옵션 가격결정에서 Girsanov 정리 이해하기

현실측도 P 아래 주식이 dS/S = μdt + σdWᴾ를 따른다면 μ는 모형상 기대수익률입니다

이 드리프트는 예측과 포트폴리오 선택에는 중요하지만 완전한 확산모형의 무차익 옵션가치가 임의의 μ 추정치에 의존해서는 안 됩니다

현실확률에서 가격확률로 옮기는 일은 기호 하나를 바꾸는 것이 아니라 유효한 측도변환을 요구합니다

Radon–Nikodym 도함수는 각 시점까지 새 측도가 이전 측도에 비해 사건을 어떻게 가중하는지 정의합니다

브라운 모형에서 이 밀도는 흔히 λ로 나타내는 과정으로 만든 확률지수함수로 씁니다

밀도는 양수이며 기대값이 1이어야 합니다. 그렇지 않으면 제안한 식이 등가 확률측도를 정의하지 못할 수 있습니다

유효한 밀도 아래 Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt는 흔한 부호규칙에서 새 측도 Q의 브라운 운동이 됩니다

dWᴾ = dWᵠ − λdt를 대입하면 같은 브라운 충격에 노출된 모든 과정의 드리프트가 이동합니다

dW에 곱한 변동성 계수는 사라지지 않습니다. 등가 확산 측도변환은 드리프트를 바꾸고 순간 공분산 구조는 보존합니다

무배당 주식은 Q 드리프트가 단기금리 r이 되도록 λ를 고릅니다. 배당수익률 q가 있으면 배당락 드리프트는 보통 r − q입니다

그러면 할인한 총수익 자산은 Q 마팅게일이고 복제 가능한 지급액은 할인한 Q 기대값으로 평가할 수 있습니다

주식이 현실에서 실제로 r을 번다는 뜻은 아닙니다. 선택한 가격결정 측도에서 드리프트가 어떻게 보이는지 말합니다

배당이 없는 단순한 상수계수 사례에서 명시한 부호규칙 아래 λ = (μ − r) / σ입니다

위험원이 여러 개면 위험가격 벡터가 변동성 노출 행렬을 통해 드리프트를 이동시킵니다. 노출의 계수가 부족하면 원하는 이동을 모두 만들 수 없습니다

불완전시장에서는 거래자산이 정하지 못한 위험가격 성분이 남아 여러 마팅게일 측도가 가능할 수 있습니다

Novikov, Kazamaki 같은 조건은 확률지수함수가 국소 마팅게일에 그치지 않고 진정한 마팅게일인지 보장하는 데 사용됩니다

등가성은 영확률 사건도 보존합니다. 진짜 불가능한 경로를 가능하게 만들면서 등가측도를 유지할 수는 없습니다

폭발 계수, 엄격 국소 마팅게일, 무한 기간이나 약한 정칙성은 공식을 안이하게 적용하지 못하게 합니다

점프과정에서는 측도변환이 연속 드리프트뿐 아니라 점프 강도와 점프크기 분포도 바꿀 수 있습니다

보정된 가격결정 모형은 위험중립 모수를 직접 정하지만 현실 추정치와 연결하려면 여전히 위험프리미엄 모형이 필요합니다

해석 전 원래 측도, 목표 측도, 밀도, 부호규칙, 기준자산, 기간과 성립 조건을 모두 기록합니다