Par, Spot और Forward Rate: यील्ड कर्व क्या दिखाता है

बॉन्ड कर्व अलग-अलग भुगतान समय-सारणी और परिपक्वता वाली प्रतिभूतियों की कीमतों या yields से बनाया जाता है। कूपन देने वाले बॉन्ड का बाजार भाव भविष्य के कई cash flows को एक yield-to-maturity संख्या में समेट देता है। Zero-coupon spot rate किसी एक तारीख पर एक भुगतान का मूल्य तय करती है। Forward rate बाद में शुरू होने वाली अवधि की दर बताती है। ये एक ही discounting संबंधों से जुड़ी हैं, लेकिन cash flow के अलग सवालों का सार देती हैं।

स्क्रीन पर “दो साल की yield” लिखा हो तो उसका अर्थ किसी खास दो-वर्षीय Treasury note की yield, fitted par curve से पढ़ा गया constant-maturity point, zero-coupon spot rate, या भविष्य की तारीख से शुरू होने वाली forward rate हो सकता है। केवल maturity label से माप की पहचान नहीं होती। Curve का स्रोत, instrument, compounding convention और यह जांचें कि आंकड़ा मौजूदा प्रतिभूति की yield है, par rate, zero rate या भविष्य की अवधि की दर।

तीन व्यावहारिक सवाल इन शब्दों को अलग करते हैं: किसी खास तारीख पर एक भुगतान को कौन-सी दर discount करती है? कौन-सा कूपन बॉन्ड को par पर कीमत देगा? बाद की अवधि में कौन-सी दर समान शुरुआत और समाप्ति वाले दो निवेश रास्तों को बराबर बनाएगी? ये क्रमशः spot, par और forward के सवाल हैं।

Spot rate, संबंधित maturity के लिए zero-coupon rate भी कहलाती है, उस परिपक्वता पर एक भुगतान को discount करने की दर है। यदि एक काल्पनिक दो-वर्षीय zero-coupon दावा दूसरे वर्ष के अंत में $100 देता है और उसकी annual effective spot rate 4% है, तो इस सरल convention के तहत उसका आज का मूल्य $100 ÷ (1.04)², यानी करीब $92.46 होगा। उस cash flow में बीच के coupon नहीं हैं जिन्हें discount करना पड़े।

Discount factor annualized yield बताए बिना वही संबंध व्यक्त करता है। DF(T) मान लें समय T पर मिलने वाले $1 का आज का मूल्य है। Annual compounding में DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, जहां z(T), वर्षों में T maturity के लिए spot rate है। T पर दिया गया cash flow C, अन्य जोखिमों या conventions के समायोजन से पहले C × DF(T) का मूल्य रखता है। Pricing calculation में discount factor अक्सर अधिक सीधा input होता है, क्योंकि इसे हर तारीख वाले भुगतान पर अलग से लगाया जा सकता है।

Coupon bond के भुगतान कई तारीखों पर होते हैं, इसलिए सामान्यतः हर payment date के लिए discount factor चाहिए। हर coupon को एक ही yield-to-maturity से discount करना केवल स्पष्ट YTM conventions के तहत उपयोगी shortcut है; यह spot curve पर हर cash flow को अलग discount करने जैसा नहीं है। जब curve ढलान वाली हो, cash-flow dates अनियमित हों, या अलग coupon वाले बॉन्ड की अंतिम maturities करीब हों, तब यह अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है।

Par yield वह coupon rate है जो curve के discount factors और मानी गई payment dates के आधार पर किसी काल्पनिक coupon bond का मूल्य उसके face value के बराबर करती है। $100 face value के annual-pay bond में, जिसकी payments वर्ष 1 से T तक हैं, par coupon c यह समीकरण हल करता है: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T)। Semiannual या अनियमित payments में हर coupon period का accrued हिस्सा और उससे मेल खाते discount dates भी समीकरण में आते हैं।

