Ljung–Box Q 통계량이 잔차 자기상관을 결합하는 방식, 시차와 자유도 선택, 금융 수익률에 관해 검정으로 알 수 없는 내용을 설명합니다.
이 글에서 다루는 내용Ljung–Box 검정이 평가하는 것
짧은 요약
Ljung–Box 검정은 선택한 시차까지의 자기상관이 공동으로 0이라는 가설을 자료가 따르는지 묻습니다. 모형 잔차에 적용하면 그 범위에 남은 선형 의존성을 확인하지만, 독립성·정규성·모형의 완전성이나 수익성 있는 수익률 예측을 입증하지는 않습니다.
Ljung–Box 검정이 평가하는 것
표본 자기상관 그림에는 여러 시차의 의존성이 보일 수 있습니다. 하지만 각 막대를 하나씩 읽고 반복해서 검정하면 다중검정 문제가 생깁니다. Ljung–Box 검정은 처음 \(h\)개 표본 자기상관을 포르토만토 통계량 하나로 결합합니다. 귀무가설은 1부터 \(h\)까지 모집단 자기상관이 모두 0이라는 것입니다. 대립가설은 적어도 하나가 0과 다르다는 내용입니다.
Box와 Pierce는 적합한 시계열 모형의 전반적인 적합도를 점검하는 검정을 개발했습니다. Ljung과 Box는 유한 표본에서 근사가 더 잘 맞도록 통계량을 수정했습니다. “포르토만토”는 하나의 통계량이 여러 시차의 자기상관을 요약한다는 뜻입니다. 모든 종류의 시계열 의존성을 검정한다는 의미는 아닙니다.
수익률 계열이라면 과거 부호 있는 수익률이 선형 시계열 상관을 남기는지 묻습니다. ARMA 모형을 적합했다면 지정한 시차 구조를 이용한 뒤에도 잔차 자기상관이 남았는지 보는 경우가 많습니다. 서로 연관되지만 다른 검정이므로 결과를 해석하기 전에 어느 계열에 검정을 적용했는지 밝혀야 합니다.
Box–Pierce와 Ljung–Box 통계량을 계산합니다
시차 \(k\)의 표본 자기상관을 \(\hat\rho_k\), 이를 계산하는 관측 수를 \(n\), 검정하는 최대 시차를 \(h\)라고 하겠습니다. Box–Pierce 통계량은 다음과 같습니다.
상관을 제곱하므로 양의 상관과 음의 상관이 모두 통계량을 높입니다. 이 조정은 같은 크기의 표본 상관이라도 쌍으로 쓸 수 있는 관측값이 적은 시차에 더 큰 비중을 줍니다. 큰 표본에서는 두 통계량이 가까워지는 경우가 많습니다. 원래 연구에서 작은 표본 근사가 개선된 것으로 보고되어 유한 표본에는 Ljung–Box를 흔히 씁니다.
백색잡음 귀무가설과 필요한 정칙 조건 아래에서 \(Q_{LB}\)는 카이제곱 분포와 비교합니다. 동적 모수를 추정하지 않은 원자료에는 보통 자유도 \(h\)를 사용합니다. 추정된 ARMA(\(p,q\)) 모형의 잔차에는 \(h-p-q\)를 쓰는 것이 일반적이며, 값은 양수여야 합니다. 이 보정은 잔차의 동학을 맞추는 데 쓴 모수를 반영하는 것입니다. 모든 회귀에서 계수를 전부 빼라는 보편 규칙은 아닙니다. 적분·계절·제약이 있거나 특수한 모형에는 다른 관례가 필요할 수 있습니다. 실제 검정 정의와 소프트웨어 구현에 맞는 자유도를 선택합니다. 예를 들어 ARMA(2,2) 잔차를 \(h=4\)까지만 검정하면 일반적인 보정 자유도가 0이 됩니다. 이때 보통의 카이제곱 비교를 할 수 없습니다. 사전에 더 긴 시차 범위를 정하거나 해당 모형에 맞는 다른 진단을 선택해야 하며 자유도 0인 기준분포를 억지로 적용하면 안 됩니다. 시차를 정한 이유도 결과와 함께 보고해야 합니다.
가상 잔차 계산을 따라가 봅니다
적합한 모형에서 잔차 \(n=250\)개가 남았고, 사전에 정한 5개 시차의 표본 자기상관이 \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\)라고 가정하겠습니다. Box–Pierce 계산은 먼저 제곱해 더합니다.
