Modello HAR-RV: previsioni di volatilità giornaliere, settimanali e mensili

Il modello autoregressivo eterogeneo della volatilità realizzata è di solito chiamato HAR-RV. Prevede una misura futura a partire da misure recenti riassunte su finestre di diversa durata. Una specificazione giornaliera comune usa l’ultima sessione completa, la media di cinque sessioni di negoziazione e quella di 22 sessioni. Sono ingressi della regressione; se l’obiettivo è il giorno successivo, la previsione HAR-RV resta giornaliera.

HAR-RV offre un riferimento trasparente per studiare la persistenza della volatilità realizzata. La struttura additiva si stima con una regressione lineare e si può confrontare con un modello basato sui rendimenti, come GARCH. È una specificazione di previsione, non una regola per decidere quando entrare in una posizione, quanto rischiare o se un’attività sia interessante.

Corsi descrive il modello originale come una cascata additiva di componenti di volatilità su scale temporali diverse. L’idea di operatori di mercato con orizzonti differenti è una motivazione, ma la regressione non identifica singoli trader né dimostra che gruppi specifici causino la persistenza osservata. I termini giornaliero, settimanale e mensile sono riassunti statistici della volatilità passata.

Per una sessione \(t\) conclusa, una misura comune di varianza realizzata somma i rendimenti intragiornalieri al quadrato:

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

Qui \(r_{t,i}\) è il rendimento dell’intervallo intragiornaliero \(i\) e \(M\) è il numero di intervalli inclusi. La somma è espressa in unità di rendimento al quadrato. Questa guida usa deliberatamente la varianza realizzata su questa scala in tutte le componenti HAR e negli esempi di previsione. L’HAR-RV originale di Corsi (2009) usa invece misure di volatilità realizzata sulla scala della radice quadrata. Le convenzioni sono collegate, ma non vanno mescolate nella stessa regressione. Mantieni su un’unica scala gli input giornalieri, settimanali e mensili e il target della previsione. La guida al calcolo della volatilità realizzata descrive le scelte di misurazione.

Intervallo di campionamento, fonte dei prezzi, sessione di mercato e trattamento dei rendimenti overnight determinano che cosa misura \(RV_t\). Una somma basata solo sui rendimenti intragiornalieri della sessione regolare non include automaticamente il movimento dalla chiusura all’apertura successiva. Anche il campionamento ad alta frequenza può risentire del rumore delle quotazioni e di altre caratteristiche della microstruttura. Hansen e Lunde (2006) studiano l’effetto di questo rumore sulla misurazione della varianza realizzata. Andersen, Bollerslev, Diebold e Labys collegano le osservazioni ad alta frequenza alla volatilità realizzata e alle variazioni dei rendimenti a frequenza inferiore; il loro quadro non rende intercambiabile ogni regola di campionamento.

Usa una definizione coerente per la storia, i regressori e l’obiettivo della previsione. Passare da rendimenti a cinque minuti a rendimenti a un minuto, o dalla sessione regolare alla misurazione da chiusura a chiusura, può cambiare la serie, i coefficienti stimati e la previsione valutata.

Indichiamo con \(RV_t^{(d)}=RV_t\) la misura giornaliera. Una costruzione comune definisce la componente settimanale come la media delle ultime cinque misure giornaliere complete e quella mensile come la media delle ultime 22:

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

Dividere per 5 e 22 fornisce la varianza realizzata giornaliera media della rispettiva finestra. Una somma rappresenterebbe invece la varianza realizzata cumulata sull’intero intervallo. Entrambe le convenzioni sono possibili in un modello definito con precisione, purché formula, obiettivo e unità coincidano.

Le finestre si sovrappongono. L’ultima misura giornaliera entra anche nelle medie settimanale e mensile, e le osservazioni settimanali fanno parte della finestra mensile. I regressori riassumono quindi in parte la stessa storia su durate diverse; non sono misure indipendenti e i coefficienti non sono effetti causali separati di tre orizzonti.

Le finestre di cinque e 22 osservazioni indicano di solito sessioni di negoziazione, non necessariamente settimane e mesi di calendario. Festività, sessioni mancanti o calendari diversi dei futures richiedono una regola esplicita. Registra il calendario e il trattamento delle finestre incomplete prima di confrontare stime tra attività.

Una regressione giornaliera HAR-RV di base a un passo è:

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

Il lato sinistro è la varianza realizzata della prossima sessione completa. Tutti i predittori sono noti alla chiusura della sessione \(t\). L’intercetta \(\beta_0\) e i coefficienti \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) sono stimati da osservazioni storiche; \(\varepsilon_{t+1}\) è l’errore di regressione residuo.

Con i minimi quadrati ordinari, i coefficienti vengono scelti per ridurre al minimo la somma degli errori di previsione al quadrato nel campione per l’obiettivo definito. Si ottiene così un riferimento lineare compatto senza stimare un coefficiente distinto per ogni ritardo giornaliero. Corsi (2009) sviluppa HAR-RV e presenta risultati di previsione per i dati e le specificazioni dello studio. Non garantisce gli stessi coefficienti o la stessa accuratezza per un altro asset, periodo o misura di volatilità.

La notazione varia tra gli articoli. Alcune varianti HAR usano logaritmi, altri stimatori della volatilità realizzata, ritardi aggiuntivi o finestre diverse. Non dare per scontato che tutte le equazioni chiamate HAR siano uguali.

