HAR-RV मॉडल: दैनिक, साप्ताहिक और मासिक वोलैटिलिटी पूर्वानुमान

रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी का हेटेरोजीनियस ऑटोरिग्रेसिव मॉडल आम तौर पर HAR-RV कहलाता है। यह अलग-अलग लंबाई की अवधियों में समेटे गए हाल के रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी मापों से भविष्य का एक माप अनुमानित करता है। एक प्रचलित दैनिक विनिर्देशन में सबसे हाल का पूरा कारोबारी सत्र, पाँच कारोबारी सत्रों का औसत और 22 सत्रों का औसत होता है। ये रिग्रेशन के इनपुट हैं; यदि लक्ष्य अगला दिन है, तो HAR-RV का पूर्वानुमान अगले दिन का ही है।

रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी की स्थिरता के लिए यह एक पारदर्शी आधार मॉडल है। इसकी जोड़ने वाली संरचना को रैखिक रिग्रेशन से अनुमानित किया जा सकता है और रिटर्न-आधारित GARCH मॉडल से तुलना की जा सकती है। यह पूर्वानुमान का विनिर्देशन है, ट्रेड में कब प्रवेश करना है, कितना जोखिम लेना है या कोई परिसंपत्ति आकर्षक है या नहीं—इसका नियम नहीं।

Corsi का मूल लेख अलग-अलग समय-मान पर वोलैटिलिटी घटकों का योगात्मक क्रम प्रस्तुत करता है। बाज़ार प्रतिभागियों के अलग-अलग समय-क्षितिज इस विचार की प्रेरणा थे, लेकिन रिग्रेशन किसी खास ट्रेडर की पहचान नहीं करता और यह साबित नहीं करता कि किसी समूह ने देखी गई स्थिरता पैदा की। दैनिक, साप्ताहिक और मासिक पदों को पिछली वोलैटिलिटी के सांख्यिकीय सार के रूप में देखें।

पूरे हो चुके सत्र \(t\) के लिए एक सामान्य रियलाइज़्ड वेरिएंस माप, सत्र के भीतर के रिटर्न के वर्गों का योग है:

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

यहाँ \(r_{t,i}\) सत्र के भीतर \(i\)-वें अंतराल का रिटर्न है और \(M\) शामिल अंतरालों की संख्या है। इस योग की इकाई रिटर्न का वर्ग है। यह गाइड जानबूझकर सभी HAR components और forecast examples में इसी squared-return scale का realized variance उपयोग करती है। Corsi (2009) का original HAR-RV इसके बजाय square-root scale के realized-volatility measures उपयोग करता है। दोनों conventions संबंधित हैं, पर इन्हें एक ही regression में नहीं मिलाना चाहिए। Daily, weekly और monthly inputs तथा forecast target को एक ही scale पर रखें। रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी गणना गाइड मापन विकल्प समझाती है।

सैंपलिंग अंतराल, कीमत का स्रोत, बाज़ार सत्र और रातभर के रिटर्न का उपचार तय करते हैं कि \(RV_t\) क्या मापता है। केवल नियमित सत्र के इंट्राडे रिटर्न का योग क्लोज़ से अगले ओपन तक की चाल को अपने आप शामिल नहीं करता। हाई-फ़्रीक्वेंसी सैंपलिंग पर कोटेशन शोर और अन्य मार्केट-माइक्रोस्ट्रक्चर प्रभाव भी पड़ सकते हैं। Hansen और Lunde (2006) ने रियलाइज़्ड वेरिएंस मापन पर ऐसे शोर का असर अध्ययन किया। Andersen, Bollerslev, Diebold और Labys हाई-फ़्रीक्वेंसी अवलोकनों को रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी और कम फ़्रीक्वेंसी के रिटर्न बदलावों से जोड़ते हैं; उनका ढाँचा हर सैंपलिंग नियम को समान नहीं बनाता।

इतिहास, रिग्रेसर और पूर्वानुमान लक्ष्य के लिए एक ही परिभाषा अपनाएँ। पाँच-मिनट के रिटर्न की जगह एक-मिनट के रिटर्न लेना, या नियमित सत्र के बदले क्लोज़-टू-क्लोज़ अवधि मापना, सीरीज़, अनुमानित गुणांक और मूल्यांकित पूर्वानुमान बदल सकता है।

