Semivarianza realizzata: misurare la volatilità al rialzo e al ribasso

Per rendimenti logaritmici infragiornalieri \(r_i\) osservati in un intervallo fisso, la varianza realizzata è la somma dei rendimenti al quadrato, \(RV=\sum_i r_i^2\). Il quadrato rende positive sia le variazioni in rialzo sia quelle in ribasso e attribuisce più peso ai movimenti ampi. La statistica misura la variazione accumulata nell'intervallo, ma non indica se provenga da movimenti verso l'alto o verso il basso.

La semivarianza realizzata conserva il segno prima di elevare al quadrato. La componente positiva raccoglie i quadrati dei rendimenti maggiori di zero; quella negativa raccoglie i quadrati dei rendimenti minori di zero. Con le stesse osservazioni e convenzioni, la loro somma coincide con la varianza realizzata. Un rendimento nullo non contribuisce a nessuna componente. È un'identità contabile, non la prova che le due parti siano fonti causali di rischio distinte.

Questa separazione è utile quando la domanda di ricerca riguarda la variazione direzionale, per esempio se la variazione passata dei rendimenti negativi contenga informazioni diverse sulla volatilità futura rispetto a quella dei rendimenti positivi. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock e Shephard introdussero la semivarianza realizzata come misura ad alta frequenza della variazione al ribasso. Il loro working paper ne esamina il rapporto con la variazione quadratica e i salti negativi.

Per i rendimenti \(r_1,\ldots,r_n\), definiamo

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

dove \(\mathbf{1}(\cdot)\) vale uno quando la condizione è vera e zero altrimenti. Quindi

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Alcuni studi usano etichette o apici diversi: in un rapporto occorre quindi precisare quale termine indica i rendimenti positivi e quale quelli negativi. La formula qui sopra usa rendimenti non centrati rispetto alla soglia zero: non sottrae la media del campione, un rendimento obiettivo o il tasso privo di rischio. Una semivarianza campionaria calcolata rispetto a un obiettivo o alla media è una statistica diversa.

Le unità sono quelle del rendimento al quadrato. Con rendimenti in punti base, entrambe le componenti sono espresse in bp²; con rendimenti logaritmici decimali, il risultato è in rendimento decimale al quadrato. Convertire i rendimenti da percentuali a punti base moltiplica per 10.000 il valore numerico della misura quadratica: l'unità va sempre riportata.

Supponiamo che una sessione ipotetica abbia sei rendimenti in punti base:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

I rendimenti positivi contribuiscono \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Quelli negativi contribuiscono \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Il rendimento nullo non contribuisce. La varianza realizzata totale è quindi

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

In questo piccolo esempio, la quota negativa è \(21/34\), circa il 61,8%, mentre quella positiva è circa il 38,2%. Sono quote di una somma inventata, non probabilità di perdite future né stime stabili di un'asimmetria di lungo periodo. Sei rendimenti sono del tutto insufficienti per un'inferenza. Il calcolo serve solo a verificare definizioni e aritmetica.

La guida alla volatilità realizzata tratta la somma non scomposta dei rendimenti al quadrato. La guida alla bipower variation affronta un'altra domanda: stimare la variazione continua quando possono esserci salti poco frequenti. La semivarianza direzionale e la variazione robusta ai salti possono essere analizzate insieme, ma l'una non sostituisce l'altra.

Se il log-prezzo latente segue una semimartingala continua e il campionamento diventa sempre più fitto sotto le condizioni di regolarità pertinenti, le semivarianze dei rendimenti positivi e negativi convergono ciascuna a metà della variazione quadratica continua. In queste condizioni, i totali campionari per segno possono differire anche se la variazione continua sottostante non presenta una separazione direzionale persistente: conta anche la casualità del campionamento.

In presenza di salti, il quadrato dell'ampiezza del salto viene assegnato alla componente positiva o negativa in base al segno. Si conserva così un'informazione che la varianza realizzata totale perde; non significa però che ogni rendimento negativo sia un salto o che ogni rendimento positivo sia innocuo. Un grande movimento continuo e un salto possono entrambi produrre un rendimento al quadrato elevato. Il segno classifica la variazione osservata, non la sua causa economica.

La figura concettuale sottostante separa gli incrementi positivi da quelli negativi in due gruppi visivi. Non rappresenta dati, un risultato di test o un'affermazione secondo cui il processo sottostante abbia una distorsione direzionale persistente.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Le semivarianze realizzate possono essere usate come predittori separati in un modello della volatilità futura. Nel loro studio sull'S&P 500 e su singoli titoli, Patton e Sheppard hanno rilevato che, nei loro campioni e nelle loro specificazioni, la variazione passata dei rendimenti negativi era più fortemente associata alla volatilità futura rispetto a quella dei rendimenti positivi. È un risultato empirico del loro disegno, non una legge universale dei mercati né una garanzia che una nuova strategia preveda bene.

