Transformasi Esscher dalam Penetapan Harga Opsi Dijelaskan
Pahami pemiringan eksponensial, pergeseran kumulan, perubahan ukuran Lévy, pemilihan parameter martingale, pasar tidak lengkap, dan pemeriksaan keberadaan
Jawaban langsung
Transformasi Esscher memberi bobot pada hasil x sebesar e^{θx} dan menormalkannya dengan fungsi pembangkit momen. Dalam model aset eksponensial, θ dapat dipilih agar harga yang didiskontokan menjadi martingale di bawah ukuran yang dimiringkan
Pemiringan eksponensial memberi bobot ulang pada hasil
Untuk peubah acak X dengan M(θ) = E[e^{θX}] yang hingga, definisikan dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
θ positif menekankan hasil yang lebih besar dan θ negatif menekankan hasil yang lebih kecil, sedangkan normalisasi membuat bobot baru berjumlah satu
Transformasi ini mengubah probabilitas, bukan hasil yang diamati, dan hanya ada ketika momen eksponensialnya hingga
Fungsi kumulan bergeser secara rapi
Misalkan κ(u) = log E[e^{uX}] pada domain momennya
Di bawah ukuran Esscher, kumulannya adalah κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
Turunan κ_θ di nol memberikan momen yang dimiringkan ketika hingga, sehingga transformasi ini nyaman untuk metode saddlepoint dan perhitungan risiko
Proses memerlukan densitas yang konsisten terhadap waktu
Untuk proses Lévy X_t, proses densitasnya adalah Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Kenaikan stasioner independen membuat Z menjadi martingale positif ketika θ berada dalam domain momen yang valid
Di bawah Q_θ proses tetap merupakan Lévy, tetapi drift dan hukum lompatannya berubah sementara hasil lintasan dan kejadian nol tetap kompatibel
Ukuran Lévy dimiringkan secara eksponensial
Di bawah konvensi yang sesuai, ukuran lompatan berubah dari ν(dx) menjadi ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
Varians Brownian tetap tidak berubah, sedangkan drift menyesuaikan pemiringan Brownian, kompensasi lompatan, dan konvensi pemotongan
Karena itu, membandingkan parameter drift tanpa menyatakan fungsi pemotongan dapat menciptakan perbedaan yang semu
Kondisi martingale memilih parameter penetapan harga
Untuk S_t = S_0e^{X_t} dengan carry r-q, sifat martingale setelah diskonto memerlukan κ_θ(1) = r-q
Secara ekuivalen, selesaikan κ(θ+1) - κ(θ) = r-q ketika kedua momen eksponensial ada
Persamaan itu dapat tidak memiliki solusi, memiliki satu solusi, atau tidak stabil secara numerik di dekat batas momen; pemilihan parameter tidak otomatis
Esscher adalah pilihan dalam pasar tidak lengkap
Risiko lompatan umumnya tidak sepenuhnya terentang, sehingga banyak ukuran martingale ekuivalen dapat memenuhi kondisi tanpa arbitrase
Aturan Esscher memilih salah satunya dengan mempertahankan keluarga model yang dimiringkan secara eksponensial, tetapi tanpa arbitrase saja tidak mengutamakannya dibanding setiap alternatif
Preferensi ekonomi, target kalibrasi, kriteria entropi, tujuan lindung nilai, atau konvensi pasar dapat menyiratkan ukuran yang berbeda
Validasi harus mencakup ekor
Verifikasi domain momen untuk θ dan θ+1, normalisasi densitas, dukungan ekuivalen, kesamaan martingale, dan triplet yang ditransformasikan
Kalibrasi ulang pada berbagai jatuh tempo dan rezim, karena θ yang stabil di dalam sampel dapat menyembunyikan ekstrapolasi ekor yang tidak stabil
Bandingkan harga opsi dan galat lindung nilai di bawah ukuran admissible alternatif untuk menyingkap biaya risiko model dari pilihan Esscher
Pertanyaan umum
Apa itu transformasi Esscher secara sederhana?
Transformasi ini membuat hukum probabilitas baru dengan memberi bobot eksponensial lebih besar pada hasil besar atau kecil, lalu menormalkannya kembali
Bagaimana parameter Esscher dipilih untuk penetapan harga opsi?
Parameter itu biasanya dipilih agar harga aset yang dimodelkan dan didiskontokan menjadi martingale di bawah ukuran yang ditransformasikan
Apakah transformasi Esscher selalu ada?
Tidak. Momen eksponensial yang diperlukan harus hingga, dan persamaan martingalenya dapat tidak memiliki solusi yang admissible
Apakah ukuran martingale Esscher unik?
Parameternya dapat unik di dalam keluarga Esscher, sementara ukuran martingale ekuivalen lainnya tetap dapat ada