Dopo la stima, inserisci le ultime misure giornaliere, settimanali e mensili disponibili per ottenere la previsione puntuale della sessione successiva. L’errore di regressione futuro non è noto all’origine della previsione e quindi non compare nel valore puntuale:

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

In un esempio aritmetico ipotetico, supponiamo che l’intercetta stimata sia \(0.10\ \mathrm{bp}^2\) e i coefficienti siano \(0.50\), \(0.30\) e \(0.15\). Se l’ultima misura giornaliera è \(4\ \mathrm{bp}^2\), la media a cinque giorni \(3\ \mathrm{bp}^2\) e quella a 22 giorni \(2\ \mathrm{bp}^2\), il calcolo è:

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

Sono numeri inventati per illustrare il calcolo, non dati di mercato, un risultato stimato o una dichiarazione di performance. È una previsione per la sessione successiva secondo l’obiettivo e le unità indicati. La radice quadrata dà la volatilità in punti base per la stessa sessione; annualizzare richiede una convenzione distinta e dichiarata.

Non trasformare una previsione giornaliera in una settimanale cambiandole solo nome. Si può stimare un modello diretto con obiettivo la varianza realizzata cumulata o media della settimana futura. In alternativa, si possono iterare previsioni a un passo, definendo come aggiornare i futuri regressori. Fissa l’orizzonte prima di assegnare un punteggio alle previsioni. <!-- learn:illustration -->

La volatilità mostra spesso persistenza su molti ritardi. Una lunga autoregressione può rappresentare questa dipendenza, ma richiede molti parametri. HAR-RV comprime la storia in poche medie sovrapposte e può riprodurre con pochi coefficienti schemi empirici simili alla memoria lunga.

La parola «approssimazione» è importante. Corsi afferma esplicitamente che il modello HAR-RV non possiede proprietà di memoria lunga vere, pur mostrando che le simulazioni possono riprodurre alcune caratteristiche empiriche dei rendimenti finanziari con memoria lunga. HAR-RV è quindi un’approssimazione gestibile di schemi selezionati, non un processo integrato frazionario solo perché la dipendenza nei dati diminuisce lentamente.

Le componenti giornaliera, settimanale e mensile non sono neppure un censimento diretto di investitori che operano esattamente su tali orizzonti. L’idea di orizzonti eterogenei motiva la cascata, ma la regressione non identifica gruppi di investitori, intenzioni o un meccanismo causale.

Un grande salto di prezzo può contenere informazioni sulla volatilità futura che una sola misura di varianza totale nasconde. Corsi, Pirino e Reno (2010) separano la variazione continua da quella discontinua con metodi di bipotenza con soglia e studiano l’informazione dei salti nelle previsioni di volatilità. I miglioramenti riportati, soprattutto dopo un salto, valgono per i loro stimatori, dati e disegno empirico.

Una specificazione HAR sensibile ai salti può includere misure distinte delle componenti continue e dei salti, oppure i loro aggregati ritardati. Aggiunge nuove scelte: come rilevare i salti, come stimare la componente continua e se la misura del salto è disponibile all’origine della previsione. «Continuo» e «salto» designano componenti dell’estimatore nel modello, non una scomposizione priva di errori.

Predittori aggiuntivi possono migliorare la previsione in un campione e aumentare il rumore di stima in un altro. Confronta l’estensione con salti con HAR-RV di base usando gli stessi istanti di previsione, obiettivi, orizzonti e informazioni disponibili. Non concludere che ogni salto preannunci maggiore volatilità o che l’estensione prevalga in ogni mercato.

I coefficienti HAR-RV dipendono dalla serie di volatilità realizzata usata per la stima. Intervallo di campionamento, limiti della sessione, pulizia dei prezzi e trattamento delle osservazioni mancanti possono cambiare la serie. I regressori settimanale e mensile ereditano queste scelte perché sono medie delle misure giornaliere.

Tieni separati l’origine della previsione e il suo intervallo obiettivo. Se la previsione è fatta alla chiusura di una sessione, l’obiettivo della sessione successiva deve usare lo stesso asset, definizione del rendimento, copertura della sessione e unità degli obiettivi storici. Se la misura omette i rendimenti overnight, non descriverla senza correzioni come varianza completa da chiusura a chiusura. Finestre di calendario, periodi di più giorni sovrapposti e regole per i festivi richiedono definizioni specifiche.

Lo stesso vale per il confronto tra modelli. Una previsione giornaliera della varianza condizionale di GARCH e una previsione della varianza realizzata di HAR-RV sono confrontabili solo dopo aver allineato intervalli obiettivo e unità. La regressione MIDAS collega osservazioni di frequenza diversa in un altro modo; anche qui occorre specificare le informazioni disponibili a ogni origine.

La varianza realizzata non è negativa, ma una regressione lineare non vincolata non impone coefficienti o previsioni non negativi. Un fit ai minimi quadrati ordinari può quindi produrre una previsione negativa fuori campione. Una specificazione logaritmica o una stima vincolata gestisce la positività in modo diverso, ma cambia modello e interpretazione dei coefficienti. Anche un limite minimo della previsione è una scelta di modello: fissalo prima della valutazione e non dopo aver visto quale modello sembra vincere.

Valuta le previsioni fuori dal campione di stima e conserva i valori che sarebbero stati disponibili a ogni origine. Allinea proxy, obiettivo, orizzonte, copertura della sessione, unità e date comuni di valutazione. Descrivi le regole di ristima e aggiornamento e confronta con un riferimento esplicito. Se una misura realizzata è un proxy imperfetto, le classifiche attese dipendono dalla sua relazione con l’obiettivo e dalla funzione di perdita. Patton (2011) spiega perché il rumore nel proxy non rende automaticamente affidabile ogni confronto. La guida a QLIKE ed errore quadratico tratta queste ipotesi di valutazione.

Una perdita di previsione più bassa significa un punteggio migliore secondo obiettivo, proxy, campione e funzione di perdita scelti. Non dimostra che il modello causi volatilità, che la previsione giornaliera sia un segnale di trading o che una strategia sia redditizia dopo costi di esecuzione e vincoli di rischio.