Rapporto di copertura con filtro di Kalman: regressione dinamica per il pairs trading

Un rapporto di copertura fisso stima un coefficiente su un campione di formazione e poi lo mantiene costante. Un modello dinamico tratta invece l'intercetta e la pendenza come quantità latenti che possono evolvere nel tempo. Il filtro di Kalman le stima ricorsivamente, combinando la stima precedente con le informazioni di una nuova osservazione.

Per due attività candidate, indichiamo con \(y_t\) il logaritmo del prezzo di una e con \(x_t\) quello dell'altra. Una regressione di lungo periodo variabile può essere espressa come \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). Il coefficiente \(\beta_t\) descrive la relazione stimata al tempo \(t\); non equivale automaticamente a un numero di azioni, a una posizione neutrale in dollari o a una legge economica stabile.

Questa applicazione utilizza la ricorsione generale di previsione e aggiornamento di un modello lineare nello spazio di stato. Kalman introdusse il quadro del filtraggio ricorsivo; lavori econometrici successivi lo applicarono a coefficienti di regressione variabili nel tempo. L'uso di uno spread stocastico nel pairs trading è una possibile applicazione, ma le sue ipotesi di trading vanno valutate separatamente dall'algoritmo di filtraggio.

Definiamo il vettore di stato e la riga di osservazione come

\[ \theta_t=\begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

L'equazione di osservazione è \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Indica che il logaritmo del prezzo osservato è collegato all'intercetta latente e al coefficiente di copertura, oltre che al rumore di osservazione. Un punto di partenza comune suppone che entrambi i coefficienti seguano random walk:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

Qui \(Q\) è la covarianza delle variazioni dei coefficienti e \(R\) la varianza del rumore di osservazione. Se \(Q=0\), in questo modello i coefficienti restano fissi; un valore positivo di \(Q\) ne consente la deriva. Sono possibili altre transizioni di stato, ma ognuna implica un'affermazione diversa sul comportamento della relazione.

Questa specifica semplice presuppone disturbi di processo e di osservazione con media zero, non autocorrelati e indipendenti tra loro. Sono ipotesi del modello; le osservazioni dei prezzi non le soddisfano automaticamente.

Alla fine del tempo \(t-1\), il filtro dispone della stima \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) e della covarianza \(P_{t-1|t-1}\). L'equazione di stato con random walk prevede

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

La stima viene riportata in avanti, mentre l'incertezza cresce in base alla covarianza ammessa per le variazioni dei coefficienti. \(P\) descrive l'incertezza sullo stato latente della regressione secondo il modello specificato. Non prevede la perdita di trading della coppia né misura il rischio complessivo del portafoglio.

La previsione a un passo dell'osservazione è \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). Lo stato precedente è importante perché è stato calcolato senza il nuovo \(y_t\). Se invece si calcola un residuo dopo aver aggiornato i coefficienti con la stessa osservazione, l'aggiornamento lo ha già spinto verso zero.

Poiché \(H_t\) contiene \(x_t\), il prezzo esplicativo corrente influenza sia \(S_t\) sia il guadagno. Quando l'incertezza sulla pendenza è rilevante, osservazioni con valori diversi di \(x_t\) possono fornire informazioni diverse su \(\beta_t\), anche se conta anche la covarianza tra intercetta e pendenza. Centrare o riscalare \(x_t\) cambia l'intercetta e le unità del coefficiente: gli elementi corrispondenti di \(Q\) e del valore iniziale di \(P\) devono quindi essere trasformati o ristimati, non copiati senza modifiche.

Quando arriva la nuova osservazione, il suo errore di previsione a un passo, o innovazione, è

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

La varianza dell'innovazione \(S_t\) combina l'incertezza prevista dello stato e il rumore di osservazione. Il guadagno di Kalman e l'aggiornamento dello stato sono

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Il guadagno ripartisce la nuova sorpresa tra una modifica della relazione stimata e il suo trattamento come rumore. Un guadagno maggiore significa che il filtro si adegua di più a quell'osservazione; non significa che la relazione sia più affidabile.

Supponiamo che un filtro ipotetico preveda \(\hat\alpha=2.0\) e \(\hat\beta=1.20\) quando \(x_t=50\), ottenendo \(\hat y=62.0\). Se il valore osservato è \(y_t=62.8\), l'innovazione vale 0.8. Con un guadagno \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), l'intercetta aggiornata è 2.064 e la pendenza è 1.2048. Sono numeri inventati a solo scopo illustrativo: non sono un rapporto di copertura empirico né una prova che lo scostamento si invertirà.

La matrice del rumore di processo \(Q\) stabilisce quanto possono cambiare i coefficienti di regressione da un'osservazione alla successiva. Un \(Q\) maggiore in genere aumenta il guadagno e rende la stima più reattiva. Può seguire prima un cambiamento reale, ma può anche inseguire rumore temporaneo e generare pesi di copertura che cambiano rapidamente. Un \(Q\) molto piccolo produce una stima più regolare, che può però restare indietro rispetto a una vera rottura.

La varianza del rumore di osservazione \(R\) descrive la variazione di \(y_t\) che la relazione non spiega. A parità degli altri valori, un \(R\) maggiore induce il filtro a fidarsi meno di ogni nuova osservazione. Né \(Q\) né \(R\) è una costante di taratura universale. La loro scala dipende dall'uso di prezzi, logaritmi dei prezzi o serie normalizzate, oltre che dall'intervallo di campionamento scelto.