계산 결과가 곧 p값은 아닙니다. ARMA(1,1) 적합 뒤에 나온 잔차라면 일반적인 기준은 자유도 \(h-p-q=5-1-1=3\)을 사용합니다. 모형을 적합하지 않은 원자료는 해당 귀무가설에 따라 자유도 5를 쓸 수 있습니다. 자유도를 어떻게 정하느냐에 따라 우측 꼬리 확률이 달라집니다. 모든 수치는 산술 과정을 보이는 가상값이며 실제 시장 자료나 모형 결과가 아닙니다.
통계량이 작다는 것은 선택한 기준분포 아래 관측된 제곱 자기상관이 이례적으로 크지 않다는 뜻입니다. 자기상관이 정확히 0이라는 증명은 아닙니다. 통계량이 크면 정한 유의수준에서 귀무가설과 맞지 않을 수 있습니다. 단일 숫자를 원인 진단으로 취급하기보다 어떤 시차와 모형 요소가 결과에 영향을 줬는지 살펴봅니다.
유리한 결과를 고르기 전에 시차 범위를 정합니다
최대 시차 \(h\)가 검정할 질문을 정합니다. 짧은 시차 몇 개만 보면 느린 의존성이나 일별 자료의 주간 패턴을 놓칠 수 있습니다. 시차를 너무 늘리면 약하고 잡음이 큰 상관을 더하고, 특정 단기 패턴에 대한 검정력이 낮아지거나 몇 개의 장기 상관값에 결과가 민감해질 수 있습니다. ARMA 자유도 보정 뒤 남는 자유도도 줄어듭니다.
표본 주기, 알려진 달력 구조, 모형 목적, 잔차에서 없어야 하는 의존성에 맞춰 시차를 정합니다. 일일 시장자료에서 거래일 간격과 달력 날짜 간격은 같지 않을 수 있습니다. 장중 자료에는 시각대별 계절성과 야간 효과가 있습니다. 계절 모형에는 계절 시차 또는 계절 진단이 맞을 수 있습니다. 하나의 일반적인 시차 상한만 쓰면 구조를 놓칠 수 있습니다.
여러 \(h\), 변환 방식, 자산, 모형 차수를 시도한 뒤 가장 작은 p값만 보고하면 선택을 반영하지 않은 유의도가 됩니다. 진단을 해석하기 전에 시차 범위와 판단 규칙을 정하거나, 넓은 검색을 반영하는 추론 계획을 사용합니다.
자기상관 그림을 공동 통계량과 함께 읽습니다
자기상관 그림에는 \(\pm1.96/\sqrt{n}\)처럼 시차 하나씩 보는 근사 경계가 표시되곤 합니다. 단순한 백색잡음 모형에서는 개별 표본 상관을 살펴보는 참고값이 될 수 있지만, 모든 시차를 동시에 포괄하는 95% 경계는 아닙니다. 여러 막대를 따로 보면 적어도 하나가 우연히 경계 밖에 놓일 가능성이 커집니다. Ljung–Box는 사전에 고른 시차 집합에 하나의 공동 질문을 던지고 결합 통계량의 기준분포를 사용합니다.
공동 통계량은 상대적으로 큰 자기상관 하나만으로도, 작은 자기상관 여러 개로도 커질 수 있습니다. 검정 뒤에는 시차별 항 \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\)과 자기상관 그림을 함께 봅니다. 휴리스틱 경계 밖 막대 하나가 포르토만토 검정 기각과 자동으로 같지 않으며, 각각의 막대가 경계 안에 있다고 공동 통계량까지 유의하지 않다는 보장도 없습니다.
뚜렷한 시차 패턴이 없는 잔차와 동일한 간격에서 반복 정렬되는 잔차를 대조한 개념도이며, 실제 관측 자료나 검정 결과가 아닙니다
원수익률, 모형 잔차, 제곱 잔차를 구분합니다
부호가 있는 수익률에 적용하면 1부터 \(h\)까지 선형 자기상관이 공동으로 0인지 묻습니다. 적합 잔차에 적용하면 선택한 모형이 비슷한 선형 의존성을 남겼는지 봅니다. 기각은 평균식, 시점 정렬, 시장 달력, 잔차 그림을 추가로 확인할 이유가 될 수 있습니다. 빠진 모형 항이 무엇인지 스스로 식별해주지는 않습니다.
겹치는 수익률 구간이 의존성을 만들었는지 살펴봅니다
관측값을 어떻게 만들었는지가 원래 한 기간 수익률끼리 비상관이어도 자기상관을 만들 수 있습니다. 예를 들어 5거래일 롤링 수익률과 다음 5거래일 롤링 수익률은 일별 수익률 네 개를 공유합니다. 겹치는 관측이 인접한 값을 기계적으로 연결합니다. 이처럼 만든 계열에 Ljung–Box가 기각을 내더라도, 겹치지 않는 일별 수익률을 예측할 수 있다는 뜻은 아닙니다.
