Value at Risk rispetto a Expected Shortfall: spiegazione

Per la perdita L con funzione di ripartizione F_L, definisci VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}

Un VaR a un giorno del 99% pari a 10 significa che il modello colloca circa l'1% delle perdite a un giorno oltre 10 secondo le proprie convenzioni

Non significa che la perdita massima sia 10, che le perdite restino sotto 10 in 99 di ogni 100 giorni consecutivi o che gli sforamenti siano piccoli

Una definizione robusta è ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du per una perdita integrabile

Per una distribuzione continua questo spesso equivale a E[L|L≥VaR_α], in base alla convenzione di coda scelta

Con atomi nel quantile, una semplice media condizionata può selezionare troppa massa, quindi la definizione integrale gestisce correttamente la massa frazionaria del quantile

Due portafogli possono avere lo stesso VaR mentre uno assegna perdite molto più grandi oltre la soglia

Il VaR non è subadditivo per ogni distribuzione e talvolta può penalizzare la diversificazione o premiare effetti concentrati sulla soglia

ES è coerente secondo le definizioni standard e l'integrabilità, ma la coerenza non rende affidabili un modello mal specificato o un dataset obsoleto

Il VaR storico è una statistica d'ordine; l'ES storico calcola la media solo delle osservazioni oltre il rango selezionato

Ad alta confidenza, ES usa quindi pochissime osservazioni effettive e può avere un'incertezza campionaria molto maggiore

Stime parametriche, filtrate, di valori estremi e Monte Carlo aggiungono ipotesi del modello che devono corrispondere a orizzonte, dipendenza, liquidità e regime

I test del VaR possono contare gli sforamenti e valutare se la loro tempistica si raggruppa più di quanto consenta il modello

ES non si valuta utilmente soltanto con la frequenza degli sforamenti; può essere valutato insieme al VaR mediante scoring adeguati o diagnostiche delle perdite di coda

Un backtest positivo dice solo che gli errori di previsione passati hanno superato quel test e quella finestra, non che il prossimo regime o una posizione non modellata sia coperta

Rockafellar–Uryasev usano min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}; il suo minimo è uguale a ES secondo la convenzione indicata

Un t ottimizzato è un quantile VaR secondo condizioni standard, trasformando molti problemi ES basati su scenari in programmi convessi

Il risultato dipende comunque dalla qualità degli scenari, dalle non linearità della posizione, dai vincoli sulle transazioni e dal fatto che la mappatura della perdita sia convessa

Indica il segno della perdita, l'orizzonte, il livello di confidenza, l'orario di valutazione, la finestra dati, la ponderazione, la valuta e il trattamento dei prezzi mancanti o obsoleti

Riporta VaR ed ES con intervalli d'incertezza, cronologia degli sforamenti, contributori alla coda, scenari di stress e limiti esterni al modello statistico

Ricalcola usando finestre e ipotesi di dipendenza alternative e analizza i cambiamenti invece di trattare un numero come un certificato di rischio