L'analista può stimare i parametri del rumore per massima verosimiglianza oppure fissarli in anticipo usando una finestra di addestramento. Tararli sui risultati del periodo di trading finale introdurrebbe informazioni sull'esito. Contano anche lo stato iniziale \(\hat\theta_{0|0}\) e la sua covarianza \(P_{0|0}\): un'inizializzazione incerta può produrre una fase iniziale di rapido aggiustamento. Riporta l'inizializzazione, il campione usato per stimare i parametri e la sensibilità ad alternative ragionevoli.

Una stima filtrata \(\hat\theta_{t|t}\) utilizza le osservazioni fino al tempo \(t\). Una stima smoothed al tempo \(t\) può utilizzare osservazioni arrivate successivamente. Lo smoothing può aiutare a descrivere stati latenti passati, ma non era disponibile a chi prendeva la decisione di trading in quel momento.

Lo stesso problema di tempistica riguarda la stima di \(Q\), \(R\), la selezione della coppia e le soglie del segnale. Se vengono calibrati una volta sull'intero campione, le stime iniziali beneficiano di osservazioni successive anche quando la ricorsione dei coefficienti procede solo in avanti. Per una simulazione in tempo reale, stima gli iperparametri usando solo un periodo di formazione, congelali oppure aggiornali secondo un calendario walk-forward dichiarato e prendi ogni decisione di posizione usando le informazioni disponibili prima dell'esecuzione.

Il momento dell'osservazione non coincide con quello dell'esecuzione. Se serve il prezzo di chiusura al tempo \(t\) per calcolare \(v_t\), un backtest non può presumere un'esecuzione alla stessa chiusura, a meno che il processo operativo la renda possibile. Usa la prima quotazione eseguibile successiva o un modello di esecuzione difendibile e includi spread, impatto, commissioni, prestito titoli e finanziamento.

In uno studio su coppie, l'innovazione \(v_t\) prima dell'aggiornamento è lo scostamento rispetto alla relazione stimata in precedenza. Dividerla per \(\sqrt{S_t}\) produce un'innovazione standardizzata secondo il modello. Aiuta a confrontare sorprese tra periodi con incertezze stimate diverse, ma non indica quanto comprare o vendere di ciascuna attività né se uno scostamento ampio si invertirà.

Il residuo dopo l'aggiornamento \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) è diverso perché usa l'osservazione corrente per rivedere i coefficienti. Mescolarlo con una soglia definita prima dell'aggiornamento cambia il significato del segnale. Definisci esplicitamente spread, tempistica e soglia, e indica se il coefficiente è previsto, filtrato o smoothed.

Anche quando \(\beta_t\) è stimato sui logaritmi dei prezzi, convertirlo in ordini richiede una regola di posizione separata. I pesi sui log-prezzi non specificano direttamente il numero di azioni o contratti. Prezzi, moltiplicatori dei contratti, valute e vincoli del conto determinano l'esposizione in dollari; l'intercetta non è un'attività negoziabile. Contano anche i costi di ribilanciamento e la deriva dell'esposizione tra un aggiornamento dei coefficienti e l'altro.

Un coefficiente che deriva lentamente può rappresentare una variazione graduale utile, ma può anche assorbire una relazione che si è interrotta. Un modello con stati flessibili può mantenere piccolo il residuo adattato anche quando non esiste un equilibrio stabile di lungo periodo. Il filtro non testa la cointegrazione e non garantisce che il suo residuo sia stazionario.

Anche la scelta della coppia conta. Selezionare, tra molte attività esaminate, la coppia con il residuo in-sample più regolare significa scegliere sui dati usati anche per affermare che la relazione è stabile. Operazioni societarie, prezzi non aggiornati, chiusure asincrone, vincoli alle vendite allo scoperto, cambiamenti di liquidità e di regime possono alterare gli stati stimati o rendere difficile eseguire una copertura teorica.

Oltre alla linea adattata, controlla il comportamento dei residui, l'incertezza dello stato, il turnover e i percorsi dei coefficienti. Usa periodi di riserva in ordine cronologico e confronta la strategia con un rapporto fisso. Dopo costi realistici, una stima più adattabile deve giustificare il turnover e il rischio di stima aggiuntivi; la sola regolarità visiva non dimostra una buona performance.

Specifica quali serie di prezzi o rendimenti vengono modellate, le relative trasformazioni, la frequenza di osservazione, le date del campione e quale attività si trova su ciascun lato della regressione. Riporta equazioni di osservazione e di stato, matrice di transizione, \(Q\), \(R\), inizializzazione, metodo di stima e se gli stati mostrati sono filtrati o smoothed.

Per un risultato di trading, definisci l'innovazione o lo spread usato nel segnale, la normalizzazione, il timestamp decisionale, il ritardo dell'ordine, la dimensione della posizione, la regola di ribilanciamento e tutti i costi di esecuzione. Descrivi la selezione delle coppie, le finestre di addestramento e di test, come vengono ritarati i parametri del rumore e il comportamento della strategia dopo una rottura o un'osservazione mancante. Confronta coefficienti fissi e dinamici sugli stessi intervalli cronologici.

L'articolo di Kalman sul filtraggio lineare sviluppa il quadro ricorsivo. Hatanaka studia le regressioni con alcuni coefficienti variabili nel tempo. Elliott, van der Hoek e Malcolm presentano un modello stocastico per il pairs trading. Per argomenti correlati, consulta le guide su previsione e aggiornamento di Kalman, cointegrazione e correlazione nel pairs trading, test del rango di Johansen e test del rapporto di varianza.