Radon–Nikodym 도함수: 확률측도의 가중치를 바꾸는 방법

P가 확률 0을 주는 모든 사건에 Q도 0을 주면 Q는 P에 절대연속이며 Q ≪ P라고 씁니다

Radon–Nikodym 정리는 이때 P의 영집합을 제외하고 유일한 음이 아닌 밀도 Z = dQ/dP가 존재한다고 말합니다

P와 Q가 서로 절대연속이면 두 측도는 동치이며 어떤 사건이 불가능한지에 대해 일치합니다

사건 A에는 Q(A) = E_P[Z 1_A]가 성립합니다. 두 측도가 확률측도라면 E_P[Z] = 1입니다

Z가 1보다 큰 결과는 Q에서 상대적 가중치가 커지고, 1보다 작은 결과는 줄어듭니다

여기서 도함수는 시간이나 가격에 대한 미분이 아니라 한 측도를 다른 측도와 비교한 밀도입니다

필요한 적분가능성 아래 지급액 X에는 E_Q[X] = E_P[ZX]가 성립합니다

이 식은 지급액이나 표본공간을 바꾸지 않습니다. 같은 결과 X를 다른 가중치로 평균냅니다

측도가 동치이고 Z가 양수면 dP/dQ = 1/Z가 Q-거의 확실히 성립하며 여러 측도 사이에는 연쇄법칙도 적용됩니다

상태 s에서 p_s가 양수라면 Z_s = q_s/p_s이고 q_s = p_s Z_s입니다

한 분포에서 표본을 뽑고 우도비로 평균을 보정하는 중요도표본추출과 같은 원리입니다

밀도의 변동이 너무 크면 소수 상태에 가중치가 몰려 항등식이 정확해도 몬테카를로 추정은 불안정할 수 있습니다

만기밀도 Z_T가 주어지면 Z_t = E_P[Z_T | F_t]로 정의하며, 이는 음이 아닌 P-마팅게일입니다

Z_t가 양수일 때 조건부 기대값은 E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t입니다

필트레이션은 중요합니다. Z_t는 t시점까지 관측한 정보로 알 수 있는 만기 재가중치 부분을 기록합니다

자산가격모형은 적절히 할인한 거래 자산가격이 마팅게일 또는 국소마팅게일이 되는 동치측도 Q를 찾습니다

Girsanov 정리는 밀도가 브라운운동의 표류를 바꾸면서 확산 불확실성과 영확률 사건을 보존하는 방식을 설명합니다

머니마켓 기준자산 아래 확률할인인자는 적절한 가정에서 할인항과 dQ/dP의 곱으로 나타낼 수 있습니다

위험중립 Q는 가격결정측도이며 현실측도 P의 실제 발생 빈도 전망과 같을 필요가 없습니다

제안한 밀도는 음이 아니고 평균이 1이며 정보흐름에 적합하고 의도한 할인자산을 마팅게일로 만들어야 합니다

기준·목표 측도, 기준자산, 기간, 밀도 방향, 적분가능성, 수치 진단을 공개한 뒤 변환 기대값을 사용하세요