Ratio de cobertura con filtro de Kalman: regresión dinámica para pairs trading

Un ratio fijo estima un coeficiente en una muestra de formación y lo mantiene constante. Un modelo dinámico trata el intercepto y la pendiente como cantidades latentes que pueden evolucionar con el tiempo. El filtro de Kalman las estima de forma recursiva, combinando la estimación anterior con la información de una nueva observación.

Para dos activos candidatos, sea \(y_t\) el logaritmo del precio de uno y \(x_t\) el logaritmo del otro. Una regresión de largo plazo cambiante puede escribirse como \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). El coeficiente \(\beta_t\) describe la relación ajustada en el momento \(t\); no es automáticamente un número de acciones, una posición neutral en dólares ni una ley económica estable.

Esta aplicación utiliza la recursión general de predicción y actualización de un modelo lineal de espacio de estados. Kalman introdujo el marco de filtrado recursivo y trabajos econométricos posteriores lo aplicaron a coeficientes de regresión que varían en el tiempo. El uso de un diferencial estocástico en pairs trading es una aplicación posible, pero sus supuestos de trading deben evaluarse por separado del algoritmo de filtrado.

Define el vector de estado y la fila de observación como

\[ \theta_t=\begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

La ecuación de observación es \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Indica que el logaritmo del precio observado se relaciona con el intercepto latente y el coeficiente de cobertura, además del ruido de observación. Un punto de partida habitual supone que ambos coeficientes siguen paseos aleatorios:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

Aquí, \(Q\) es la covarianza de los cambios de los coeficientes y \(R\) es la varianza del ruido de observación. Si \(Q=0\), los coeficientes son fijos en este modelo; un \(Q\) positivo permite que varíen. Hay otras transiciones de estado posibles, pero cada una formula una afirmación diferente sobre el comportamiento de la relación.

Esta especificación sencilla supone perturbaciones de proceso y de observación con media cero, no correlacionadas en serie e independientes entre sí. Son supuestos del modelo; las observaciones de precios no los cumplen automáticamente.

Al final de \(t-1\), el filtro tiene una estimación \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) y una covarianza \(P_{t-1|t-1}\). La ecuación de estado de paseo aleatorio predice

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

La estimación se arrastra, mientras la incertidumbre aumenta según la covarianza permitida para los cambios de coeficientes. \(P\) describe la incertidumbre sobre el estado latente de la regresión bajo el modelo especificado. No pronostica la pérdida de trading del par ni mide el riesgo total de la cartera.

La observación ajustada de un paso es \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). Usar el estado previo es importante porque se calculó sin conocer el nuevo \(y_t\). Si, en cambio, se calcula un residuo después de actualizar los coeficientes con esa misma observación, la actualización ya lo habrá desplazado hacia cero.

Como \(H_t\) contiene \(x_t\), el precio explicativo actual afecta tanto a \(S_t\) como a la ganancia. Si la incertidumbre de la pendiente es relevante, observaciones con distintos valores de \(x_t\) pueden aportar información diferente sobre \(\beta_t\), aunque también importa la covarianza entre intercepto y pendiente. Centrar o reescalar \(x_t\) cambia el intercepto y las unidades del coeficiente, así que hay que transformar o reestimar los elementos correspondientes de \(Q\) y la \(P\) inicial, no copiarlos sin cambios.

Cuando llega la nueva observación, su error de predicción de un paso, o innovación, es

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

La varianza de la innovación \(S_t\) combina la incertidumbre prevista del estado y el ruido de observación. La ganancia de Kalman y la actualización del estado son

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

La ganancia reparte la nueva sorpresa entre cambiar la relación estimada y tratar la observación como ruido. Una ganancia mayor significa que el filtro se ajusta más a esa observación; no que la relación sea más fiable.

Supongamos que un filtro hipotético predice \(\hat\alpha=2.0\) y \(\hat\beta=1.20\) cuando \(x_t=50\), por lo que \(\hat y=62.0\). Si el valor observado es \(y_t=62.8\), la innovación es 0.8. Si la ganancia del modelo es \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), el intercepto actualizado es 2.064 y la pendiente 1.2048. Estas cifras inventadas solo ilustran el cálculo; no son un ratio de cobertura empírico ni evidencia de que la desviación vaya a revertir.

La matriz de ruido de proceso \(Q\) indica cuánto pueden cambiar los coeficientes de regresión de una observación a la siguiente. Un \(Q\) mayor suele aumentar la ganancia y hace que la estimación responda más. Puede seguir antes un cambio real, pero también perseguir ruido temporal y generar pesos de cobertura que varían rápidamente. Un \(Q\) muy pequeño produce una estimación más suave que puede retrasarse ante una ruptura real.

La varianza del ruido de observación \(R\) describe la variación de \(y_t\) que la relación no explica. Si todo lo demás permanece igual, un \(R\) mayor hace que el filtro confíe menos en cada observación nueva. Ni \(Q\) ni \(R\) es una constante universal de ajuste. Su escala depende de si el modelo utiliza precios, logaritmos de precios o series normalizadas, y del intervalo de muestreo elegido.