दैनिक माप को \(RV_t^{(d)}=RV_t\) मानें। एक सामान्य तरीके में साप्ताहिक घटक पिछले पाँच पूरे हुए दैनिक मापों का औसत और मासिक घटक पिछले 22 का औसत होता है:

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

5 और 22 से भाग देने पर प्रत्येक विंडो में दैनिक रियलाइज़्ड वेरिएंस का औसत मिलता है। योग लेने पर उस पूरी विंडो का संचयी रियलाइज़्ड वेरिएंस मिलता। किसी स्पष्ट रूप से परिभाषित मॉडल में दोनों चल सकते हैं, बशर्ते सूत्र, लक्ष्य और इकाइयाँ मेल खाएँ।

विंडो एक-दूसरे पर चढ़ती हैं। सबसे नया दैनिक माप साप्ताहिक और मासिक औसत में भी आता है, और साप्ताहिक अवलोकन मासिक विंडो का हिस्सा हैं। इसलिए रिग्रेसर आंशिक रूप से उसी इतिहास का अलग अवधि में सार देते हैं; वे स्वतंत्र माप नहीं हैं और गुणांकों को तीन अलग-अलग क्षितिजों के कारणात्मक प्रभाव नहीं मानना चाहिए।

पाँच और 22 अवलोकन आम तौर पर कारोबारी सत्र होते हैं, कैलेंडर सप्ताह और महीने ज़रूरी नहीं। बाज़ार की छुट्टियाँ, छूटे हुए सत्र या फ़्यूचर्स के अलग कैलेंडर के लिए स्पष्ट नियम चाहिए। परिसंपत्तियों के बीच अनुमान की तुलना से पहले अवलोकन कैलेंडर और अधूरी विंडो का तरीका लिखें।

एक-कदम का बुनियादी दैनिक HAR-RV रिग्रेशन इस प्रकार है:

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

बायाँ पक्ष अगले पूरे हुए सत्र का रियलाइज़्ड वेरिएंस है। सभी पूर्वानुमानक \(t\) सत्र के अंत तक उपलब्ध होते हैं। स्थिर पद \(\beta_0\) और गुणांक \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) पुराने अवलोकनों से अनुमानित होते हैं; \(\varepsilon_{t+1}\) बची हुई रिग्रेशन त्रुटि है।

साधारण न्यूनतम वर्गों में, तय लक्ष्य के लिए नमूने के भीतर पूर्वानुमान त्रुटियों के वर्गों का योग कम करने वाले गुणांक चुने जाते हैं। इससे हर दैनिक लैग के लिए अलग गुणांक लगाए बिना एक संक्षिप्त रैखिक आधार मिलता है। Corsi (2009) HAR-RV की संरचना विकसित करते हैं और अपने डेटा तथा विनिर्देशन के लिए पूर्वानुमान नतीजे बताते हैं। यह किसी दूसरी परिसंपत्ति, अवधि या वोलैटिलिटी माप के लिए वही गुणांक या सटीकता सुनिश्चित नहीं करता।

शोधपत्रों में संकेत-लेखन अलग हो सकता है। कुछ HAR रूप लॉगरिदम, दूसरे रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी अनुमानक, अतिरिक्त लैग या अलग विंडो इस्तेमाल करते हैं। केवल HAR नाम देखकर हर समीकरण को एक जैसा न मानें।

गुणांक अनुमानित होने के बाद अगले सत्र का पॉइंट पूर्वानुमान निकालने के लिए सबसे हाल के दैनिक, साप्ताहिक और मासिक माप रखें। पूर्वानुमान समय पर भविष्य की रिग्रेशन त्रुटि मालूम नहीं होती, इसलिए वह पॉइंट पूर्वानुमान में शामिल नहीं है:

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

एक काल्पनिक गणना में मान लें कि अनुमानित स्थिर पद \(0.10\ \mathrm{bp}^2\) और गुणांक \(0.50\), \(0.30\), \(0.15\) हैं। सबसे नया दैनिक माप \(4\ \mathrm{bp}^2\), पाँच-दिवसीय औसत \(3\ \mathrm{bp}^2\) और 22-दिवसीय औसत \(2\ \mathrm{bp}^2\) हो, तो:

