Hasbrouck 정보비중: 시장 간 가격 발견을 측정하는 방법

같은 증권이 여러 거래장에서 거래되거나 밀접하게 연관된 금융상품이 하나의 기초 가치를 반영할 수 있습니다. 그렇더라도 관측되는 가격이 매 순간 일치하는 것은 아닙니다. 한 거래장의 호가가 먼저 움직이고 다른 거래장이 뒤따라 조정할 수 있으며, 두 가격은 시간이 지나면서 공통의 장기 경로를 중심으로 수렴할 수 있습니다. 가격 발견은 새 정보가 이 공통된 영구 성분에 반영되는 과정을 말합니다. 거래량, 호가 유동성, 마지막 거래가 체결된 거래장을 묻는 개념과는 다릅니다.

Hasbrouck 정보비중은 이런 질문을 다루기 위해 고안됐습니다. Hasbrouck의 틀에서는 연결된 여러 시장의 가격이 관측되지 않는 하나의 효율가격을 공유하고, 각 관측 가격에는 일시적인 이탈도 포함됩니다. 특정 시장의 정보비중은 그 시장의 혁신이 공통 효율가격 혁신의 분산에서 차지하는 비율로 정의됩니다(Hasbrouck, 1995). 따라서 추정치는 선택한 시스템, 표본, 관측 설계에 달려 있습니다. 어느 시장에서 누가 먼저 정보를 얻었는지, 인과 경로가 무엇인지, 매번 그 시장이 선행하는지를 식별하지는 않습니다.

이 차이는 한 거래장의 거래량이 많거나 호가 스프레드가 좁을 때 특히 중요합니다. 그런 특성이 가격 발견과 함께 움직일 수는 있지만, 정보비중은 공통 장기 가격을 움직이는 혁신의 모형상 기여도를 측정합니다. 거래량이 큰 시장보다 다른 시장에서 나온 혁신이 공통 영구가격에 더 큰 비중으로 반영될 수도 있습니다.

동일한 자산 또는 경제적으로 동등한 권리를 거래하는 \(d\)개 시장의 관측 가격을 \(p_t\)에 모아 둡니다. 통상적인 미시구조 설정은 각 가격 수준이 비정상적인 \(I(1)\) 과정이지만, 장기 차익거래 때문에 시장 간 가격 차이는 정상적이라고 봅니다. 두 시장이 하나의 공통 추세를 공유하면 공적분 관계는 하나이며, 보통 정규화된 가격 차이로 표현할 수 있습니다. 일반적으로 \(d\)개 가격이 하나의 공통 확률 추세를 공유한다면 공적분 순위는 \(d-1\)입니다.

이 조건은 자료를 확인해야 하는 가정이지, 같은 티커가 화면에 표시된다는 이유만으로 성립하는 항등식이 아닙니다. 계약 조건, 통화, 펀딩, 배당, 인도 방식, 지속적인 베이시스 차이 때문에 가격 경로가 달라질 수 있습니다. 거래장 이전, 수수료 변경, 시장구조 개편, 데이터 정의 변경 뒤에는 관계 자체가 바뀔 수도 있습니다. 선택한 표본에서 관측 가격이 가정한 장기 관계를 공유하지 않는다면, 공통 효율가격 분해와 그 비중은 의도한 대로 해석할 수 없습니다.

공적분과 오차수정은 정상적인 장기 관계와 단기 가격 변화의 모형을 연결합니다(Engle and Granger, 1987). VECM은 이 구조를 명시적으로 표현합니다. 이를 통해 공통 가격 주변의 일시적 조정과 장기 성분에 영향을 남길 수 있는 혁신을 구분합니다.