यह परिभाषा par yield को मौजूदा बॉन्ड के coupon और yield-to-maturity से अलग करती है। जारी प्रतिभूति का coupon उसकी शर्तों में तय होता है; उसका market yield कीमत बदलने पर बदलता है। Par yield इसके बजाय curve से निकला वह coupon है जिससे एक काल्पनिक नया बॉन्ड face value पर मूल्यांकित हो। अमेरिकी Treasury अपनी प्रकाशित curve को indicative bid-side quotations से fit की गई par yield curve बताता है, न कि काल्पनिक par bonds के transaction prices की सूची। इसकी विधि market prices को yields में बदलती है, input maturities पर forward rates bootstrap करती है, फिर ऐसी curve interpolate करती है जो कम price error के साथ inputs को दोबारा मूल्यांकित करे। Treasury की methodology इस निर्माण को समझाती है।

समान curve के तहत चुनी हुई maturity पर काल्पनिक coupon securities की तुलना में par yield उपयोगी है। इससे यह नहीं पता चलता कि उसी maturity का कोई मौजूदा बॉन्ड वही coupon देता है; किसी खास बॉन्ड की liquidity, tax treatment, embedded options या settlement details भी इसमें शामिल नहीं हैं। किसी वास्तविक बॉन्ड के लिए उसका actual price, coupon dates, redemption provisions और लागू yield-calculation convention देखें।

Forward rate वह दर है जो आज की कीमतों से भविष्य की अवधि के लिए implied होती है। इसे इस सवाल से निकाला जा सकता है कि समान शुरुआत और समाप्ति तिथियों वाले निवेश के दो रास्ते बराबर terminal amount देने के लिए किस अवधि-दर की मांग करते हैं। सरल annual-compounding, no-arbitrage व्यवस्था में अब से एक साल बाद शुरू होने वाली एक-वर्षीय दर है:

वर्ष 1 से वर्ष 2 की forward rate = [(1 + दो-वर्षीय spot rate)² ÷ (1 + एक-वर्षीय spot rate)] − 1।

यदि दो-वर्षीय spot rate पर दो साल निवेश करने से मिलने वाली रकम, एक साल के लिए एक-वर्षीय spot rate पर निवेश करके दूसरे साल forward rate पर पुनर्निवेश करने से अलग हो, तो सिद्धांततः निवेशक बेहतर रास्ता चुन सकता है। वास्तविक बाजार में उधार और जमा दरें, लेन-देन लागत, collateral, कर, credit quality और instrument conventions इस textbook replication को हर प्रतिभागी के लिए बिल्कुल सटीक नहीं रहने देते। यह सूत्र curve के आंतरिक pricing संबंध को समझने का साफ तरीका है, किसी भी आकार पर कारोबार योग्य दर का वादा नहीं।

उदाहरण के लिए, यदि annual effective एक-वर्षीय spot rate 3% और दो-वर्षीय spot rate 4% है, तो दो-वर्षीय निवेश की रकम (1.04)² = 1.0816 से गुणा होती है। वैकल्पिक रास्ते में पहले वर्ष की रकम 1.03 से गुणा होती है। इसलिए दूसरे वर्ष का implied growth factor 1.0816 ÷ 1.03 = 1.050097, यानी दूसरे वर्ष के लिए करीब 5.01% एक-वर्षीय forward rate है। दो-वर्षीय spot rate 4% है जबकि अंतिम वर्ष की forward rate लगभग 5.01%; ये एक ही curve के अलग माप हैं।

अब एक पूरी तरह काल्पनिक annual-effective zero curve लें: एक-वर्षीय spot rate 3% और दो-वर्षीय spot rate 4%। Discount factors हैं DF(1) = 1 ÷ 1.03 = 0.970874 और DF(2) = 1 ÷ (1.04)² = 0.924556। वर्ष 1 के अंत में मिलने वाले $100 zero-coupon payment का आज का मूल्य करीब $97.09 है; वही $100 वर्ष 2 में मिलने पर आज करीब $92.46 का है। हर spot rate अपनी तारीख पर एक terminal payment discount करती है।

