오른스타인–울렌벡 반감기: 트레이딩 평균회귀 해석

스프레드가 추정된 장기 평균보다 높다고 해보겠습니다. 평균회귀 모형에서는 이후 스프레드가 평균 쪽으로 움직이는 것이 기대됩니다. 반감기는 범위가 정해진 질문에 답합니다. 적합한 모형에서 기대 편차가 절반이 되려면 얼마나 걸릴까요? 시작 편차가 100bp라면 반감기가 4기간일 때 4기간 뒤 모형의 조건부 기대 편차는 약 50bp입니다.

이 값은 가능한 여러 경로에 대한 기대값을 말합니다. 실제 스프레드는 먼저 더 커지거나, 평균을 빨리 가로지르거나, 훨씬 오래 떨어져 있을 수 있습니다. 반감기는 관측 단위에도 달려 있습니다. 일별 자료에서 얻은 반감기는 일수로, 시간별 자료의 추정치는 시간으로 해석합니다. 표본 간격과 평균회귀 속도를 추정한 모형을 함께 밝혀야 합니다.

한 요인 OU 과정은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

여기서 \(\mu\)는 장기 평균, \(\kappa>0\)는 평균회귀 속도, \(\sigma\)는 순간 무작위 변동의 크기, \(W_t\)는 브라운 운동입니다. 드리프트는 \(\mu\) 쪽을 향합니다. 평균보다 높은 값에서는 조건부 방향이 내려가고, 낮은 값에서는 올라갑니다.

조건부 기대 편차는 다음처럼 줄어듭니다.

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

감쇠 계수가 절반인 경우 \(e^{-\kappa h}=1/2\)를 놓고 경과 시간을 풀면 다음과 같습니다.

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

반감기 식에는 \(\sigma\)가 들어가지 않습니다. 변동성은 개별 경로가 조건부 기대값 주변에서 얼마나 넓게 움직이는지에 영향을 주고, \(\kappa\)는 이 모형에서 기대 편차가 줄어드는 속도를 정합니다. Uhlenbeck와 Ornstein의 브라운 운동 분석은 이 고전적 확률과정의 기반을 제공하고, Vasicek은 이후 단기 금리를 모형화하기 위해 OU 유형의 과정을 사용했습니다.

관측 간격이 같은 \(\Delta\)인 표본에서는 OU 과정의 정확한 이산 형태를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

스칼라 OU 모형에서 \(\kappa>0\)이면 \(0<\phi<1\)입니다. 관측 횟수 기준 이산 반감기는 다음과 같습니다.

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

경과 시간을 구하려면 이 값에 \(\Delta\)를 곱합니다. 추정된 AR(1) 계수가 0이나 음수이거나 1 이상이면 이 단순한 양의 평균회귀 속도 변환을 적용할 수 없습니다. OU 해석을 억지로 맞추기보다 다른 동적 모형을 검토해야 합니다.

변화량 회귀식 \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\)으로도 같은 모수를 추정할 수 있습니다. 정상 AR(1)이면서 \(0<1+b<1\)일 때 \(\phi=1+b\), \(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\)로 놓고, \(b\ne0\)이면 암시된 장기 평균은 \(-a/b\)입니다. 변환할 때 표본 간격을 유지해야 합니다. 일별 자료에서 주별 자료로 바뀌면 계수의 시간 척도도 달라집니다.

시간 척도는 \(\Delta\)가 정합니다. 주식 일봉에서 한 관측 간격은 보통 24시간이 아니라 거래 세션 하나이므로, 관측 4회의 반감기를 주말이나 휴장일이 낀 달력상의 4일로 바로 표현하면 안 됩니다. 이벤트 발생이나 거래량에 따라 길이가 달라지는 막대를 사용한다면 일정한 간격을 전제로 하는 변환이 맞지 않을 수 있습니다. 자산, 표본 주기, 관측 횟수·거래 세션·경과 시간 중 어떤 단위를 보고하는지 밝혀야 합니다. 15분봉 네 개도 거래 자료의 공백이 있으면 달력상 정확히 한 시간이 지나왔다는 뜻은 아닙니다.

