi<1\). La semivida discreta, medida en número de observaciones, es

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

y el tiempo transcurrido se obtiene multiplicando ese valor por \(\Delta\). Si el coeficiente AR(1) estimado es cero o negativo, o es igual o superior a uno, no se aplica esta conversión sencilla a una velocidad positiva de reversión OU. Puede hacer falta otro modelo dinámico en lugar de forzar una interpretación OU.

La misma ecuación se puede estimar en diferencias, \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\). Para un AR(1) estacionario que además cumpla \(0<1+b<1\), fija \(\phi=1+b\), \(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\), y la media de largo plazo implícita es \(-a/b\) si \(b\ne0\). Mantén el intervalo de muestreo en la conversión: pasar de datos diarios a semanales cambia la escala temporal del coeficiente.

La unidad de tiempo viene dada por \(\Delta\). En una serie diaria de acciones, cada paso suele representar una sesión bursátil, no 24 horas de calendario. Por eso, no describas automáticamente una semivida de cuatro observaciones como cuatro días naturales si entre ellas hay un fin de semana o un festivo bursátil. Si las barras tienen duraciones irregulares, como en el muestreo por eventos o por volumen, quizá no se aplique la conversión con un intervalo constante. Indica el activo, el calendario de muestreo y si la unidad comunicada es una observación, una sesión bursátil o el tiempo transcurrido.

Supongamos que un modelo de diferencial diario estima \(\phi=0.84\) a partir de observaciones diarias equiespaciadas. Es un valor hipotético con fines didácticos, no una estimación actual. La velocidad de reversión a la media por día es \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\), por lo que

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{ días de negociación}. \]

Después de cuatro días, la desviación esperada equivale a \(0.84^4\approx0.498\) de su tamaño inicial. Así, una desviación de 100 puntos básicos tendría una esperanza condicional implícita en el modelo de unos 49.8 puntos básicos tras cuatro observaciones, antes de considerar la incertidumbre de estimación o posibles cambios del proceso.

La figura siguiente representa el decaimiento exponencial alrededor de un equilibrio. La curva es conceptual: no es un historial de precios ni afirma que todos los diferenciales sigan esa trayectoria. Los resultados individuales pueden fluctuar mucho alrededor de la media condicional.

Empieza por definir \(X_t\). Un residuo de cointegración, una diferencia de precios, un diferencial de logprecios, una señal ajustada por volatilidad y un diferencial de rendimientos son series distintas. Sus unidades y dinámicas también difieren. Un resultado de cointegración puede respaldar una combinación lineal estacionaria bajo sus supuestos, pero no establece que el residuo siga un proceso OU con parámetros constantes.

Antes de estimar, elige la frecuencia de muestreo, la ventana de formación, la especificación de la media y la estructura de rezagos. Un AR(1) sencillo puede ocultar autocorrelación, cambios de volatilidad, saltos, microestructura intradía o cambios de régimen. Examina el comportamiento de los residuos y la estabilidad de los parámetros, e indica si la estimación depende de una muestra concreta. La comparación empírica de Chan, Karolyi, Longstaff y Sanders muestra por qué la evidencia de reversión a la media puede ser débil y depender del modelo, incluso para tipos de interés a corto plazo.

Para un diferencial de trading, estima los parámetros solo con los datos disponibles en cada fecha de formación. Volver a estimar el diferencial o su media con observaciones futuras introduce sesgo de anticipación. Si recalibras con el tiempo, describe el calendario de actualización y evalúa todo el procedimiento en datos posteriores, en lugar de tratar el coeficiente estimado como conocido.

La transformación de \(\phi\) a la semivida es no lineal. Cuando \(\phi\) se acerca a uno desde abajo, \(\ln(\phi)\) se aproxima a cero y la semivida implícita crece rápidamente. Por eso, un pequeño cambio en el coeficiente estimado puede modificar mucho el tiempo calculado. Por ejemplo, las estimaciones hipotéticas \(\phi=0.80\), \(0.84\) y \(0.88\) implican unas 3.11, 3.98 y 5.42 observaciones por semivida, respectivamente.

Informa la incertidumbre de la velocidad o de la semivida transformada mediante un método de inferencia adecuado al estimador y a la muestra. Si un intervalo de confianza para \(\phi\) llega a uno o lo cruza, quizá ese intervalo no respalde una semivida OU estacionaria, positiva y finita. No presentes solo una estimación puntual y, si eliges la serie que parece más rápida entre muchas, ten en cuenta la selección. Cerca de una raíz unitaria, el error de estimación puede dominar la precisión aparente de una sola cifra de semivida.