Per sostenere una previsione occorre specificare obiettivo e orizzonte, confrontarla con un benchmark appropriato e valutarla fuori campione. La differenza tra \(RS^-\) e \(RS^+\) in un solo giorno è descrittiva e non dimostra capacità predittiva. La regressione può dover considerare anche persistenza della volatilità, orizzonti sovrapposti, incertezza dei parametri e selezione dei dati. Gli errori di previsione vanno valutati con una funzione di perdita adatta alla decisione.

Come estensione multivariata, Bollerslev, Li, Patton e Quaedvlieg sviluppano semico-varianze realizzate che scompongono la covarianza realizzata in base ai segni di coppie di rendimenti ad alta frequenza. Il loro articolo su Econometrica mostra perché le componenti con segno uguale e misto possano contenere informazioni diverse. La scomposizione univariata positivo/negativo è più semplice e non va presentata come una decomposizione completa della covarianza o del rischio di portafoglio.

L'espressione “downside semivariance” viene usata per più di una definizione. Qui la misura realizzata somma i quadrati dei rendimenti ad alta frequenza inferiori a zero. Una statistica al ribasso basata su una soglia, invece, considera i rendimenti sotto un livello scelto, spesso un obiettivo o un rendimento minimo accettabile. Un calcolo campionario può anche centrare le osservazioni sulla media. Sono definizioni che rispondono a domande diverse e possono dare valori differenti sulla stessa serie.

Nessuna delle due semivarianze realizzate è una misura di Value-at-Risk o Expected Shortfall. Il VaR descrive un quantile di una distribuzione di perdite e di un orizzonte specificati; l'Expected Shortfall riassume le perdite oltre un quantile secondo una convenzione dichiarata. La somma dei rendimenti infragiornalieri negativi al quadrato non ha nessuna di queste interpretazioni. Non misura neppure interamente il drawdown, che dipende dall'ordine e dal percorso dei rendimenti.

Se un grafico o un modello etichetta \(RS^-\) come “rischio al ribasso”, definire subito il termine: dire se i rendimenti sono misurati da zero o da un obiettivo, quale frequenza di campionamento è usata e se si tratta di una statistica di intervallo, di un input previsionale o di una misura di portafoglio. La guida alla volatilità GARCH tratta la dinamica della varianza condizionale; la semivarianza realizzata fornisce una misura direzionale ad alta frequenza che si può eventualmente considerare come input.

La separazione in base al segno dipende dalla sequenza osservata. Campionare più spesso può aggiungere bid-ask bounce, discrezione dei prezzi, quotazioni obsolete ed effetti dei timestamp. Una piccola variazione registrata può cambiare segno se cambiano il proxy del prezzo o la griglia di campionamento. Il rumore di microstruttura può quindi modificare sia l'ampiezza al quadrato sia la componente che riceve il rendimento. L'identità \(RV=RS^++RS^-\) resta valida per la serie scelta, ma non convalida il disegno di campionamento.

Per un confronto solido, documentare il campo del prezzo, l'intervallo di campionamento, i confini della sessione, la gestione dei rendimenti nulli, le regole sugli outlier e l'eventuale sincronizzazione dei rendimenti tra attività. Verificare la sensibilità a scelte di campionamento difendibili. Se la domanda centrale riguarda l'identificazione dei salti o la robustezza al rumore, usare uno stimatore o un test pensato per quel fine, anziché interpretare la separazione dei segni come una correzione. La guida alla volatilità realizzata two-scale illustra un metodo alternativo per correggere il rumore.

Anche l'inferenza statistica richiede una distribuzione campionaria o un disegno di ricampionamento adeguato. Le componenti positiva e negativa derivano dallo stesso percorso e possono essere dipendenti; finestre sovrapposte possono aggiungere altra dipendenza. Intervalli di confidenza e confronti previsivi devono riflettere queste caratteristiche: confrontare soltanto due stime puntuali non verifica che i loro ruoli predittivi differiscano.

Un rapporto chiaro identifica la serie dei rendimenti dell'attività o del portafoglio, la finestra di osservazione, la definizione dei rendimenti, la griglia di campionamento e le unità. Riporta le formule di \(RS^+\) e \(RS^-\), verifica che la loro somma riproduca la varianza realizzata e spiega come siano stati trattati zeri e osservazioni mancanti. Se la misura entra in un modello previsivo, indica orizzonte, benchmark, periodo di valutazione e funzione di perdita.

Non convertire direttamente la semivarianza realizzata in volatilità annualizzata senza dichiarare le ipotesi di aggregazione. Si possono sommare le semivarianze giornaliere sull'anno per descrivere un totale annuale secondo una convenzione scelta; la radice quadrata non diventa automaticamente una deviazione standard al ribasso con distribuzione nota. L'annualizzazione non corregge prezzi distorti, campionamento rado o effetti di selezione.

L'uso principale è misurare con disciplina: mantenere la direzione di ogni rendimento osservato e conservare la ponderazione quadratica della variazione realizzata. Il risultato può rivelare un andamento da verificare. Da solo non ne identifica la causa, non misura una probabilità di coda e non trasforma un'asimmetria storica in un segnale di trading.