<!-- learn:illustration --> <!-- 글자 없는 개념도: 두 거래장의 가격 경로가 하나의 매끄러운 공통 장기 가격 경로 주위에서 일시적으로 이탈하며 변동합니다. 실제 시장 자료나 인과도, 예측이 아닙니다. -->

\(d\)개의 가격 시계열을 이용하는 VECM은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

\(\beta\)는 공적분 관계를, \(\alpha\)는 장기 관계에서 벗어난 정도에 각 가격이 반응하는 조정 부하량을 담습니다. \(\Gamma_j\)는 단기 시차 동학을, \(\varepsilon_t\)는 공분산 행렬이 \(\Omega\)인 축약형 혁신 벡터를 나타냅니다. 공통 효율가격이 하나인 설정에서는 혁신 벡터가 장기적으로 영구가격에 미치는 영향을 행벡터 \(\psi\)로 요약할 수 있습니다. 공통 영구가격의 증분은 모형의 정규화와 결정적 항을 전제로 다음과 같습니다.

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t. \]

그 증분의 전체 분산은 다음과 같습니다.

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

\(\psi\)는 적합된 시스템의 장기 표현에서 구합니다. 조정계수 \(\alpha\)나 공적분 벡터 \(\beta\) 그 자체와 같지 않습니다. 단기 가격 변화가 크더라도 일시적일 수 있습니다. 반대로 작은 혁신도 공통 영구 성분에 오래 남는 효과가 있다면 가격 발견에 더 큰 기여를 할 수 있습니다.

공통 추세의 정의와 정규화도 밝혀야 합니다. 효율가격 표현에 상수를 곱하면 \(\psi\)와 공통가격 분산의 단위가 바뀌지만, 정규화한 정보비중은 바뀌지 않습니다. 공통 확률 추세가 하나보다 많은 시스템이라면 하나의 스칼라 효율가격만으로는 충분하지 않습니다. 어떤 영구 성분 또는 선형결합을 분해하는지 별도로 정의해야 합니다.

거래장 혁신이 서로 상관되지 않으면 \(\Omega\)는 대각행렬입니다. 이 경우 각 시장이 영구가격 분산에 기여하는 몫을 직접 분리할 수 있습니다.

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

이 식은 시장의 장기 영향력에 그 시장 자체 혁신의 분산을 곱해 반영합니다. 지속적 영향이 크거나 혁신 분산이 큰 거래장은 더 높은 정보비중을 가질 수 있습니다. VECM 조정계수의 절댓값만 비교해서는 알 수 없는 점입니다.

혁신이 같은 시점에 상관되어 있으면 전체 분산에는 공분산 항이 포함됩니다. \(\Omega\)만으로 그 공통 항을 각 시장에 나누는 방법은 유일하지 않습니다. Hasbrouck 방식은 \(\Omega=FF^{\mathsf T}\)인 Cholesky 분해로 직교 혁신을 구성합니다. 선택한 변수 순서에서 직교화된 충격 \(i\)에 배정되는 비중은 다음과 같습니다.

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

이 분해는 혁신을 서로 직교하게 만들지만, 삼각행렬 구조상 순서가 앞선 변수가 같은 시점의 공통 변동을 먼저 흡수합니다. 이는 공분산을 배분하는 규칙이지 경제적으로 앞선 정보 계층을 증명하는 것은 아닙니다.

같은 표본 구간 안에서 두 거래장의 가격이 거의 동시에 움직여 혁신 간 상관이 높으면, 어느 시장의 혁신이 먼저 도착했는지 자료가 구분하지 못할 수 있습니다. Cholesky 분해는 어느 거래장을 먼저 두느냐에 따라 두 시장의 공통 움직임을 다르게 배분합니다. Hasbrouck의 절차에서는 관심 시장을 변수 순서의 맨 앞에 두어 상한을, 맨 뒤에 두어 하한을 구할 수 있습니다.

이 범위는 편의에 따라 한 순서를 택한 값보다 솔직한 질문에 답합니다. 즉, 상관된 혁신을 허용된 순차 배분 방식으로 나눌 때 특정 시장의 비중이 어느 정도까지 달라질 수 있는지를 보여줍니다. 범위가 좁으면 이 표본에서는 변수 순서 문제가 추정치에 미치는 영향이 작다는 뜻입니다. 범위가 넓으면 동시적인 가격 혁신만으로 거래장별 비중을 정밀하게 식별하기 어렵다는 뜻입니다. 중간값을 요약치로 보고하기도 하지만, 유일하게 식별된 추정치는 아닙니다. 그 값이 범위나 명시적인 순서 가정을 대신해서는 안 됩니다.

