Tassi par, spot e forward: cosa mostra la curva dei rendimenti

Una curva obbligazionaria si costruisce dai prezzi o rendimenti di titoli con scadenze e calendari di pagamento diversi. La quotazione di un’obbligazione con cedola riassume più flussi futuri in un rendimento a scadenza. Un tasso spot zero coupon valuta un solo pagamento a una certa data. Un tasso forward descrive il tasso di un intervallo che inizia più avanti. Tutte queste misure sono collegate dalle stesse relazioni di attualizzazione, ma rispondono a domande diverse sui flussi di cassa.

L’etichetta “rendimento a due anni” su uno schermo può indicare il rendimento di una specifica Treasury Note biennale, un punto a scadenza costante letto da una curva par interpolata, un tasso spot zero oppure un forward con inizio futuro. La sola scadenza non identifica la misura. Controlla la fonte della curva, lo strumento, la convenzione di capitalizzazione e se il dato è il rendimento di un titolo corrente, un tasso par, zero o di un periodo futuro.

Tre domande aiutano a separare i concetti: quale tasso attualizza un pagamento a una data specifica? Quale cedola farebbe quotare un’obbligazione alla pari? Quale tasso per un intervallo successivo renderebbe equivalenti due investimenti con le stesse date iniziale e finale? Sono rispettivamente le domande spot, par e forward.

Un tasso spot, detto anche tasso zero coupon per la scadenza corrispondente, attualizza un singolo pagamento a quella data. Se un ipotetico titolo zero coupon biennale paga 100 USD alla fine del secondo anno e il suo tasso spot effettivo annuo è 4%, con questa convenzione semplificata oggi vale 100 USD ÷ (1,04)², cioè circa 92,46 USD. Non ci sono cedole intermedie da attualizzare.

Il fattore di sconto esprime la stessa relazione senza annualizzare un rendimento. Sia DF(T) il valore attuale di 1 USD ricevuto al tempo T. Con capitalizzazione annuale, DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, dove z(T) è il tasso spot per la scadenza T espressa in anni. Un flusso C pagato a T vale C × DF(T), prima di aggiustamenti per altri rischi o convenzioni. Il fattore è spesso l’oggetto più diretto in un calcolo di prezzo, perché si applica separatamente a ogni pagamento datato.

Un’obbligazione con cedola paga in più date e in genere richiede fattori di sconto distinti. Attualizzare tutte le cedole con un solo rendimento a scadenza è una scorciatoia utile solo secondo convenzioni YTM esplicite; non equivale ad attualizzare ogni flusso lungo una curva spot. La differenza conta se la curva è inclinata, le date sono irregolari o titoli con cedole diverse hanno una scadenza finale simile.

Il rendimento par è la cedola che, dati i fattori di sconto della curva e le date di pagamento ipotizzate, porta il valore di un’obbligazione teorica esattamente al valore nominale. Per un titolo da 100 USD con cedole annuali agli anni 1 fino a T, la cedola par c soddisfa: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T). Con pagamenti semestrali o irregolari entrano nell’equazione anche la frazione trascorsa del periodo cedolare e le date di sconto corrispondenti.

La definizione distingue il rendimento par dalla cedola e dal rendimento a scadenza di un’obbligazione effettiva. La cedola di un titolo emesso è scritta nelle condizioni; il rendimento di mercato cambia con il prezzo. Il rendimento par è invece la cedola derivata dalla curva per una nuova obbligazione teorica quotata al nominale. Il Tesoro statunitense descrive la curva pubblicata come una curva par interpolata da quotazioni indicative in acquisto, non come un elenco di prezzi negoziati per obbligazioni teoriche alla pari. Il metodo converte i prezzi di mercato in rendimenti, ricava i forward ai nodi iniziali con bootstrap e interpola una curva che riprezza gli input con un errore contenuto. La metodologia della curva del Tesoro spiega il procedimento.

Il rendimento par è utile per confrontare obbligazioni teoriche con cedola a una scadenza scelta usando una curva coerente. Non significa che un titolo già emesso con quella scadenza paghi la stessa cedola e non include liquidità, trattamento fiscale, opzioni incorporate o modalità di regolamento specifici. Per un’obbligazione concreta considera prezzo, date cedolari, clausole di rimborso e convenzione di calcolo del rendimento.

