वोलैटिलिटी मॉडल के लिए Engle–Ng sign और size bias tests

मॉडल रिटर्न के आकार की क्लस्टरिंग पकड़ सकता है, फिर भी अलग-अलग शॉक का आगे की variance पर अलग असर छूट सकता है। Symmetric GARCH में समान आकार के positive और negative innovations को एक ही variance प्रभाव मिलता है। यदि standardized residuals में दोनों संकेतों के बाद अलग पैटर्न बचें, तो यह प्रतिबंध नमूने के लिए बहुत कठोर हो सकता है।

Engle और Ng इसे post-fit diagnostic मानते हैं: क्या पिछले innovation का sign या उसके positive/negative branch के भीतर का आकार आज के squared normalized residual को समझाता है? मूल paper news impact curve परिभाषित करता है और दैनिक जापानी शेयर-रिटर्न से volatility models की तुलना करता है। उसका empirical ranking उसी sample तक सीमित है, हर बाजार पर लागू दावा नहीं (Engle और Ng, 1993).

यहाँ “bias” का अर्थ variance model में न समझा गया sign/size pattern है, parameter estimates का statistical bias नहीं। पहले GARCH model स्पष्ट करें और फिर देखें कि उसका shock response इस sample और उद्देश्य के लिए उपयुक्त है या नहीं।

Return को इस रूप में लिखें:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

यहाँ \(\mu_t\) conditional mean और \(\epsilon_t\) mean model fit करने के बाद बचा innovation है। \(h_t\) fitted conditional variance है; standardized residual innovation को model की अनुमानित variance scale से तुलना करता है।

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

यदि variance specification उपयुक्त है, तो model से समझाए गए प्रभाव से आगे किसी खास पुराने shock के बाद \(\hat z_t^2\) नियमित रूप से बड़ा या छोटा नहीं होना चाहिए। Standardization अनुमानित variance scale हटाता है; raw residuals के square में सामान्य volatility clustering बच सकती है। p-value समझने से पहले mean equation, residual, variance, sample और units स्पष्ट करें।

पिछले negative innovation का indicator और उसका complement परिभाषित करें:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

Sign test में \(S^-\), negative-size test में \(S^-\hat\epsilon\), और positive-size test में \(S^+\hat\epsilon\) है। सवाल अलग हैं: क्या केवल sign मायने रखता है, और क्या हर branch में shock size अतिरिक्त जानकारी देता है? शून्य innovation की classification और unit बताएं; size coefficients units पर निर्भर करते हैं।

News impact curve बताती है कि अन्य state inputs स्थिर रखते हुए model नया innovation अगली conditional variance में कैसे बदलता है। Symmetric GARCH curve शून्य के आसपास symmetric होती है; asymmetric specifications यह प्रतिबंध ढीला करती हैं। यह model property है, बाजार में सीधे मापी गई causal response नहीं।

\(\mathbf z_{ot}^*\) शून्य परिकल्पना के अंतर्गत मूल्यांकित, बनाए रखे गए conditional variance के nuisance parameters के सापेक्ष normalized derivatives का vector है। ये score/derivative terms हैं; जरूरी नहीं कि ये मॉडल के raw variance regressors हों। हर auxiliary regression इन terms को बनाए रखते हुए sign या size term जोड़ती है।

Sign test पूछता है कि पिछले innovation का sign आज के squared standardized residual का अनुमान देता है या नहीं। एक सरल auxiliary regression है:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Individual null \(b_s=0\) है। पूर्ण implementation में test procedure के अनुसार maintained model terms रखे जाते हैं और indicator का अतिरिक्त योगदान जाँचा जाता है। Significant coefficient fitted model की शर्त पर negative और nonnegative shocks के बाद अलग residual-variance pattern का प्रमाण है।

इसका अर्थ यह नहीं कि negative returns हमेशा volatility बढ़ाते हैं। Test न causal mechanism पहचानता है, न हर possible nonlinear response. Rejection model और data की जाँच करने का कारण है।

