Il test Ljung–Box per l’autocorrelazione nelle serie storiche

Un grafico delle autocorrelazioni campionarie può mostrare dipendenza a più ritardi, ma esaminare separatamente molti segmenti crea un problema di test multipli. Il test Ljung–Box combina le prime \(h\) autocorrelazioni campionarie in un’unica statistica portmanteau. L’ipotesi nulla è che tutte le autocorrelazioni della popolazione dai ritardi 1 a \(h\) siano zero. L’alternativa è che almeno una differisca da zero.

Box e Pierce svilupparono un test complessivo di cattivo adattamento per modelli di serie storiche stimati. Ljung e Box ne modificarono la statistica per migliorare l’approssimazione in campioni finiti. Portmanteau significa che una statistica riassume le correlazioni di più ritardi; non che sia stata verificata ogni forma di dipendenza temporale.

Per una serie di rendimenti, la domanda può essere se i rendimenti passati con segno lascino dipendenza seriale lineare. Per un modello ARMA stimato, di solito si chiede se resti autocorrelazione nei residui dopo aver utilizzato la struttura dei ritardi specificata. Sono applicazioni collegate ma distinte, quindi identifica la serie sottoposta al test prima di interpretare il risultato.

Sia \(\hat\rho_k\) l’autocorrelazione campionaria al ritardo \(k\), \(n\) il numero di osservazioni usate per calcolarla e \(h\) il ritardo massimo del test. La statistica Box–Pierce è

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

La correzione Ljung–Box assegna a ciascun ritardo un peso basato sulla dimensione campionaria disponibile:

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

Poiché le correlazioni sono elevate al quadrato, aumentano la statistica sia l’autocorrelazione positiva sia quella negativa. A parità di correlazione stimata, la correzione dà più peso ai ritardi con meno coppie di osservazioni disponibili. Nei campioni grandi le due statistiche tendono ad avvicinarsi; nei campioni finiti si usa spesso Ljung–Box perché nello studio originale offriva un’approssimazione migliore per campioni piccoli.

Sotto l’ipotesi nulla di rumore bianco e le condizioni di regolarità del test, \(Q_{LB}\) viene confrontata con una distribuzione chi-quadrato. Per una serie grezza senza parametri dinamici stimati, i gradi di libertà di riferimento sono comunemente \(h\). Per i residui di un modello ARMA(\(p,q\)) stimato, la correzione abituale è \(h-p-q\), se il valore è positivo. La correzione riflette i parametri impiegati per stimare la dinamica residua; non è una regola universale per sottrarre tutti i coefficienti di qualsiasi regressione. Modelli integrati, stagionali, vincolati o altrimenti speciali possono richiedere altre convenzioni. Allinea i gradi di libertà al test residuo e alla definizione software effettivi. Per esempio, testando i residui di un ARMA(2,2) solo fino a \(h=4\), la correzione comune lascia zero gradi di libertà. Il confronto chi-quadrato ordinario non è disponibile: scegli un intervallo di ritardi più lungo e prespecificato oppure una diagnostica adatta al modello, senza forzare un riferimento con zero gradi di libertà. Riporta anche il motivo della scelta dell’orizzonte.

Supponiamo che un modello stimato lasci \(n=250\) residui e che un test prespecificato su cinque ritardi produca autocorrelazioni \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\). Box–Pierce le eleva al quadrato e le somma:

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

Quindi \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\). Applicando i pesi Ljung–Box si ottiene

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

Il calcolo non è ancora un p-value. Se sono residui di un ARMA(1,1), il riferimento comune usa \(h-p-q=5-1-1=3\) gradi di libertà; una serie grezza può usarne cinque secondo la propria ipotesi nulla. La scelta cambia la probabilità di coda superiore. Tutti i numeri sono inventati a scopo illustrativo: non sono dati di mercato osservati né risultati di un modello.