더 높은 빈도로 표본을 만들면 한 거래장의 가격이 먼저 갱신된 일부 구간에서 동시 상관이 낮아질 수 있습니다. 하지만 상관이 0이 된다고 보장하지는 않습니다. 너무 긴 간격으로 표본을 만들면 갱신 순서가 가려지고, 지나치게 짧으면 오래된 호가가 이어지는 비동기 관측 문제가 커질 수 있습니다. 표본 간격과 순서 민감도를 함께 보고해야 합니다.

계산만 설명하기 위해, 두 시장 VECM에서 정규화한 영구가격 영향 벡터가 \(\psi=(0.6,0.4)\)라고 가정해보겠습니다. 축약형 혁신의 공분산 행렬은 다음과 같습니다.

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

혁신 분산은 각각 1이고 상관계수는 0.8입니다. 공통 영구가격 혁신의 전체 분산은

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904 \]

입니다.

시장 A를 먼저 놓겠습니다. 이 순서에 해당하는 하삼각 Cholesky 인자는

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24) \]

입니다. 따라서 A의 정보비중은 \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\), B는 \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\)입니다. 이번에는 B를 먼저 두고 순서를 뒤집으면 같은 계산에서 B가 약 85.7%, A가 약 14.3%가 됩니다. 순서에 따른 A의 범위는 약 14.3%–93.6%, B는 약 6.4%–85.7%입니다. 각 순서에서 두 비중의 합은 100%입니다. 서로 다른 순서에서 구한 시장별 하한끼리, 또는 상한끼리 더해 100%가 되는 것은 아닙니다.

VECM 영향 벡터, 단위 혁신 분산, 상관계수 0.8을 포함한 모든 값은 계산을 재현하기 위해 정한 가정입니다. 실제 거래장, 자산, 표본에서 얻은 결과가 아닙니다. 상관된 혁신 때문에 겉보기에는 정밀해 보이는 시장 순위가 Cholesky 순서에 크게 좌우될 수 있다는 점만 보여줍니다.

Gonzalo–Granger 분해는 관측 가격의 정규화한 선형결합으로 영구 성분을 만듭니다. 조정행렬이 \(\alpha\)인 VECM에서 공통요인 가중치 벡터 \(w\)는 \(\alpha\)에 수직인 공간에 놓이며 \(\alpha^{\mathsf T}w=0\)을 만족합니다. 여기에 가중치의 합을 1로 두는 식의 정규화를 더합니다. 이렇게 만든 공통요인은 장기적으로 오차수정항에 반응하지 않습니다. Gonzalo와 Granger는 공적분 시스템에서 이런 영구·일시 성분 분해를 제시했습니다(Gonzalo and Granger, 1995).

이 공통요인 가중치는 여러 거래장 가격을 조합해 공통가격 수준을 어떻게 나타내는지 설명합니다. Hasbrouck 정보비중은 각 거래장 혁신이 공통 영구가격 혁신의 분산에 기여하는 몫을 측정합니다. 두 값은 밀접하게 연결될 수 있지만 정보비중은 각 시장 혁신의 분산도 반영합니다. de Jong의 비교와 Baillie, Booth, Tse, Zabotina의 분석은 혁신이 서로 상관되지 않을 때 두 지표가 비슷하게 보일 수 있고, 상관이나 혁신 분산이 다르면 달라질 수 있는 이유를 설명합니다(de Jong, 200200028-9); Baillie et al., 200200027-7)).

앞의 가상 입력값 \(\psi\)와 \(\Omega\)만으로는 Gonzalo–Granger 공통요인 가중치를 정할 수 없습니다. 그 가중치는 VECM의 조정행렬 \(\alpha\)와 명시한 정규화 방식에 따라 달라집니다. 분산 분해에 사용한 값만으로 숫자형 공통요인 가중치가 나오지는 않습니다. 이 차이가 핵심입니다. 공통요인 가중치는 관측 가격에서 영구가격을 구성하고, Hasbrouck 정보비중은 그 영구가격 혁신의 분산을 분해합니다.