간격이 일정한 일별 스프레드 자료에서 \(\phi=0.84\)를 추정했다고 가정해보겠습니다. 교육을 위한 가상 수치이며 실제 추정치가 아닙니다. 하루 기준 평균회귀 속도는 \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\)이고, 따라서

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{거래일}. \]

4일 뒤 기대 편차는 시작 크기의 \(0.84^4\approx0.498\)배입니다. 따라서 시작 시점에 100bp였던 편차는 모형상 4회 관측 뒤 약 49.8bp의 조건부 기댓값을 갖습니다. 추정 불확실성이나 과정의 변화는 아직 반영하지 않은 값입니다.

아래 그림은 지수적으로 줄어드는 조건부 평균과 그 주변에서 계속 요동하는 실현 경로를 나누어 보여줍니다. 개념도이며 실제 가격 이력이나 모든 스프레드가 반드시 따르는 경로는 아닙니다.

먼저 \(X_t\)가 무엇인지 정의합니다. 공적분 잔차, 가격 차이, 로그 가격 스프레드, 변동성 조정 신호, 금리 차이는 서로 다른 시계열입니다. 단위와 동학도 다릅니다. 공적분 결과가 정해진 가정 아래 정상인 선형결합을 뒷받침할 수는 있지만, 그 잔차가 일정한 모수를 갖는 OU 과정이라는 사실까지 보장하지는 않습니다.

자료를 분석하기 전에 관측 주기, 추정 구간, 평균의 형태, 시차 구조를 정합니다. 단순 AR(1)은 자기상관, 변동성 변화, 급격한 점프, 장중 미시구조 잡음, 체제 전환을 놓칠 수 있습니다. 잔차 움직임과 계수 안정성을 점검하고 표본 구간에 조건부인 추정인지 보고합니다. Chan, Karolyi, Longstaff, Sanders의 단기 금리 모형 비교는 익숙한 평균회귀 모형에서도 근거와 적합도가 약하고 모형에 따라 달라질 수 있음을 보여줍니다.

거래용 스프레드에서는 각 형성 시점에 알 수 있었던 자료로 모수를 추정합니다. 미래 관측값을 사용해 스프레드나 평균을 재추정하면 미래 정보가 들어갑니다. 시간이 지나며 다시 보정하는 방식을 쓴다면 업데이트 주기를 공개하고, 추정 계수를 알려진 값처럼 취급하지 말고 이후 구간에서 절차 전체를 평가합니다.

\(\phi\)에서 반감기로의 변환은 선형이 아닙니다. \(\phi\)가 1에 가까워지면 \(\ln(\phi)\)는 0에 가까워지고 암시된 반감기는 빠르게 커집니다. 따라서 추정 계수가 조금만 달라져도 보고하는 시간이 크게 달라질 수 있습니다. 가상의 추정치 \(\phi=0.80\), \(0.84\), \(0.88\)은 반감기 약 3.11, 3.98, 5.42회 관측에 해당합니다.

사용한 추정기와 표본에 맞는 추론 방법으로 속도나 변환된 반감기의 불확실성을 보고합니다. \(\phi\)의 신뢰구간이 1에 닿거나 넘어가면 그 구간은 유한한 양의 정상 OU 반감기를 뒷받침하지 못할 수 있습니다. 점추정치만 제시하지 말고 많은 시계열 중 가장 빠른 값을 골랐다면 선택 과정도 반영해야 합니다. 단위근에 가까운 추정에서는 계수 하나의 겉보기 정밀도보다 추정 오차가 더 중요할 수 있습니다.

규모를 보기 위해 표본 계수의 95% 신뢰구간이 가상으로 \([0.78,0.92]\)라고 가정해보겠습니다. 정상 OU 범위에서 변환된 반감기는 \(\phi\)에 따라 커지므로 이 구간은 약 2.79~8.31회 관측에 해당합니다. 점 추정치 \(0.84\)에서 얻은 3.98회보다 불확실성 범위가 훨씬 넓습니다. 이 구간은 설명을 위한 가정이지 실증 결과가 아닙니다. 계수 구간이 1에 닿으면 반감기 상한이 무한대로 열릴 수 있고, 1 이상은 이 정상 모형 변환의 범위 밖입니다. 유한한 구간을 만들려고 해당 값을 잘라내면 안 됩니다. 불확실성 계산은 시계열 자기상관과 추정된 스프레드 구성의 영향도 반영하고, 여러 페어나 표본 구간 중 하나를 골랐다면 선택 절차도 고려해야 합니다.