관측값이 일별 수익률인지, 여러 날 롤링 수익률인지, 겹치는 결과변수의 모형 잔차인지 밝혀야 합니다. 거래일 달력, 종가 시각, 야간 구간을 경제적 질문에 맞게 정렬합니다. 겹치는 기간을 써야 한다면 그 구조에 맞는 추론과 기준분포를 사용하고, 결과를 독립적인 거래 우위의 근거로 읽지 않습니다.
부호 수익률의 자기상관이 거의 없어도 변동성 군집이 존재할 수 있습니다. 잔차를 제곱하면 질문이 바뀝니다. 제곱 또는 절댓값 표준화 잔차의 자기상관은 수익률 규모의 의존성을 시사할 수 있습니다. McLeod와 Li는 ARMA를 적합한 뒤 비선형 의존성을 진단하는 방법으로 제곱 잔차의 자기상관을 연구했습니다. 이 진단 역시 하나의 변동성 모형을 유일한 설명으로 증명하지는 않습니다. ARCH-LM 안내는 ARCH형 의존성에 더 초점을 둔 검정을 설명하고 GARCH 안내는 조건부 분산 모형을 다룹니다.
자기상관이 0인 것은 독립성보다 약한 조건입니다. 검정한 시차에서는 상관이 0이어도 비선형 변환, 조건부 분산, 꼬리, 체제에 따른 의존성이 남을 수 있습니다. Ljung–Box 통계량 하나만으로 정규성, 정상성, 인과 구조, 체결 비용 뒤의 수익성도 알 수 없습니다.
모수를 추정한 뒤에는 기준 분포를 확인합니다
간단한 카이제곱 근사는 모형, 잔차 계산, 표본 크기, 모수 추정 방식에 의존합니다. ARMA 모형을 먼저 적합하면 잔차 자기상관은 직접 관측된 혁신이 아니라 추정된 값입니다. 흔히 쓰는 자유도 보정은 점근적 관례이지, 모든 명세에서 유한 표본 정밀성을 보장하지는 않습니다.
작은 표본, 큰 시차 범위, 서로 상쇄되는 AR·MA 근, 이상치, 조건부 이분산, 적합 계열 바깥의 시계열 의존성은 근사를 덜 신뢰하게 만들 수 있습니다. 기각은 평균 모형 명세 오류나 자료 품질, 맞지 않는 기준 분포를 반영할 수 있습니다. 기각되지 않은 결과도 검정력이 낮거나 관심 있는 시차를 선택에서 빼서 나왔을 수 있습니다.
복잡하거나 비표준인 모형은 적합 과정에 맞는 진단 기준분포를 사용합니다. 추정 단계를 반복하는 타당한 부트스트랩으로 보정을 살펴볼 수도 있습니다. 의존성이나 변하는 분산이 우려되는 상황에서 잔차를 독립적으로 재표집한다고 해서 부트스트랩이 자동으로 유효해지지는 않습니다. 재표집 방식을 설명하고 모형 선택과 최종 평가는 분리합니다.
기각을 거래 신호가 아니라 진단의 출발점으로 봅니다
기각됐다면 자기상관 함수, 필요한 경우 부분자기상관, 잔차 발생 시점, \(Q_{LB}\)에 기여한 시차를 확인합니다. 패턴이 짧게 끝나는지, 계절적인지, 평균식의 항이 빠진 탓인지, 제곱 잔차에 집중되는지 살펴봅니다. 명세 변경은 설명할 수 있는 가설에 따라 결정하고, 변경을 고른 자료가 아닌 구간에서 평가합니다.
거래 규칙에서 표본 내 예측 가능성은 체결할 수 있는 우위와 다릅니다. 다음 단계 예측은 주문 전 알 수 있어야 하고 시간 순 표본 외 구간에서 유지되어야 하며 호가 스프레드, 시장 충격, 수수료, 펀딩, 대차, 회전율을 반영해야 합니다. Ljung–Box 검정은 전략의 순수익을 검정하지 않으며 기각된 결과가 표본 외에서도 지속된다고 입증하지 않습니다.
보고서에는 관측의 정의와 개수, 검정한 계열, 변환, 최대 시차, 개별 자기상관 또는 그림, 검정 유형, 기준 자유도, 통계량, p값, 유의수준을 적습니다. 금융 수익률이라면 거래일 달력, 결측값, 겹치는 수익률 구간, 적합한 조건부 분산을 어떻게 처리했는지 밝힙니다. 그래야 검정이 한 일과 남긴 질문을 독자가 구분할 수 있습니다.
