Numeraire와 측도변환 이해하기

달러가격은 통화를 눈에 보이는 단위로 쓰지만 자산가격 모형은 단기금융계정을 동적 기준자산으로 사용하는 경우가 많습니다

Nₜ가 기준자산이면 X의 상대가격은 Xₜ/Nₜ입니다. X를 사는 데 필요한 기준자산의 양입니다

단위를 바꾼다고 가치가 생기지 않습니다. 같은 경제적 지급액을 다시 표현해 더 편리한 조건부기대값을 선택합니다

관련 기간 동안 거래 가능하고 엄격히 양수여야 나눗셈이 정의되고 측도밀도도 유효합니다

0에 닿을 수 있는 자산은 국소화나 더 좁은 상태공간 없이는 전역 기준자산으로 쓰기 어렵습니다

기준자산의 총수익 가치를 정할 때 자금조달, 담보, 배당과 재투자를 일관되게 포함해야 합니다

단기금융 기준자산 B와 위험중립측도 Qᴮ에서 시작하면 다른 기준자산 N은 N/B에 기반한 밀도로 새 측도 Qᴺ을 정의합니다

Qᴺ 아래 적격 거래가격을 N으로 나눈 값은 마팅게일입니다. Qᴮ에서는 B로 나눈 가격이 이 성질을 가집니다

원시 자산가격이 측도와 무관하게 마팅게일이라는 명제는 없습니다. 기준자산과 측도는 함께 움직입니다

T시점 지급액 H는 Nₜ에 Qᴺ 아래 H/N_T의 조건부기대값을 곱해 평가할 수 있습니다

다른 기준자산을 쓰면 지급액 단위와 확률가중치가 함께 바뀌므로 가정이 일관되면 통화가치는 같습니다

이 항등식은 가격결정 변환이지 한 측도의 사건확률이 현실적으로 더 가능하다는 예측이 아닙니다

T만기 무이표채권 P(t,T)를 기준자산으로 고르면 T-선도측도 아래 적격 T인도 선도가격이 마팅게일이 됩니다

T에 지급되는 청구권에서 확률적 할인을 제거해 캡, 스왑션, 채권옵션과 금리청구권을 단순화할 수 있습니다

만기가 지급일과 맞아야 하며 여러 현금흐름은 신중히 분해해야 합니다. 한 선도측도가 모든 날짜를 동시에 단순화하지는 않습니다

지급액의 양의 인자와 비슷한 기준자산을 고르면 나눗셈 뒤 상품이 단순한 지표나 교환옵션으로 바뀔 수 있습니다

몬테카를로에서는 변환 지급액의 분산이 낮거나 별도 할인요인 모의가 필요 없을 수 있지만 개선이 자동적이지는 않습니다

수치 편의가 모형 불일치를 고치지 못합니다. 변환 측도에서도 드리프트, 공분산과 밀도 동학이 정확해야 합니다

주식 기준자산은 호가된 배당락 가격만이 아니라 재투자된 배당을 포함한 거래 가능한 총수익이어야 합니다

외환에서는 국내외 단기금융계정이 자연스럽게 국내와 해외 위험중립측도를 만듭니다

Quanto와 교차통화 청구권은 환율, 자산, 금리와 기준자산 사이 상관관계가 만드는 드리프트 조정을 보여줍니다

하나의 기준 계약을 두 기준자산 아래 평가하고 단위를 되돌린 뒤 해석 또는 수치오차 안에서 일치하는지 확인합니다

밀도 정규화, 상대자산 마팅게일, 지급일 정렬, 총수익 규칙과 모의 드리프트 조정을 검사합니다

기준자산, 대응 측도, Radon–Nikodym 도함수, 결제통화와 모든 현금흐름 날짜를 기록합니다