Una statistica piccola indica che le autocorrelazioni al quadrato osservate non sono insolitamente grandi secondo la distribuzione di riferimento scelta. Non dimostra che siano esattamente zero. Una statistica grande è difficile da conciliare con l’ipotesi nulla al livello selezionato. Esamina quali ritardi e caratteristiche del modello contribuiscono, invece di trattare il singolo numero come una diagnosi.

Il limite \(h\) definisce la domanda. Testare solo pochi ritardi brevi può non rilevare una dipendenza più lenta o un pattern settimanale nei dati giornalieri. Estendere il test a molti ritardi può aggiungere stime deboli e rumorose, ridurre la potenza rispetto a uno specifico pattern a breve termine e rendere il risultato sensibile a poche correlazioni di lungo periodo. Un \(h\) elevato lascia anche meno gradi di libertà dopo la correzione ARMA.

Scegli i ritardi in base alla frequenza di campionamento, alla struttura di calendario nota, allo scopo del modello e alla dipendenza che non dovrebbe restare nei residui. Nei dati giornalieri di mercato, un ritardo di sessione non coincide sempre con un giorno di calendario. I dati intraday possono avere effetti dell’ora del giorno e della notte. Un modello stagionale può richiedere ritardi o diagnostiche stagionali; un unico limite generico può nascondere la struttura.

Se provi molti valori di \(h\), trasformazioni, attività o ordini del modello e riporti solo il p-value più basso, la significatività mostrata ignora la ricerca. Dichiara intervallo dei ritardi e regola decisionale prima di interpretare la diagnostica, oppure includi la ricerca più ampia nel piano inferenziale.

Un grafico delle autocorrelazioni include spesso bande approssimative per un singolo ritardo, come \(\pm1.96/\sqrt{n}\). Sotto un semplice modello di rumore bianco possono segnalare una singola correlazione campionaria, ma non costituiscono una banda simultanea al 95% per tutti i ritardi. Osservare molti segmenti separatamente aumenta la probabilità che almeno uno superi la soglia per caso. Ljung–Box pone invece un’unica domanda congiunta sull’insieme prespecificato e usa una distribuzione di riferimento per la statistica combinata.

Una sola autocorrelazione relativamente grande o più autocorrelazioni moderate possono aumentare la statistica congiunta. Dopo il test esamina i termini per ritardo \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) e il grafico ACF. Un segmento fuori da una banda euristica non equivale automaticamente a un risultato portmanteau significativo; inoltre, avere tutti i segmenti dentro le rispettive bande individuali non garantisce che la statistica congiunta sia non significativa.

Applicato ai rendimenti con segno, il test chiede se la loro autocorrelazione lineare fino al ritardo \(h\) sia congiuntamente nulla. Applicato ai residui stimati, chiede se il modello scelto abbia lasciato una dipendenza lineare simile. Un rifiuto può motivare controlli sulla specificazione della media, la tempistica, il calendario di mercato e i grafici dei residui; non identifica quale termine manchi.

La definizione delle osservazioni può creare autocorrelazione anche quando i rendimenti sottostanti di un periodo non sono correlati. Per esempio, un rendimento mobile di cinque sessioni e quello mobile delle cinque sessioni successive condividono quattro rendimenti giornalieri. La sovrapposizione collega meccanicamente osservazioni adiacenti. Ljung–Box può rifiutare correttamente l’ipotesi di autocorrelazione nulla in quella serie costruita, senza dimostrare che fosse prevedibile un rendimento giornaliero non sovrapposto.

Specifica se le osservazioni sono rendimenti giornalieri, rendimenti mobili di più giorni o residui di un modello con esiti sovrapposti. Allinea il calendario delle sessioni, gli orari di chiusura e l’intervallo notturno alla domanda economica. Se servono orizzonti sovrapposti, usa inferenza e distribuzione di riferimento adatte alla costruzione, senza interpretare il risultato come prova di un vantaggio di trading autonomo.

