Test di bias di segno e dimensione di Engle–Ng per i modelli di volatilità

Un modello può catturare il clustering delle dimensioni dei rendimenti e tuttavia non cogliere che shock diversi incidono diversamente sulla varianza futura. Un GARCH simmetrico attribuisce lo stesso effetto a innovazioni positive e negative della stessa dimensione. Se i residui standardizzati mostrano schemi diversi dopo ciascun segno, il vincolo può essere troppo forte per il campione.

Engle e Ng trattano la questione come diagnostica post-stima: il segno o la dimensione dell’innovazione precedente spiega il residuo normalizzato al quadrato di oggi? L’articolo originale definisce la curva di impatto delle notizie e confronta modelli con rendimenti giornalieri di azioni giapponesi. La graduatoria empirica vale per quel campione, non per tutti i mercati (Engle e Ng, 1993).

Qui «bias» indica uno schema residuo relativo al segno o alla dimensione non spiegato dal modello di varianza, non una distorsione statistica dei parametri stimati. Definisci prima un modello GARCH, poi valuta se la risposta agli shock è adeguata per lo scopo e il campione.

Scrivi il rendimento così:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Qui \(\mu_t\) è la media condizionata e \(\epsilon_t\) l’innovazione dopo la stima del modello della media. \(h_t\) è la varianza condizionata stimata; il residuo standardizzato rapporta l’innovazione alla scala di varianza prevista.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

Con una specifica della varianza adeguata, \(\hat z_t^2\) non dovrebbe essere sistematicamente maggiore o minore dopo specifici shock passati oltre quanto spiega il modello mantenuto. La standardizzazione rimuove la scala prevista; i residui grezzi al quadrato possono conservare il normale clustering. Definisci equazione della media, residuo, varianza, campione e unità prima di interpretare un p-value.

Definisci l’indicatore di innovazione precedente negativa e il suo complemento:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

Il regressore del test di segno è \(S^-\); quello di dimensione negativa è \(S^-\hat\epsilon\), quello di dimensione positiva \(S^+\hat\epsilon\). Rispondono a domande diverse: conta solo il segno? La dimensione aggiunge informazioni all’interno di ciascun ramo? Specifica come classifichi un’innovazione pari a zero e le unità, perché i coefficienti di dimensione dipendono dalle unità.

La curva di impatto delle notizie riassume come il modello traduce una nuova innovazione nella successiva varianza condizionata, a parità degli altri stati. La curva del GARCH simmetrico è simmetrica attorno allo zero; le specifiche asimmetriche allentano il vincolo. È una proprietà del modello, non una risposta causale osservata direttamente sul mercato.

\(\mathbf z_{ot}^*\) è il vettore delle derivate normalizzate della varianza condizionata mantenuta rispetto ai parametri di disturbo, valutate sotto l’ipotesi nulla. Sono termini di score/derivata e non coincidono necessariamente con i regressori grezzi della varianza. Le regressioni ausiliarie aggiungono il termine di segno o dimensione conservando questi controlli.

Il test chiede se il segno dell’innovazione precedente aiuta a prevedere il residuo standardizzato al quadrato attuale, mantenendo gli altri termini del modello nullo di varianza. La regressione ausiliaria è:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’ipotesi nulla individuale è \(b_s=0\). Mantenendo gli altri termini, l’indicatore di segno è il termine aggiunto che viene testato. Un coefficiente significativo indica schemi di varianza residua diversi dopo shock negativi e non negativi, condizionatamente al modello stimato.

Non significa che i rendimenti negativi aumentino sempre la volatilità. Il test non identifica un meccanismo causale né tutte le possibili risposte non lineari. Un rifiuto invita a esaminare modello e dati.