Un tasso forward è il tasso implicito oggi per prendere o concedere fondi durante un intervallo futuro. Si può chiedere quale tasso di periodo renda uguali gli importi finali di due strategie con le stesse date iniziale e finale. Nell’ipotesi semplificata di capitalizzazione annuale e assenza di arbitraggio, il forward annuale che inizia fra un anno è:

Forward dall’anno 1 all’anno 2 = [(1 + tasso spot biennale)² ÷ (1 + tasso spot annuale)] − 1.

Se investire per due anni al tasso spot biennale producesse un importo diverso dall’investire per un anno al tasso spot annuale e reinvestire nel secondo anno al forward, in teoria l’investitore sceglierebbe il percorso più conveniente. Nei mercati effettivi, differenze tra tassi di prestito e deposito, costi di transazione, garanzie, imposte, merito creditizio e convenzioni degli strumenti impediscono che la replica teorica sia esatta per tutti. La formula chiarisce la relazione interna ai prezzi della curva, non garantisce un tasso negoziabile per qualsiasi importo.

Per esempio, se il tasso spot effettivo annuo a un anno è 3% e quello a due anni è 4%, il fattore dell’investimento biennale è (1,04)² = 1,0816. Nel percorso alternativo il primo anno moltiplica per 1,03. Il fattore implicito per la crescita del secondo anno è quindi 1,0816 ÷ 1,03 = 1,050097, cioè un forward annuale per l’anno 2 di circa 5,01%. Lo spot biennale è 4%, mentre il forward per l’ultimo anno è circa 5,01%: misure diverse della stessa curva.

Continuiamo con una curva zero puramente ipotetica a tassi effettivi annui: spot a un anno del 3% e a due anni del 4%. I fattori sono DF(1) = 1 ÷ 1,03 = 0,970874 e DF(2) = 1 ÷ (1,04)² = 0,924556. Un pagamento zero coupon di 100 USD tra un anno vale oggi circa 97,09 USD; lo stesso pagamento tra due anni vale circa 92,46 USD. Ogni tasso spot attualizza un singolo pagamento alla propria scadenza.

Quale cedola annua porta esattamente a 100 USD il prezzo di un’obbligazione biennale con valore nominale di 100 USD e una cedola alla fine di ciascun anno? L’equazione è $100 = c × 0,970874 + ($100 + c) × 0,924556. Risolvendo, c ≈ 3,9803 USD, quindi il tasso cedolare par è circa 3,98%. È poco sotto il tasso spot zero biennale del 4% perché l’obbligazione paga parte del flusso già nel primo anno e quella cedola è attualizzata al tasso spot annuale più basso.

Il forward implicito dall’anno 1 all’anno 2 è circa 5,01%, come calcolato sopra. I tre tassi rispondono quindi a domande differenti: 4% attualizza un pagamento singolo alla fine del secondo anno; 3,98% è la cedola di un’obbligazione biennale teorica quotata alla pari; 5,01% è, con capitalizzazione annuale, il tasso implicito della curva per il secondo anno. I valori mostrati sono arrotondati, ma il calcolo usa fattori non arrotondati. Sono input inventati, non osservazioni di mercato o quotazioni Treasury attuali.

Un forward è derivato matematicamente dai prezzi correnti degli strumenti con determinate ipotesi di curva e capitalizzazione. Non equivale al tasso a breve che prevarrà davvero nell’intervallo futuro. Può essere interpretato come tasso di pareggio implicito nel mercato o, con ipotesi aggiuntive, come indicazione approssimativa sui futuri tassi brevi. Può anche includere una remunerazione per il rischio di tasso, inflazione e altri rischi.

Le analisi della Federal Reserve descrivono un forward come indicatore del tasso breve futuro atteso più un premio a termine. La scomposizione non è direttamente osservabile da una singola curva e dipende da un modello o da altre evidenze, come sondaggi e stime del premio a termine. La nota della Fed sugli spread forward mostra che un forward può riflettere sia aspettative di politica monetaria sia un premio per il rischio. Orizzonti e metodi di stima diversi possono quindi raccontare storie differenti.

Anche se è un segnale di mercato utile, un forward può divergere dal tasso poi realizzato. Possono cambiare le future decisioni delle banche centrali, inflazione, crescita, propensione al rischio e domanda o offerta di duration. Un forward implicito elevato non promette che i costi di finanziamento a breve raggiungeranno quel livello e non è, da solo, un’indicazione operativa. Il Tesoro precisa che le sue serie par e a scadenza costante descrivono condizioni di mercato osservate e non sono previsioni dei tassi futuri.

