Rumus Dynkin untuk Proses Stokastik Dijelaskan

Untuk proses Markov homogen terhadap waktu X, generator L bekerja pada fungsi uji f, bukan langsung pada satu lintasan yang terealisasi

Secara formal, Lf(x) adalah limit waktu pendek dari E_x[f(X_h)] dikurangi f(x), dibagi h

Domainnya penting: limit, kehalusan, dan integrabilitas yang diperlukan bergantung pada proses dan versi teoremanya

Untuk t deterministik, bentuk dasarnya adalah E_x[f(X_t)] = f(x) + E_x[∫₀ᵗ Lf(X_s) ds]

Sisi kiri adalah ekspektasi pada horizon hingga, sedangkan sisi kanan menambahkan nilai awal dengan perubahan lokal yang diharapkan dan terakumulasi

Ini adalah padanan stokastik dari mengintegralkan turunan, tetapi L mencakup efek drift, difusi, dan mungkin lompatan

Di bawah kondisi yang sesuai, t dapat diganti dengan waktu henti τ, seperti saat pertama kali keluar dari suatu wilayah

Kemudian kejadian batas dan pertanyaan waktu mencapai menjadi identitas ekspektasi yang melibatkan generator sebelum τ

Sampling opsional tidak otomatis berlaku: keterbatasan, lokalisasi, integrabilitas seragam, atau hipotesis lain harus membenarkan ekspektasi proses yang dihentikan

Proses M_t = f(X_t) - f(X_0) - ∫₀ᵗ Lf(X_s) ds adalah martingale lokal di bawah kondisi domain yang sesuai

Mengambil ekspektasi yang telah dibenarkan menghapus kenaikan martingale dan menghasilkan rumus Dynkin

Untuk difusi Itô, penerapan rumus Itô mengidentifikasi L dari drift dan kovarians, sehingga kedua hasil tersebut saling melengkapi, bukan bersaing

Fungsi nilai yang didiskontokan dirancang agar tidak memiliki keuntungan yang dapat diprediksi di bawah ukuran penetapan harga ketika kondisi model dan klaim terpenuhi

Penerapan rumus Dynkin pada nilai tersebut membuat residual generator yang relevan lenyap di wilayah kelanjutan

Ini adalah salah satu jalur dari ekspektasi risk-neutral menuju persamaan penetapan harga mundur, dan dari ekspektasi yang dihentikan menuju masalah nilai batas

Memilih f(x) = x, x², atau polinom lain dapat menurunkan persamaan momen ketika suku generator yang dihasilkan tertutup

Memilih fungsi Lyapunov dapat membatasi probabilitas keluar, waktu henti yang diharapkan, atau stabilitas jangka panjang

Rumus ini tidak memilihkan f; wawasan muncul dari pemilihan fungsi yang generatornya menyingkap besaran yang diminati

Fungsi tak berbatas, proses yang meledak, batas tidak teratur, dan waktu henti tak hingga dapat membatalkan langkah ekspektasi yang dilakukan secara serampangan

Proses lompatan menggunakan generator dengan suku integral, sedangkan model yang tidak homogen terhadap waktu menambahkan turunan waktu atau state yang diperluas

Nyatakan proses, domain generator, aturan penghentian, dan kondisi integrabilitas sebelum memperlakukan identitas ini sebagai jalan pintas numerik