वित्त में Cameron–Martin Theorem: admissible path shifts

Nondegenerate Gaussian vector को किसी fixed finite vector से shift करने पर भी original Gaussian law के साथ equivalent density रहती है

Likelihood ratio shift और observed vector से जुड़ी exponential expression होती है

Wiener measure infinite-dimensional path space पर रहती है, जहाँ हर deterministic path translation harmless नहीं रहती

[0,T] पर Brownian motion के लिए Cameron–Martin path h zero से शुरू होती है और absolutely continuous होती है

उसका derivative h′ square-integrable होना चाहिए, जिससे finite energy ∫₀ᵀ|h′(t)|²dt मिलती है

ये paths Hilbert space बनाती हैं, भले typical Brownian sample path स्वयं उस space में न हो

यदि h Cameron–Martin space में है, तो W और W+h के laws mutually absolutely continuous होते हैं

उनका Radon–Nikodym density h′ against W के exponential linear term और negative half-energy correction से बनता है

Equivalence का अर्थ है कि दोनों laws किन events को probability zero देते हैं यह समान है, यह नहीं कि उन events की probabilities समान रहेंगी

यदि deterministic translation में required finite energy नहीं है, तो translated और original Wiener measures सामान्यतः mutually singular होती हैं

तब प्रत्येक measure ऐसे set पर concentrate करती है जिसे दूसरी null मानती है, जो finite-dimensional Gaussian में नहीं होता

यह sharp boundary theorem का central message है, केवल admissible likelihood ratio का formula नहीं

Cameron–Martin deterministic translations पर लागू होती है, जबकि Girsanov suitably adapted random drift changes की अनुमति देती है

दोनों exponential densities और square-integrability ideas इस्तेमाल करती हैं, लेकिन Girsanov को stated conditions में valid density martingale भी चाहिए

हर drift change को Cameron–Martin कहना fixed geometric translation और stochastic measure change का अंतर छिपा देता है

Risk-neutral drift changes, likelihood-ratio sensitivities, importance sampling और Gaussian rate models related path-space reweighting पर निर्भर हैं

चुना हुआ shift rare payoff regions को simulate करना आसान बना सकता है और density resulting sample average को correct करती है

Malliavin methods भी path-dependent functionals और Greeks के estimators के derivatives define करने के लिए Cameron–Martin directions इस्तेमाल करती हैं

Theorem Gaussian measure geometry के बारे में है; यह market completeness, no arbitrage या empirical Brownian dynamics सिद्ध नहीं करती

Mathematically valid shift simulation weights को unstable बना सकती है या jumps, stochastic volatility और trading frictions को ignore कर सकती है

Computational use से पहले path space, covariance, density convention, integrability और estimator variance जाँचें