El analista puede estimar los parámetros del ruido por máxima verosimilitud o fijarlos de antemano usando una ventana de entrenamiento. Sin embargo, ajustarlos con los resultados del período de trading final filtraría información de ese período. También importan el estado inicial \(\hat\theta_{0|0}\) y su covarianza \(P_{0|0}\): una inicialización incierta puede causar una etapa de ajustes rápidos al principio. Informa de la inicialización, la muestra usada para estimar parámetros y la sensibilidad a alternativas razonables.

Una estimación filtrada \(\hat\theta_{t|t}\) utiliza observaciones hasta el momento \(t\). Una estimación suavizada en \(t\) puede utilizar observaciones que llegan después. El suavizado ayuda a describir estados latentes históricos, pero un operador no podía disponer de él en el momento de la decisión pasada.

El mismo problema temporal afecta a la estimación de \(Q\), \(R\), la selección del par y los umbrales de señal. Si se ajustan una vez con toda la muestra, las estimaciones tempranas se benefician de observaciones posteriores aunque la recursión de coeficientes avance en una sola dirección. Para una simulación en tiempo real, estima los hiperparámetros solo con un período de formación, congélalos o actualízalos según un calendario walk-forward declarado, y toma cada decisión de posición con información disponible antes de la ejecución.

El momento de observación no es el de ejecución. Si el cierre en \(t\) se necesita para calcular \(v_t\), un backtest no puede suponer una ejecución en ese mismo cierre a menos que el proceso de ejecución lo permita. Usa la siguiente cotización ejecutable o un modelo de ejecución defendible e incluye spread, impacto, comisiones, préstamo y financiación.

En un estudio de pares, la innovación \(v_t\) previa a la actualización es la sorpresa respecto de la relación ajustada anterior. Dividirla por \(\sqrt{S_t}\) produce una innovación estandarizada bajo el modelo. Ayuda a comparar sorpresas entre períodos con distinta incertidumbre estimada, pero no indica cuánto comprar o vender de cada activo ni si una desviación grande revertirá.

El residuo posterior a la actualización \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) es otra cantidad porque utiliza la observación actual para revisar los coeficientes. Mezclarlo con un umbral previo a la actualización cambia el significado de la señal. Define explícitamente el diferencial, el momento y el umbral, e indica si el coeficiente es previo, filtrado o suavizado.

Aunque \(\beta_t\) se estime con logaritmos de precios, convertirlo en órdenes requiere una regla de posición aparte. Los pesos de logprecios no determinan directamente cantidades de acciones o contratos. Los precios, multiplicadores, divisas y restricciones de la cuenta determinan la exposición en dólares; el intercepto no es un activo negociable. También importan los costes de rebalanceo y la deriva de exposición entre actualizaciones de coeficientes.

Un coeficiente que varía lentamente puede representar cambios graduales, pero también puede absorber una relación que se ha roto. Un modelo con estados flexibles puede mantener pequeño el residuo ajustado aunque no exista un equilibrio estable de largo plazo. El filtro no prueba cointegración ni garantiza que su residuo sea estacionario.

La selección del par también importa. Examinar muchos activos y quedarse con el par de residuo más suave dentro de la muestra es seleccionar con los mismos datos que luego se utilizan para afirmar estabilidad. Las acciones corporativas, precios desactualizados, cierres asíncronos, restricciones a las ventas en corto, cambios de liquidez y cambios de régimen pueden alterar los estados estimados o dificultar la ejecución de una cobertura teórica.

Además de la línea ajustada, revisa el comportamiento de los residuos, la incertidumbre del estado, la rotación y la trayectoria de los coeficientes. Usa períodos de reserva cronológicos y compara con un ratio fijo. La estimación más adaptable debe justificar su rotación y riesgo de estimación adicionales después de costes realistas; la suavidad visual por sí sola no es un resultado de rendimiento.

Indica qué precios o rendimientos se modelan, cómo se transforman, la frecuencia de observación, las fechas de la muestra y qué activo aparece a cada lado de la regresión. Especifica las ecuaciones de observación y estado, la matriz de transición, \(Q\), \(R\), la inicialización, el método de estimación y si los estados presentados son filtrados o suavizados.

Para un resultado de trading, define la innovación o el diferencial de la señal, su normalización, la marca temporal de decisión, el retraso de la orden, el tamaño de posición, la regla de rebalanceo y todos los costes de ejecución. Describe el filtrado de pares, las ventanas de entrenamiento y prueba, cómo se vuelven a ajustar los parámetros de ruido y qué hace la estrategia tras una ruptura o una observación ausente. Compara coeficientes fijos y dinámicos en las mismas divisiones cronológicas.

El trabajo de Kalman sobre filtrado lineal desarrolla el marco recursivo. Hatanaka estudia regresiones con algunos coeficientes variables en el tiempo. Elliott, van der Hoek y Malcolm presentan un modelo estocástico para pairs trading. Para temas relacionados, consulta las guías sobre predicción y actualización de Kalman, cointegración y correlación en pairs trading, el test de rango de Johansen y las pruebas del cociente de varianzas.