अब देखें कि हर साल के अंत में एक coupon देने वाले दो-वर्षीय $100-face-value bond को ठीक $100 कीमत देने के लिए annual coupon कितना होना चाहिए। समीकरण है $100 = c × 0.970874 + ($100 + c) × 0.924556। हल करने पर c ≈ $3.9803, यानी par coupon rate करीब 3.98% आती है। दो-वर्षीय par yield 4% दो-वर्षीय zero spot rate से थोड़ी कम है, क्योंकि par bond अपनी कुछ कीमत पहले ही वर्ष 1 के अंत में coupon के रूप में देता है और उस coupon को कम एक-वर्षीय spot rate से discount किया जाता है।

वर्ष 1 से वर्ष 2 के लिए implied one-year forward rate ऊपर की गणना के अनुसार करीब 5.01% है। इसलिए तीनों rates अलग सवालों का जवाब देती हैं: 4% वर्ष 2 के अंत में एक भुगतान को discount करती है; 3.98% par पर कीमत वाले काल्पनिक दो-वर्षीय बॉन्ड का coupon है; और 5.01% annual compounding के तहत दूसरे वर्ष की curve-implied rate है। दिखाने के लिए आंकड़े round किए गए हैं; गणना unrounded discount factors से है। ये काल्पनिक inputs हैं, market observation या मौजूदा Treasury quote नहीं।

Forward rate मौजूदा instrument prices से चुनी गई curve और compounding assumptions के तहत गणितीय रूप से implied होती है। यह भविष्य की अवधि में वास्तव में लागू होने वाली short rate जैसी नहीं है। इसे market-implied break-even rate माना जा सकता है या अतिरिक्त assumptions के साथ expected short rates का मोटा signal समझा जा सकता है। इसमें interest-rate, inflation और अन्य जोखिम उठाने का मुआवजा भी शामिल हो सकता है।

Federal Reserve का विश्लेषण forward rate को expected future short rate और term premium का योग बताता है। किसी एक curve से यह सटीक विभाजन सीधे दिखाई नहीं देता; यह model या surveys और term-premium estimates जैसे अतिरिक्त प्रमाण पर निर्भर करता है। Forward spreads पर Federal Reserve की चर्चा बताती है कि implied forward में policy expectations की जानकारी और risk premium दोनों हो सकते हैं। इसलिए अलग horizons और estimation methods से अलग निष्कर्ष निकल सकते हैं।

Forward rate बाजार का उपयोगी संकेत हो, तब भी realized rate अलग हो सकती है। भविष्य के central-bank decisions, inflation, growth, risk appetite और duration की supply या demand बदल सकती है। ऊंची implied forward को इस बात की गारंटी न मानें कि short-term borrowing costs वहां तक पहुंचेंगी, और न ही इसे अकेले trading instruction की तरह लें। Treasury भी चेतावनी देता है कि उसकी par और constant-maturity series देखी गई market conditions बताती हैं; वे भविष्य की दरों का पूर्वानुमान नहीं हैं।

Treasury की दैनिक Constant Maturity Treasury (CMT) rate उसकी fitted par yield curve के एक point से पढ़ी जाती है। यह जरूरी नहीं कि उस ठीक maturity date वाले किसी खास Treasury security की yield हो, और यह zero-coupon spot rate भी नहीं है। Treasury के अनुसार दैनिक par curve हाल में auction हुए securities के indicative bid-side quotations से बनती है, जिन्हें Eastern time के लगभग 3:30 p.m. पर इकट्ठा किया जाता है, और monotone-convex curve method अपनाई जाती है। Points market inputs से बनाए जाते हैं; exact CMT maturity curve reading है, security identifier नहीं।