Il tasso giornaliero Constant Maturity Treasury (CMT) si legge su un punto della curva par interpolata del Tesoro. Non è necessariamente il rendimento di un titolo Treasury con scadenza esattamente in quella data e non è un tasso spot zero coupon. Il Tesoro afferma che la curva par giornaliera usa quotazioni indicative in acquisto sui titoli messi all’asta più di recente, raccolte intorno alle 15:30 Eastern, e un metodo di curva monotone-convex. Il punto CMT è un valore costruito a partire da input di mercato, non l’identificativo di un titolo.

Il Tesoro specifica inoltre che i tassi CMT sono rendimenti bond-equivalent per titoli con cedole semestrali. Sono quotazioni annualizzate semplici, non tassi annui effettivi o APY. Secondo la sua convenzione, un rendimento bond-equivalent dell’8,00% corrisponde a un rendimento annuo effettivo dell’8,16% dopo capitalizzazione semestrale. La tabella CMT non pubblica una curva zero coupon giornaliera. La risorsa separata Treasury Coupon Issues contiene serie storiche di curve spot, par e forward mensili, trimestrali o di fine mese. Le FAQ del Tesoro sui tassi d’interesse chiariscono queste differenze.

Anche il metodo di costruzione conta. L’attuale curva par del Tesoro interpola forward ricavati per bootstrap; un altro fornitore può usare input, smoothing o interpolazioni diverse e ottenere una curva leggermente differente. Un tasso spot o forward derivato è dunque legato alla costruzione della curva e alla convenzione di quotazione. Può essere coerente e utile senza essere un Treasury negoziato autonomamente.

Per prezzare flussi promessi, attualizza ogni pagamento datato con i fattori di una curva adatta al titolo e allo scopo della valutazione. Una curva zero spot rappresenta il valore temporale di ciascun pagamento; credito, liquidità, imposte e opzioni possono richiedere ulteriori aggiustamenti. Non attualizzare tutte le cedole con un solo tasso di scadenza, a meno che tu non abbia scelto apposta il metodo YTM.

Per confrontare la cedola di una nuova emissione ipotetica alla pari, usa il rendimento par corrispondente e la frequenza cedolare. Per descrivere il rendimento di un Treasury benchmark, specifica se è il rendimento di un titolo concreto o un punto CMT. Per esaminare il tasso implicito su un periodo futuro, usa un forward indicando date iniziale e finale, capitalizzazione e fonte della curva. Un forward da solo non basta a separare aspettative sui tassi brevi e premio a termine: serve un modello o un sondaggio.

Queste distinzioni spiegano anche perché il grafico della curva può differire dalla sensibilità del prezzo di un’obbligazione. Per la risposta di un portafoglio ai movimenti su scadenze selezionate, vedi key-rate duration e rischio della curva. Per il ruolo delle stime del premio a termine nei rendimenti lunghi, consulta term premium Treasury e stime dei modelli. Per cedola, rendimento corrente e YTM di un singolo titolo, leggi tasso cedolare, current yield e YTM a confronto.

Annota per prima cosa tipo e fonte della curva. Il dato è il rendimento a scadenza di un titolo, un punto par CMT del Tesoro, un tasso spot stimato o un forward per un intervallo futuro? Controlla poi se è nominale o reale, effettivo annuale o bond-equivalent, e se presuppone pagamenti annuali, semestrali o con altra frequenza. Confrontare periodi o capitalizzazioni differenti può capovolgere il confronto o renderlo fuorviante.

Poi allinea flussi e date. La cedola par dipende dalle date di pagamento ipotizzate; il fattore spot dal tempo fino a ogni pagamento; il forward dagli esatti periodi iniziale e finale. In una curva operativa incidono convenzioni di conteggio dei giorni, festività, ritardo di regolamento, rateo e interpolazione fra scadenze quotate. Una differenza di pochi punti base può dipendere da una convenzione o da un diverso orario di rilevazione, non da una diversa visione sostanziale del futuro.

Infine separa il calcolo della curva dalla conclusione. Tassi par, spot e forward sono modi collegati di riassumere i prezzi, non previsioni intercambiabili. La curva mostra lo sconto implicito nelle quotazioni correnti e i valori relativi alle diverse scadenze. Da sola non identifica il futuro percorso della politica monetaria, non dimostra che un’obbligazione sia cara o conveniente e non determina quanto pagherà davvero un debitore dopo spread creditizi, commissioni e condizioni contrattuali.

Fonti: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.