Il test si concentra sul ramo negativo e chiede se la dimensione dell’innovazione spiega uno schema residuo:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’ipotesi nulla è \(b_-=0\). Quando l’indicatore vale uno l’innovazione è negativa, quindi il segno del coefficiente dipende dalla convenzione e dalle unità. Il test verifica se la dimensione dello shock aggiunge informazioni oltre il modello di varianza; non dimostra causalità delle cattive notizie né previsioni migliori.

I regressori ausiliari possono essere correlati e rendere difficile separare il contributo di ogni termine. Interpreta i test individuali insieme alla regressione completa e al test congiunto.

Studi correlati confrontano specifiche asimmetriche della varianza come GJR, ma i risultati empirici restano legati ai dati e alle ipotesi di ciascuno studio (Glosten, Jagannathan e Runkle, 1993).

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Il test corrispondente esamina il ramo delle innovazioni positive:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’ipotesi nulla è \(b_+=0\). Il test può essere significativo anche se quello di segno non lo è: la risposta può variare con la dimensione all’interno di un ramo senza una differenza media semplice tra i segni.

«Bias di dimensione positiva» non significa che i rendimenti positivi aumentino o riducano necessariamente la volatilità. EGARCH di Nelson e il modello a soglia di Zakoian consentono dinamiche asimmetriche; sono alternative da valutare, non correzioni automatiche o modelli sempre superiori.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

I tre regressori possono essere testati insieme in un’unica regressione ausiliaria:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’ipotesi nulla congiunta è \(b_1=b_2=b_3=0\). Mantenendo gli altri termini del modello nullo e con le usuali condizioni di grande campione, il test LM si confronta asintoticamente con una chi-quadrato a 3 gradi di libertà. Una forma comune è \(LM=M R^2\), dove \(M\) è il numero di righe usate e \(R^2\) quello della regressione specificata. Segui l’equazione e le regole di campione finito dell’implementazione scelta.

Engle e Ng precisano che omettere \(\mathbf z_{ot}^*\) dalla regressione congiunta rende il test conservativo: la dimensione non supera il livello nominale, ma la potenza può ridursi.

Esempio puramente ipotetico: con \(M=400\) e \(R^2=0.012\), \(LM=4.8\). Il valore critico al 5% della chi-quadrato con 3 gradi di libertà è circa 7.81; qui non si rifiuta. I numeri sono illustrativi, non risultati empirici né prova di simmetria.

Un p-value piccolo motiva l’esame di uno specifico schema residuo, ma non seleziona un modello alternativo e non dimostra un meccanismo di leva causale o valore economico previsionale. Un p-value grande indica solo che il test non ha rilevato lo schema scelto in questo campione.

I regressori ausiliari possono essere correlati, in particolare l’indicatore di segno e il termine di dimensione negativa, riducendo la potenza dei test individuali. Contano anche dimensione del campione, stima e specifica mantenuta. Provare molti asset, modelli, ritardi e finestre aumenta la probabilità di ottenere per caso p-value piccoli.

Valori anomali, salti, rotture strutturali, dinamiche della media omesse o unità incoerenti possono cambiare i risultati. Documenta definizione del rendimento, finestra di stima, convenzione di segno e inferenza; descrivi i limiti dell’approssimazione asintotica e valuta un ricampionamento adeguato.

ARCH LM chiede se residui al quadrato ritardati spiegano il residuo al quadrato corrente; consulta la guida ARCH-LM. Engle–Ng testa termini specifici di segno e dimensione. Ljung–Box esamina l’autocorrelazione dei residui, una domanda diversa.

Dopo un rifiuto puoi stimare GJR-GARCH, EGARCH o un modello a soglia, ricontrollare i residui e valutare separatamente le previsioni. QLIKE ed errore quadratico assegnano punteggi alle previsioni già prodotte; non sostituiscono la diagnostica dei residui.

Se usi una previsione di volatilità in una regola di trading, valutala fuori campione includendo commissioni, spread, impatto di mercato, finanziamento e limiti di rischio. Il test di bias di segno e dimensione non è un segnale di acquisto o vendita.