Treasury यह भी कहता है कि CMT rates semiannual coupon देने वाली securities के bond-equivalent yields हैं। ये simple annualized quotes हैं, effective annual rates या APY नहीं। Treasury convention के तहत 8.00% bond-equivalent yield semiannual compounding के बाद 8.16% effective annual yield के बराबर है। उस CMT table में एजेंसी daily zero-coupon curve प्रकाशित नहीं करती। Treasury Coupon Issues के अलग संसाधन में monthly, quarterly या month-end frequency वाले historical spot, par और forward curve datasets हैं। Treasury का interest-rate FAQ ये भेद स्पष्ट करता है।

Curve बनाने की विधि भी मायने रखती है। Treasury की मौजूदा par curve bootstrapped forward rates पर interpolation procedure इस्तेमाल करती है; दूसरा provider अलग inputs, smoothing या interpolation से थोड़ी अलग curve बना सकता है। इसलिए निकली हुई spot या forward rate curve construction और quote convention पर निर्भर होती है। वह internally consistent और उपयोगी हो सकती है, बिना अलग से trade होने वाली Treasury security हुए।

Promised cash flows का मूल्य निकालने के लिए हर तारीख वाले payment को प्रतिभूति और valuation के अनुकूल curve के discount factors से discount करें। Zero-coupon spot curve हर payment date का time value दिखाने के लिए है; credit, liquidity, tax और option risk के लिए अतिरिक्त adjustments चाहिए हो सकते हैं। हर coupon को एक maturity rate से discount न करें, जब तक जानबूझकर yield-to-maturity method न अपना रहे हों।

Par पर काल्पनिक नई issue के coupon की तुलना के लिए matching par yield और coupon frequency का उपयोग करें। मौजूदा Treasury benchmark की yield बताते समय स्पष्ट करें कि आंकड़ा किसी खास note का yield है या CMT curve point। भविष्य की अवधि के लिए market-implied rate देखने के लिए forward rate लें और उसका start date, end date, compounding और curve source बताएं। Expected short rates और term-premium compensation की तुलना में forward अकेले पर्याप्त नहीं; model या survey measure चाहिए।

इन्हीं भेदों से समझ आता है कि yield-curve chart किसी बॉन्ड की price sensitivity से अलग क्यों दिख सकता है। चुनी maturity पर curve move होने पर bond portfolio की प्रतिक्रिया के लिए key-rate duration और yield-curve risk देखें। Long-term yields में term-premium estimates का योगदान जानने के लिए Treasury term premium और model-based estimates पढ़ें। एक प्रतिभूति के coupon rate, current yield और YTM की तुलना के लिए bond coupon rate बनाम current yield और YTM देखें।

पहले curve का प्रकार और स्रोत लिखें। Input किसी एक security का yield-to-maturity है, Treasury CMT par point, estimated spot rate या forward interval? फिर जांचें कि rate nominal है या real, annual-effective या bond-equivalent, और annual, semiannual या किसी अन्य payment frequency पर आधारित है। Period या compounding conventions अलग हों तो संख्यात्मक तुलना भ्रामक हो सकती है या उलट भी सकती है।

इसके बाद cash flows और dates मिलाएं। Par coupon अनुमानित coupon dates पर निर्भर है; spot discount factor प्रत्येक payment तक के समय पर; forward calculation सटीक start और end periods पर। व्यावहारिक curve में day count, holidays, settlement lag, accrued interest और quoted maturities के बीच interpolation नतीजे को प्रभावित करते हैं। कुछ basis points का अंतर convention या data cutoff से भी हो सकता है, न कि भविष्य को लेकर कोई बड़ा मतभेद।

अंत में curve की गणना और अपने निष्कर्ष को अलग रखें। Par, spot और forward rates कीमतों को संक्षेप में व्यक्त करने के परस्पर जुड़े तरीके हैं, एक-दूसरे के बदले इस्तेमाल होने वाले forecasts नहीं। Curve मौजूदा quotes से implied discounting और maturities के बीच relative pricing दिखा सकती है। वह अकेले भविष्य की policy path नहीं बताती, बॉन्ड को सस्ता या महंगा साबित नहीं करती, और credit spreads, fees और terms के बाद उधारकर्ता वास्तव में कितना चुकाएगा यह नहीं बताती।

स्रोत: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.