ARCH LM परीक्षण और अस्थिरता के समूह

किसी संपत्ति के रिटर्न का संकेत अनुमानित करना कठिन हो सकता है, फिर भी बड़े या शांत मूल्य-परिवर्तनों का आकार समय के साथ समूह बना सकता है। ARCH LM परीक्षण पूछता है कि क्या मॉडल के नवाचारों के वर्ग अपने लैग किए गए मानों से जुड़े हैं; चुने गए q क्रम तक यह ARCH-जैसी निर्भरता के अनुरूप है।

रॉबर्ट Engle ने समय के साथ बदलने वाले सशर्त विचरण पर अपने काम में यह परीक्षण प्रस्तुत किया। 1982 का मूल शोधपत्र और ARCH पर उनका नोबेल व्याख्यान देखें। यह प्रक्रिया रिटर्न की दिशा नहीं जाँचती, निर्भरता का कारण नहीं बताती, किसी खास GARCH मॉडल को सही सिद्ध नहीं करती और ट्रेडिंग संकेत नहीं बनाती।

पहले रिटर्न के औसत के लिए उपयुक्त समीकरण का अनुमान लगाएँ, फिर उसके अवशेष या नवाचार e_t निकालें। निदान इस बात पर निर्भर है कि ये अवशेष उन अप्रत्याशित हिस्सों को उचित रूप से दर्शाते हों जिन्हें औसत समीकरण ने नहीं समझाया।

यदि औसत की गतिशीलता या जरूरी चर छूट जाएँ, तो अवशेषों में संरचना बची रह सकती है और उसे गलती से विचरण-निर्भरता समझा जा सकता है। यह परीक्षण चुने गए औसत मॉडल के बाद अवशेषों का निदान करता है; यह OLS प्रतिगमन समझाने का विकल्प नहीं। समीकरण और मान्यताओं के लिए OLS प्रतिगमन मार्गदर्शिका देखें।

औसत समीकरण का अनुमान लगाने के बाद अवशेषों के वर्ग को एक स्थिरांक और उनके लैग किए गए वर्गों पर प्रतिगमित करें। समीकरण है:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

शून्य परिकल्पना H0: a_1 = ... = a_q = 0 है; यानी इस सहायक प्रतिगमन और चुने गए q क्रम में लैग किए गए नवाचारों के वर्ग का संयुक्त रैखिक योगदान नहीं है। वैकल्पिक परिकल्पना में कम-से-कम एक गुणांक शून्य नहीं होता।

सामान्य बड़े-नमूने की शर्तों के तहत लैग्रांज मल्टिप्लायर सांख्यिकी LM=M*R^2 लगभग χ²(q) वितरण का पालन करती है। यहाँ M लैग संरेखण के बाद सहायक प्रतिगमन में उपयोग योग्य पंक्तियों की संख्या है; यह मूल नमूने में पंक्तियों की संख्या से अलग हो सकती है।

मान लें कि पूरी तरह काल्पनिक उदाहरण में q=5, M=300 और R²=0.018 है। तब LM=5.4 होगा। 5% स्तर पर χ²(5) का अनुमानित क्रांतिक मान करीब 11.07 है, इसलिए इस उदाहरण में 5% पर H0 को अस्वीकार नहीं किया जाता।

अस्वीकार न करने का अर्थ है कि इस नमूने और विनिर्देशन में चुने गए स्तर पर शून्य परिकल्पना के विरुद्ध पर्याप्त प्रमाण नहीं मिला। इससे स्थिर विचरण सिद्ध नहीं होता, किसी अन्य क्रम पर निर्भरता खारिज नहीं होती और भविष्य के रिटर्न का पूर्वानुमान नहीं मिलता।

q तय करता है कि कितने लैग जाँचे जाएँगे। छोटा क्रम धीमी निर्भरता छोड़ सकता है; बड़ा क्रम लैग संरेखण के कारण उपयोग योग्य पंक्तियाँ घटाता है और अधिक गुणांक जोड़ता है, जिससे सीमित नमूने में परिणाम कम स्थिर हो सकता है।

डेटा की आवृत्ति और विश्लेषण के सवाल के अनुसार q चुनें और उसका कारण दर्ज करें। सबसे छोटा p-value देने वाला क्रम चुनने के बजाय कुछ उचित क्रमों पर परिणाम की संवेदनशीलता दिखाएँ। बहुत से क्रम जाँचकर सिर्फ एक परिणाम बताने से अनेक परीक्षणों की समस्या भी पैदा होती है।

McLeod–Li परीक्षण कई लैग पर अवशेषों के वर्ग का स्व-सहसंबंध देखता है; McLeod और Li का शोध देखें। यह त्रुटि के आकार में निर्भरता की दूसरी जाँच है, रिटर्न की दिशा अनुमानित होने का प्रमाण नहीं।

परीक्षण बनाने के तरीके, लैग क्रम और नमूने के आकार के कारण परिणाम अलग हो सकते हैं। इनमें से कोई अकेला परीक्षण निर्भरता का कारण नहीं बताता और न यह सिद्ध करता है कि पैटर्न आर्थिक है, मापन की समस्या या व्यवस्था में बदलाव का परिणाम नहीं।

छूटी हुई औसत-गतिशीलता, चरम मान, संरचनात्मक विराम, भारी पूँछ या छोटा नमूना बड़े-नमूने के सन्निकटन पर निर्भर परीक्षण को प्रभावित कर सकते हैं। नमूना-अवधि या लैग क्रम बदलने पर परिणाम भी बदल सकता है।

डेटा के समय-चिह्न, औसत समीकरण के अवशेष और अलग-अलग अवधियों में स्थिरता जाँचें; नमूना, क्रम और परीक्षण स्तर बताएँ। यदि कई क्रमों या मॉडलों की तुलना की है, तो उसका उल्लेख करें; एक अकेला p-value पूरी खोज-प्रक्रिया की अनिश्चितता नहीं समेटता।

अवशेषों के वर्ग में निर्भरता का प्रमाण मिले तो सशर्त विचरण मॉडल करने के लिए ARCH या GARCH उम्मीदवार हो सकता है। लेकिन परीक्षण किसी मॉडल का चयन नहीं करता। अस्थिरता के समूह और GARCH मार्गदर्शिका देखें, फिर नए मॉडल के अवशेष और नमूने से बाहर के विचरण पूर्वानुमान जाँचें।

ARCH LM परीक्षण प्रतिगमन गुणांकों के अनुमान में मानक त्रुटि नहीं चुनता; यह सशर्त विचरण की संरचना से अलग सवाल है। गुणांकों के सहप्रसरण अनुमान के लिए मजबूत मानक त्रुटियों की मार्गदर्शिका देखें।