가격 시계열은 서로 비교 가능한 권리를 나타내야 하며, 타당한 시계에 맞춰 정렬해야 합니다. 각 관측값이 체결가인지 중간호가인지 또는 다른 호가 척도인지, 양방향 호가나 교차호가, 오래된 호가, 경매, 거래장 휴장, 순서가 뒤바뀐 메시지를 어떻게 처리했는지 명시하세요. 분석 구간에 두 시장이 모두 열려 있는지도 확인해야 합니다. 선물은 만기 교체와 인도 조건 차이를 기록하고, 교차 상장 증권은 VECM 추정 전에 통화, 기업행위, 단위를 맞춰야 합니다.

비동기 관측은 핵심적인 문제입니다. 한 거래장은 10:00:00.100에 갱신하고 다른 거래장은 10:00:00.700에 갱신한다고 합시다. 1초 간격으로 표본화하면 순차적인 반응이 동시에 일어난 것처럼 보일 수 있고, 더 긴 간격은 순서를 더 흐릴 수 있습니다. 반대로 매우 촘촘한 격자에서는 오래된 가격을 그대로 이월해 인위적인 선행·후행 패턴을 만들 수 있습니다. 표본 빈도, 시각 동기화 규칙, 호가 필터, 합리적인 대안에 대한 민감도를 보고해야 합니다. 간격을 줄이면 시간 집계로 인한 상관은 낮아질 수 있지만, 실제 공통 충격이나 동시 갱신, 시각 기록 오류까지 없애지는 못합니다.

정보비중은 시차 차수, 결정적 항, 표본 시작·끝, 관계의 안정성에도 영향을 받습니다. 시차가 부족하면 VECM 혁신에 계열 의존성이 남을 수 있고, 너무 많으면 추정 불확실성이 커집니다. 거래 규칙 변경이나 거래시간 변화는 조정 과정을 바꿀 수 있습니다. 잔차 진단과 불확실성 추정을 사용하고, 전체 VECM과 비중 범위를 다시 추정하는 부트스트랩을 고려하세요. 하나의 명세를 조건으로 계산한 작은 표준오차가 데이터 구성과 모형 선택의 불확실성까지 포함한다고 간주해서는 안 됩니다.

정보비중은 특정 VECM과 직교화 아래에서 모형에 포함한 각 거래장의 혁신이 공통 영구가격 분산에 얼마나 기여했는지를 요약합니다. 높은 비중이 그 거래장에서 뉴스가 시작됐다거나, 모든 이벤트에서 그 거래장이 먼저 움직인다거나, 다음 수익률을 예측한다는 증거는 아닙니다. 공통 정보는 거의 동시에 여러 시장에 도달할 수 있고, 시장 마찰과 관측 시점은 측정된 배분에 영향을 줍니다.

정보비중은 시장의 전반적인 품질을 직접 재는 값도 아닙니다. 어떤 거래장은 공통가격 형성에 크게 기여하면서도 스프레드가 넓고 표시 잔량이 얕으며 체결 비용이 높을 수 있습니다. 반대로 거래 비용이 낮은 유동성을 제공하더라도 선택한 표본의 영구가격 혁신 기여도는 더 낮을 수 있습니다. Roll 스프레드 추정량은 수익률 자기공분산에서 다른 대상을 추정하고, 오더 플로우 불균형은 장기 혁신 분산이 아니라 표시된 호가 대기열의 변화를 요약합니다.

매매 성과를 주장하려면 정보비중 분석은 사전에 정한 표본 외 전략 검정의 일부여야 하며, 수수료, 매수·매도 스프레드, 지연, 슬리피지, 시장 충격, 거래장 접근 조건을 포함해야 합니다. Engle–Granger 안내는 단일 방정식 공적분 접근을, Johansen 순위 안내는 시스템 공적분 순위를 설명합니다. 공적분이나 높은 정보비중만으로 수익성 있는 규칙이 입증되지는 않습니다.