반감기는 편차의 조건부 기대 크기를 추적합니다. 통과 시간은 무작위 경로가 추정 평균이나 청산 기준 같은 특정 수준에 처음 도달할 때까지의 시간입니다. 최초 통과 분포는 드리프트와 변동성 모두에 달려 있어 넓게 퍼질 수 있습니다. William Bertram의 최적 통계적 차익거래 분석은 최초 통과 계산으로 거래 기간과 수익을 다루는데, 이는 지수 반감기 공식과 별개의 양입니다.

거래 시스템에는 진입·청산 규칙, 포지션 크기, 위험 한도, 관계가 깨졌을 때의 대응을 별도로 정해야 합니다. 스프레드는 돌아오기 전에 평균에서 더 멀어질 수 있고, 해당 기간 안에 돌아오지 않을 수도 있습니다. 기대 감쇠 계산은 손절 수준, 목표 수익에 손절보다 먼저 도달할 확률, 수수료 이후 수익을 제공하지 않습니다.

페어 트레이딩에서 모형화하는 대상은 각 자산 자체가 아니라 구성된 스프레드인 경우가 많습니다. 헤지 비율, 통화, 기업행위 조정, 금융 비용, 차입 가능성, 재조정 정책이 실제 포지션에 영향을 줍니다. 시간 순서에 맞춘 검증 구간에서 스프레드의 장기 관계가 타당하게 유지되는지 평가해야 합니다. 빠른 반감기 추정으로 구조적 단절을 고칠 수는 없습니다.

매수·매도 호가 차이, 시장 충격, 수수료, 펀딩 또는 차입 비용, 두 자산 주문이 모두 체결되는 데 걸리는 시간을 반영합니다. 이런 비용은 기대 반감기 동안만이 아니라 실제 경로에 따라 발생합니다. 많은 자산 쌍, 관측 기간, 샘플링 주기를 탐색하면 우연히 짧은 반감기만 골라 신뢰도를 과대평가할 수 있습니다. Chan과 동료들의 금리 모형 결과도 익숙한 평균회귀 형태가 특정 자료에서 강한 근거를 보장하지 않는다는 점을 상기시킵니다.

OU 틀은 스프레드의 기대 동학에 관한 가설을 정리하는 데 쓸 수 있습니다. 거래 규칙의 성과는 안정성, 불확실성, 체결, 표본 밖 결과에 좌우되는 별도의 실증 질문입니다.

시계열 정의, 가격 또는 수익률 기준, 관측 간격, 표본 구간, 추정 평균, 속도 모수, 변동성 모수를 적습니다. OU 식을 연속시간으로 설정했는지 이산 AR 모형에서 유도했는지도 밝혀야 합니다. 계수 추정치와 불확실성, 반감기로 변환한 방법을 보고하고 합리적인 다른 표본 구간이나 관측 주기에 대한 민감도를 보여줍니다.

거래 적용에서는 스프레드 구성 방식, 모수 업데이트 방법, 각 시점에 이용 가능한 정보, 거래 비용, 수렴 실패 처리 기준도 설명합니다. 반감기는 기대 감쇠를 모형으로 요약하는 값이며 불확실성과 시간 단위를 함께 제시해야 합니다. 단독 진입·청산 신호나 수익성 주장의 근거로 쓰면 안 됩니다.

Uhlenbeck와 Ornstein의 1930년 브라운 운동 논문은 평균회귀 확률과정의 토대를 다룹니다. Vasicek의 금리 기간 구조 모형90016-2)은 OU 유형의 단기 금리 과정을 사용합니다. Chan, Karolyi, Longstaff, Sanders는 연속시간 단기 금리 명세들을 비교하며 근거와 적합도가 모형에 따라 달라진다고 보고합니다. Bertram은 최초 통과 시간을 이용한 통계적 차익거래 결과를 유도해 거래 기간이 별도 개념임을 보여줍니다. 함께 볼 글은 페어 트레이딩의 공적분과 상관관계, 단위근과 평균회귀, Engle–Granger 공적분 검정입니다.