Il test ARCH-LM: rilevare il clustering della volatilità nei residui finanziari

Il test valuta se l’ampiezza degli shock passati contiene informazioni sulla dispersione attuale dei residui. In concreto, verifica congiuntamente se i quadrati dei residui ritardati fino all’ordine q scelto hanno potere esplicativo. È una diagnostica mirata per una possibile dipendenza della varianza condizionata.

Non stabilisce se il rendimento salirà o scenderà, non individua la causa della dipendenza e non dimostra che uno specifico modello GARCH sia corretto. Un esito significativo non è un segnale di trading. Il lavoro originale di Robert Engle introduce il test per l’eteroschedasticità condizionata: Autoregressive Conditional Heteroscedasticity e la sua lezione Nobel.

Stima un’equazione della media coerente con la definizione dei rendimenti, la frequenza e la domanda di analisi. Può essere una semplice regressione OLS o una specificazione temporale motivata. Poi usa le innovazioni o i residui stimati eₜ e verifica che la dinamica della media sia stata ragionevolmente modellata.

Autocorrelazione, trend o altra dinamica della media omessa possono lasciare nei residui schemi che sembrano dipendenza della varianza. Perciò il test ARCH-LM non sostituisce la verifica dell’equazione della media. La guida ai coefficienti e alle ipotesi OLS tratta la regressione della media; la guida agli errori standard robusti tratta l’inferenza con eteroschedasticità e correlazione seriale.

Regredisci i residui al quadrato su una costante e sui loro q quadrati ritardati:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

L’ipotesi nulla è H₀: a₁ = ... = a_q = 0. In condizioni asintotiche standard, la statistica LM = M × R² è approssimativamente distribuita come una chi-quadrato con q gradi di libertà. M è il numero di righe effettivamente utilizzabili nella regressione ausiliaria dopo l’allineamento dei ritardi; può essere inferiore al numero iniziale di osservazioni.

Scegli q prima del test. La statistica misura l’evidenza congiunta fornita da quei q quadrati ritardati, non la dimensione di un effetto economico. Engle descrive questa costruzione LM nel suo articolo del 1982.

Supponi di scegliere q = 5, ottenere M = 300 righe utilizzabili dopo l’allineamento e R² = 0,018 dalla regressione ausiliaria. Allora LM = M × R² = 300 × 0,018 = 5,4. Il valore critico al 5% della chi-quadrato con cinque gradi di libertà è circa 11,07.

Poiché 5,4 è inferiore a 11,07, in questo esempio interamente ipotetico non si rifiuta H₀ al livello del 5%. Questo non dimostra una varianza costante: un campione breve, bassa potenza o una scelta di q inadeguata possono nascondere schemi rilevanti. I numeri non sono una previsione né descrivono un mercato reale.

Un q piccolo si concentra sui ritardi brevi; uno più grande può rilevare dipendenze più lunghe, ma consuma più gradi di libertà e lascia meno righe dopo l’allineamento. Scegli q in base alla frequenza, alla domanda teorica e alla numerosità disponibile, non cercando a posteriori il p-value più favorevole.

Riporta un ordine principale motivato in anticipo e, se utile, un’analisi di sensibilità circoscritta ad altri valori plausibili di q. Provare molti ordini e pubblicare soltanto quello significativo aumenta il rischio di test multipli. Il risultato dipende anche dall’equazione della media e dal trattamento dei valori estremi.

Il quadrato può dare molto peso a una singola osservazione con residuo molto grande. Rotture strutturali, cambi di regime, code pesanti o dinamica della media omessa possono produrre anch’essi dipendenza nei residui al quadrato. Un esito significativo non distingue fra queste spiegazioni.

Prima di interpretare la dinamica della varianza, controlla timestamp, qualità dei dati, sequenza dei residui ed equazione della media. Con pochi dati l’approssimazione asintotica chi-quadrato può essere imprecisa. Riporta numerosità del campione, q, M, statistica, p-value e assunzioni, invece di limitarti a scrivere «presenza di ARCH».

Il test di McLeod-Li esamina le autocorrelazioni dei residui al quadrato ed è una diagnostica collegata per la dipendenza non lineare. L’articolo originale di McLeod e Li illustra questo approccio. Nessuno dei due test dimostra prevedibilità o identifica la causa dello schema.

ARCH-LM non sostituisce gli errori standard robusti: il test diagnostica uno schema nei quadrati, mentre una covarianza robusta adatta l’incertezza dei coefficienti in determinate condizioni. Non equivale neppure a stimare GARCH. La guida al clustering della volatilità e GARCH descrive modelli di varianza condizionata; ARCH/GARCH è un possibile seguito, non ciò che il test dimostra.

Se la diagnostica suggerisce dipendenza della varianza, puoi valutare ARCH o GARCH come modelli candidati. Dopo la stima, controlla di nuovo i residui standardizzati e i loro quadrati, la stabilità dei parametri e gli errori delle previsioni di varianza fuori campione. Assorbire uno schema nel campione non garantisce previsioni affidabili.

Documenta equazione della media, frequenza dei rendimenti, q, M, LM, R², p-value, periodo, trattamento dei valori estremi e sensibilità. Tieni separati diagnostica, scelta del modello e decisione di trading. Il test ARCH-LM è uno strumento statistico, non una raccomandazione finanziaria o un segnale sulla direzione o redditività di un’operazione.