Il clustering della volatilità può esistere anche se i rendimenti con segno hanno poca autocorrelazione. Elevare i residui al quadrato cambia la domanda: l’autocorrelazione dei residui al quadrato o dei residui standardizzati assoluti può indicare dipendenza nella scala dei rendimenti. McLeod e Li studiano le autocorrelazioni dei residui al quadrato come diagnostica della dipendenza non lineare dopo una stima ARMA. Resta una diagnostica, non la prova di un unico modello di volatilità. La guida ARCH-LM tratta più specificamente la dipendenza di tipo ARCH; la guida GARCH illustra la modellazione della varianza condizionale.

Autocorrelazione nulla è una condizione più debole dell’indipendenza. Una serie può avere correlazioni nulle ai ritardi testati e conservare dipendenza attraverso trasformazioni non lineari, varianza condizionale, code o regimi. La statistica Ljung–Box da sola non dice nulla neppure su normalità, stazionarietà, struttura causale o rendimento ottenibile dopo i costi di esecuzione.

La semplice approssimazione chi-quadrato dipende dal modello, dalla costruzione dei residui, dalla dimensione campionaria e dalla stima dei parametri. Se si stima prima un ARMA, le autocorrelazioni residue sono quantità stimate, non correlazioni di innovazioni osservate direttamente. La consueta correzione dei gradi di libertà è una convenzione asintotica pratica, non una garanzia di esattezza in campioni finiti per ogni specifica.

Campioni piccoli, orizzonte lungo, radici AR e MA quasi cancellate, valori anomali, eteroschedasticità condizionale o dipendenza seriale fuori dalla famiglia stimata possono ridurre l’affidabilità dell’approssimazione. Un rifiuto può riflettere una media mal specificata, un problema di qualità dei dati o una distribuzione di riferimento inadatta. Un mancato rifiuto può invece derivare da scarsa potenza o da una scelta dei ritardi che ha escluso la dipendenza d’interesse.

Per modelli complessi o non standard, usa una procedura diagnostica con una distribuzione di riferimento coerente con la stima, oppure valuta la calibrazione con un bootstrap giustificato che ripeta la fase di stima. Ricampionare residui iid non è automaticamente valido se il problema riguarda dipendenza o varianza variabile. Descrivi il ricampionamento e tieni separata la selezione del modello dalla valutazione finale.

Dopo un rifiuto, esamina funzione di autocorrelazione, autocorrelazione parziale se pertinente, tempistica dei residui e contributi dei ritardi a \(Q_{LB}\). Valuta se il pattern è breve, stagionale, dovuto a un termine omesso nella media o concentrato nei residui al quadrato. Una modifica del modello dovrebbe rispondere a una questione di specificazione difendibile e va valutata su dati non usati per sceglierla.

Per una regola di trading, la prevedibilità nel campione non è un vantaggio eseguibile. La previsione a un passo deve essere disponibile prima dell’ordine, sopravvivere a una verifica cronologica fuori campione e considerare spread denaro-lettera, impatto, commissioni, finanziamento, prestito titoli e turnover. Ljung–Box non verifica il rendimento netto di una strategia e non dimostra che un rifiuto persista fuori campione.

Riporta definizione e numero delle osservazioni, serie testata, trasformazioni, ritardo massimo, autocorrelazioni individuali o grafico, variante del test, gradi di libertà di riferimento, statistica, p-value e livello di significatività. Se i dati sono rendimenti finanziari, indica come hai gestito sessioni, valori mancanti, orizzonti sovrapposti e varianza condizionale stimata. Così il lettore può distinguere ciò che il test ha fatto da ciò che rimane da chiarire.

L’articolo del 1970 di Box e Pierce sviluppa la statistica complessiva di autocorrelazione dei residui. L’articolo del 1978 di Ljung e Box propone la correzione per campioni finiti. L’articolo del 1983 di McLeod e Li esamina le autocorrelazioni dei residui al quadrato. Il riferimento NIST Box–Ljung riassume statistica e correzione dei gradi di libertà dei residui. Per altre diagnostiche, consulta le guide ai test del rapporto di varianza, ARCH-LM e clustering della volatilità GARCH.