Para dimensionar la incertidumbre, supongamos que el intervalo hipotético del 95 % para el coeficiente estimado es \([0.78,0.92]\). Dentro del rango OU estacionario, la semivida transformada aumenta con \(\phi\), así que el intervalo equivale a unas 2.79–8.31 observaciones, aunque la estimación puntual \(0.84\) dé 3.98. Es una ilustración, no un resultado empírico. Si el intervalo del coeficiente toca uno, el límite superior de la semivida puede ser ilimitado; los valores iguales o superiores a uno quedan fuera de esta conversión estacionaria. No recortes esos valores para fabricar un intervalo finito. El método de incertidumbre también debe reflejar la dependencia serial y cualquier construcción estimada del diferencial; además, una búsqueda entre muchos pares o ventanas debe tener en cuenta la selección.

La semivida sigue el tamaño esperado condicional de una desviación. El tiempo de cruce pregunta cuándo una trayectoria aleatoria alcanza por primera vez un nivel, como la media estimada o un umbral de salida. La distribución del primer paso depende tanto de la deriva como de la volatilidad y puede ser muy dispersa. El análisis de arbitraje estadístico óptimo de William Bertram estudia la duración de las operaciones y el rendimiento mediante cálculos de primer paso; es un objeto distinto de la fórmula de semivida exponencial.

Un sistema de trading necesita reglas explícitas de entrada y salida, tamaño de posición, límites de riesgo y una respuesta ante la ruptura de una relación. El diferencial puede alejarse más de su media antes de regresar y quizá no vuelva durante el horizonte relevante. El cálculo del decaimiento esperado no proporciona un nivel de stop, la probabilidad de alcanzar un objetivo de ganancias antes de un stop ni una estimación de rendimientos después de comisiones.

En una operación de pares, normalmente se modela un diferencial construido, no cada activo por separado. La razón de cobertura, la moneda, los ajustes por operaciones corporativas, la financiación, la disponibilidad de préstamo de valores y la política de rebalanceo afectan a la posición realizada. Comprueba en ventanas de validación cronológicas si la relación de largo plazo del diferencial sigue siendo plausible; una semivida estimada rápida no corrige una ruptura estructural.

Incluye el diferencial entre compra y venta, el impacto de mercado, las comisiones, los costes de financiación o préstamo y el tiempo necesario para ejecutar ambas patas. Estos costes se acumulan a lo largo de la trayectoria realizada, no solo durante la semivida esperada. Explorar muchos pares, ventanas retrospectivas y frecuencias de muestreo también puede hacer que una estimación afortunadamente corta parezca más fiable de lo que es. Los resultados empíricos de Chan y sus coautores para modelos de tipos de interés recuerdan que una forma familiar de reversión a la media no garantiza evidencia sólida en un conjunto de datos concreto.

El marco OU permite organizar una hipótesis sobre la dinámica esperada de un diferencial. Que una regla de trading funcione es una cuestión empírica independiente, que depende de la estabilidad, la incertidumbre, la ejecución y los resultados fuera de muestra.

Indica la definición de la serie, la convención de precios o rendimientos, el intervalo de muestreo, la ventana de la muestra, la media estimada y los parámetros de velocidad y volatilidad. Especifica si la ecuación OU está planteada en tiempo continuo o se infiere de un modelo AR discreto. Da el coeficiente estimado y su incertidumbre, explica cómo se transformó la semivida y muestra la sensibilidad a una ventana o un intervalo de muestreo alternativo razonable.

En una aplicación de trading, describe también cómo se construyó el diferencial, cómo se actualizan los parámetros, qué información está disponible en cada decisión y cómo se gestionan los costes de transacción y la falta de convergencia. Presenta la semivida como un resumen implícito en el modelo del decaimiento esperado, junto con su incertidumbre y unidades. No la uses por sí sola para justificar entradas, salidas o rentabilidad.

El artículo de 1930 de Uhlenbeck y Ornstein sobre movimiento browniano desarrolla el proceso estocástico de reversión a la media subyacente. El modelo de estructura temporal de Vasicek90016-2) emplea un proceso de tipo OU para el tipo a corto plazo. Chan, Karolyi, Longstaff y Sanders comparan especificaciones de tipos a corto plazo en tiempo continuo y muestran que la evidencia y el ajuste dependen de la elección del modelo. Bertram deriva resultados de arbitraje estadístico óptimo con tiempos de primer paso, lo que ilustra que la duración de una operación es una magnitud distinta. Otras guías explican cointegración y correlación en el trading de pares, raíces unitarias y reversión a la media y la prueba de cointegración de Engle–Granger.