확률지수와 Doléans–Dade 지수의 원리

0에서 시작하는 준마팅게일 X의 Doléans–Dade 지수 Z = 𝓔(X)는 Z_t = 1 + ∫_0^t Z_{s-}dX_s의 유일해입니다

점프 ΔX_s가 그 순간 가치를 1 + ΔX_s배로 바꾸므로 왼쪽 극한 Z_{s-}가 필요합니다

이 정의는 닫힌 공식을 외우는 것보다 근본적이며 연속과정과 점프과정 모두에 적용됩니다

연속 준마팅게일에서는 관련 유한변동항을 X에 포함할 때 𝓔(X)_t = exp(X_t - X_0 - 1/2[X]^c_t)입니다

X가 연속 국소마팅게일 M이면 익숙한 형태는 exp(M_t - 1/2⟨M⟩_t)입니다

이 뺄셈이 Itô의 2차 항을 상쇄해 원하지 않는 드리프트 없이 d𝓔(M)_t = 𝓔(M)_t dM_t가 되게 합니다

일반적인 X에서는 연속 지수에 ∏_{s≤t}(1 + ΔX_s)e^{-ΔX_s}를 곱합니다

각 인자는 가산적 지수반응 e^{ΔX}를 실제로 필요한 가치배수 1 + ΔX로 바꿉니다

무한곱에는 준마팅게일 정칙성이 필요하므로 수렴 통제 없이 고빈도 수익률을 무작정 곱해도 된다는 뜻은 아닙니다

모든 ΔX가 -1보다 크면 양수에서 시작한 확률지수는 엄격히 양수로 남습니다

정확히 -1인 점프는 값을 0으로 만들고 -1보다 작은 점프는 부호까지 바꿔 양의 밀도나 자산가치로 쓸 수 없게 합니다

이는 유한책임 가격모형에서 한 번의 비례손실이 100%를 넘을 수 없다는 직접적인 금융 의미를 가집니다

적절한 점프를 가진 국소마팅게일 M의 𝓔(M)은 보통 국소마팅게일이며 음이 아니면 초마팅게일입니다

정해진 기간의 확률측도를 바꾸려면 E[𝓔(M)_T] = 1인 진정한 마팅게일이어야 합니다

Novikov·Kazamaki·유계성·점프 전용 조건은 충분조건이 될 수 있지만 지수형이라는 이유만으로 가정해서는 안 됩니다

Girsanov 이론에서는 유효한 확률지수가 경로의 가중치와 드리프트를 바꾸는 Radon–Nikodym 밀도가 됩니다

수익률모형 dS_t/S_{t-} = dX_t의 해는 S_t = S_0𝓔(X)_t이므로 복리구조가 동학 안에 들어 있습니다

대수식이 같아도 밀도와 가격 해석에는 서로 다른 정규화·적분가능성·허용성 검사가 필요합니다

점프 하한·만기 기대값·균등적분가능성·이산화와 해당 지수가 국소인지 진정한 마팅게일인지 확인하세요

단순 Euler 갱신은 음수가 되거나 곱 구조를 왜곡할 수 있어 정확한 지수구조를 보존하는 방법이 더 안전할 때가 많습니다

시뮬레이션은 기대값 손실의 희귀경로를 놓칠 수 있으므로 절단검사·해석조건·경계검사와 표본평균을 함께 사용하세요