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

ये गणना समझाने के लिए गढ़े गए अंक हैं; वे बाज़ार डेटा, अनुमानित नतीजा या प्रदर्शन का दावा नहीं हैं। यह बताई गई लक्ष्य-परिभाषा और इकाइयों के अनुसार अगले सत्र का पूर्वानुमान है। वर्गमूल लेने पर उसी सत्र के लिए आधार अंकों में वोलैटिलिटी मिलेगी; वार्षिकीकरण के लिए अलग स्पष्ट परंपरा चाहिए।

एक-दिवसीय पूर्वानुमान को नाम बदलकर साप्ताहिक पूर्वानुमान न बनाएँ। भविष्य के सप्ताह में संचयी या औसत रियलाइज़्ड वेरिएंस को लक्ष्य रखने वाला सीधा मॉडल अनुमानित किया जा सकता है। दूसरा विकल्प एक-कदम के पूर्वानुमानों को बार-बार चलाना है, जिसके लिए भविष्य के रिग्रेसर अपडेट करने का स्पष्ट नियम चाहिए। स्कोरिंग से पहले क्षितिज तय करें। <!-- learn:illustration -->

वोलैटिलिटी में कई लैग तक स्थिरता देखी जाती है। लंबा ऑटोरिग्रेशन ऐसी निर्भरता को दर्शा सकता है, लेकिन उसमें कई पैरामीटर चाहिए। HAR-RV इतिहास को कुछ परस्पर-ओवरलैप करते औसतों में समेटता है और कम गुणांकों से लॉन्ग-मैमोरी जैसे अनुभवजन्य पैटर्न फिर बना सकता है।

“लगभग” शब्द महत्वपूर्ण है। Corsi स्पष्ट करते हैं कि HAR-RV मॉडल में वास्तविक लॉन्ग-मैमोरी गुण नहीं हैं, जबकि सिमुलेशन से लॉन्ग-मैमोरी वाली वित्तीय रिटर्न सीरीज़ के कुछ अनुभवजन्य गुण दोहराए जा सकते हैं। इसलिए HAR-RV चुने हुए पैटर्नों का व्यावहारिक सन्निकटन है, न कि ऐसा फ्रैक्शनली इंटीग्रेटेड प्रोसेस जो केवल डेटा की निर्भरता धीरे घटने से बन जाए।

दैनिक, साप्ताहिक और मासिक घटक उन समय-सीमाओं पर सक्रिय निवेशकों की सीधी गणना भी नहीं हैं। अलग-अलग क्षितिज की धारणा इस संरचना की प्रेरणा है, पर रिग्रेशन न निवेशक-समूह पहचानता है, न उनकी मंशा, न कोई कारणात्मक तंत्र।

कीमत में बड़ा जंप भविष्य की वोलैटिलिटी के बारे में ऐसी जानकारी दे सकता है जो कुल वेरिएंस का एक माप छिपा दे। Corsi, Pirino और Reno (2010) थ्रेशोल्ड बाइपावर तरीकों से निरंतर और असतत बदलाव अलग करते हैं और वोलैटिलिटी पूर्वानुमानों में जंप से जुड़ी जानकारी का अध्ययन करते हैं। खासकर जंप के बाद बताई गई सुधार-परिणाम उन्हीं के अनुमानकों, डेटा और अनुभवजन्य डिज़ाइन तक सीमित हैं।

जंप-सचेत HAR विनिर्देशन में निरंतर और जंप-संबंधित माप या उनके लैग वाले योग अलग इनपुट हो सकते हैं। इससे नए विकल्प जुड़ते हैं: जंप कैसे पहचाना जाए, निरंतर घटक कैसे अनुमानित हो और पूर्वानुमान समय पर जंप माप उपलब्ध है या नहीं। “निरंतर” और “जंप” मॉडल के अंतर्गत अनुमानित घटक हैं, त्रुटिरहित विघटन नहीं।

अतिरिक्त पूर्वानुमानक एक नमूने में पूर्वानुमान सुधार सकते हैं और दूसरे में अनुमान का शोर बढ़ा सकते हैं। जंप-विस्तार की तुलना आधार HAR-RV से समान पूर्वानुमान तिथियों, लक्ष्य, क्षितिज और सूचना-समूह पर करें। यह निष्कर्ष न निकालें कि हर जंप अधिक वोलैटिलिटी का संकेत है या विस्तार हर बाज़ार में बेहतर होगा।