यह test negative branch पर ध्यान देकर पूछता है कि innovation का size बचा हुआ pattern समझाता है या नहीं:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Individual null \(b_-=0\) है। Indicator one होने पर innovation negative होती है, इसलिए coefficient sign को sign convention और units के संदर्भ में समझें। यह test देखता है कि negative shock size fitted variance model से आगे सूचना जोड़ता है या नहीं; bad-news causality या बेहतर forecast सिद्ध नहीं करता।

Auxiliary regressors correlated हो सकते हैं, जिससे हर term का अलग योगदान पहचानना कठिन होता है। Individual results को पूरी test regression और joint test के साथ समझें।

संबंधित शोध GJR जैसे asymmetric variance specifications की तुलना करता है, लेकिन empirical निष्कर्ष हर study के data और assumptions तक सीमित हैं (Glosten, Jagannathan और Runkle, 1993).

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संबंधित test positive innovation branch देखता है:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Null \(b_+=0\) है। Sign test significant न हो फिर भी यह test significant हो सकता है: एक branch के भीतर size के अनुसार response बदल सकता है, बिना दोनों signs के औसत pattern में अंतर के।

“Positive size bias” का अर्थ यह नहीं कि positive returns जरूरी तौर पर volatility बढ़ाते या घटाते हैं। Nelson का EGARCH और Zakoian का threshold model asymmetric variance dynamics की अनुमति देता है; ये जाँचने योग्य विकल्प हैं, स्वचालित सुधार या हमेशा श्रेष्ठ model नहीं।

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

तीनों regressors को एक auxiliary regression में साथ जाँचा जा सकता है:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Joint null \(b_1=b_2=b_3=0\) है। Maintained specification और सामान्य large-sample conditions में joint LM को 3 degrees of freedom वाले chi-square से asymptotically तुलना करते हैं। आम रूप \(LM=M R^2\) है, जहाँ \(M\) उपयोग की गई rows और \(R^2\) निर्दिष्ट regression का है। चुने गए implementation के equation और finite-sample rules का पालन करें।

Engle और Ng के अनुसार joint regression से \(\mathbf z_{ot}^*\) हटाने पर test conservative होता है: उसका size nominal level से अधिक नहीं होता, लेकिन power घट सकती है।

सिर्फ काल्पनिक उदाहरण: \(M=400\) और \(R^2=0.012\) पर \(LM=4.8\)। df=3 chi-square का 5% critical value लगभग 7.81 है, इसलिए यहाँ null reject नहीं होता। ये explanatory numbers हैं, empirical result या symmetry का प्रमाण नहीं।

छोटा p-value चुने हुए residual pattern की जाँच का आधार है, वैकल्पिक model चुनने या causal leverage mechanism अथवा आर्थिक forecast value सिद्ध करने का नहीं। बड़ा p-value सिर्फ बताता है कि इस sample में चुना pattern नहीं मिला।

Auxiliary regressors, खासकर sign indicator और negative-size term, correlated हो सकते हैं और individual tests की power घटा सकते हैं। Sample size, estimation और maintained specification भी मायने रखते हैं। बहुत से assets, models, lags और windows जाँचने से संयोग से छोटा p-value मिलने की संभावना बढ़ती है।

Outliers, jumps, structural breaks, छोड़ी गई mean dynamics या असंगत innovation units नतीजे बदल सकते हैं। Return definition, estimation window, sign convention और inference दर्ज करें; asymptotic approximation की सीमाएँ बताएं और ज़रूरत पर उचित resampling पर विचार करें।

ARCH LM पूछता है कि lagged squared residuals वर्तमान squared residual समझाते हैं या नहीं; ARCH-LM guide देखें। Engle–Ng चुने हुए sign और branch-size terms जाँचता है। Ljung–Box test residual autocorrelation जाँचता है, जो अलग सवाल है।

Rejection के बाद GJR-GARCH, EGARCH या threshold specification estimate करें, residuals फिर देखें और forecasts का अलग मूल्यांकन करें। QLIKE और squared-error loss forecasts बनने के बाद उन्हें score करते हैं; residual specification diagnostic की जगह नहीं लेते।

अगर volatility forecast trading rule में लगे, तो fees, spread, market impact, financing और risk limits के साथ out-of-sample जाँचें। Sign/size bias test buy या sell signal नहीं है।