HAR-RV के गुणांक अनुमान में प्रयुक्त रियलाइज़्ड वोलैटिलिटी सीरीज़ पर निर्भर हैं। सैंपलिंग अंतराल, सत्र की सीमाएँ, कीमतों की सफ़ाई और छूटे अवलोकनों का उपचार सीरीज़ बदल सकते हैं। साप्ताहिक और मासिक रिग्रेसर इन विकल्पों को विरासत में लेते हैं क्योंकि वे दैनिक मापों के औसत हैं।

पूर्वानुमान समय और लक्ष्य अवधि को अलग रखें। यदि पूर्वानुमान सत्र के बंद होने पर बनाया गया है, तो अगले सत्र का लक्ष्य भी वही परिसंपत्ति, रिटर्न परिभाषा, सत्र कवरेज और इकाइयाँ इस्तेमाल करे जो ऐतिहासिक लक्ष्यों में थीं। यदि माप रातभर के रिटर्न छोड़ता है, तो समायोजन बिना उसे पूरा क्लोज़-टू-क्लोज़ वेरिएंस न कहें। कैलेंडर विंडो, ओवरलैप करते बहु-दिवसीय काल और छुट्टी नियमों की अलग परिभाषा चाहिए।

दूसरे मॉडल से तुलना में भी यही बात लागू है। GARCH का दैनिक कंडीशनल-वेरिएंस पूर्वानुमान और HAR-RV का रियलाइज़्ड-वेरिएंस पूर्वानुमान तभी तुलनीय हैं जब लक्ष्य अवधि और इकाइयाँ मेल खाएँ। MIDAS रिग्रेशन अलग-अलग फ़्रीक्वेंसी के अवलोकनों को दूसरे ढंग से जोड़ता है; वह भी हर पूर्वानुमान समय पर उपलब्ध जानकारी तय करने की आवश्यकता नहीं हटाता।

रियलाइज़्ड वेरिएंस गैर-ऋणात्मक है, लेकिन बिना बाधा वाला रैखिक रिग्रेशन गुणांकों या पूर्वानुमानों को गैर-ऋणात्मक नहीं रखता। इसलिए साधारण न्यूनतम वर्ग फिट नमूने के बाहर ऋणात्मक पूर्वानुमान दे सकता है। लॉग विनिर्देशन या बंधित फिट पॉज़िटिविटी को अलग ढंग से संभालता है, लेकिन मॉडल और गुणांक की व्याख्या बदलता है। पूर्वानुमान पर न्यूनतम सीमा लगाना भी मॉडलिंग विकल्प है; इसे जीतता मॉडल देखने के बाद नहीं, मूल्यांकन से पहले तय करें।

अनुमान नमूने के बाहर पूर्वानुमानों का मूल्यांकन करें और हर मूल समय पर उपलब्ध मान सहेजें। प्रॉक्सी, लक्ष्य, क्षितिज, सत्र कवरेज, इकाइयाँ और साझा मूल्यांकन तिथियाँ एक जैसी रखें। पुनःअनुमान और अपडेट नियम दर्ज करें और स्पष्ट आधार मॉडल से तुलना करें। यदि रियलाइज़्ड माप अपूर्ण प्रॉक्सी है, तो अपेक्षित क्रम लक्ष्य से उसके संबंध और लॉस फ़ंक्शन पर निर्भर करता है। Patton (2011) बताते हैं कि प्रॉक्सी में शोर होने से हर तुलना अपने आप विश्वसनीय नहीं हो जाती। QLIKE और स्क्वेयर्ड-एरर गाइड मूल्यांकन की इन मान्यताओं पर चर्चा करती है।

कम पूर्वानुमान लॉस का मतलब है चुने गए लक्ष्य, प्रॉक्सी, नमूने और लॉस के तहत बेहतर स्कोर। इससे यह साबित नहीं होता कि मॉडल वोलैटिलिटी का कारण है, दैनिक पूर्वानुमान ट्रेडिंग संकेत है, या निष्पादन लागत और जोखिम सीमाओं के बाद रणनीति लाभदायक होगी।