חצי שונות ממומשת: מדידה נפרדת של תנודתיות כלפי מעלה וכלפי מטה

נסמן ב-\(r_i\) תשואות לוגריתמיות תוך-יומיות שנצפו בפרק זמן קבוע אחד. שונות ממומשת היא סכום ריבועי התשואות, \(RV=\sum_i r_i^2\). הריבוע הופך עליות וירידות לחיוביות ומעניק משקל גדול יותר לתנועות גדולות. המדד מודד את השונות שהצטברה בפרק הזמן, אך אינו אומר אם הגיעה מתנועה כלפי מעלה או כלפי מטה.

חצי שונות ממומשת שומרת את סימן התשואה לפני הריבוע. הרכיב החיובי כולל ריבועים של תשואות מעל אפס, והשלילי כולל ריבועים של תשואות מתחת לאפס. אם משתמשים באותן תצפיות ובאותה מוסכמה, סכומם שווה לשונות הממומשת. תשואה אפסית אינה תורמת לאף צד. זו זהות חשבונית, לא ראיה לכך שכל רכיב הוא מקור סיבתי עצמאי לסיכון.

הפיצול מועיל כשהמחקר עוסק בשונות לפי כיוון, למשל בשאלה האם שונות מתשואות שליליות בעבר מכילה מידע שונה על תנודתיות עתידית לעומת שונות מתשואות חיוביות בעבר. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock ו-Shephard הציגו חצי שונות ממומשת כמדד בתדירות גבוהה לשונות בצד השלילי. נייר העבודה שלהם מפתח את הקשר שלה לווריאציה ריבועית ולקפיצות שליליות.

עבור תשואות \(r_1,\ldots,r_n\), נגדיר:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

כאשר \(\mathbf{1}(\cdot)\) שווה לאחת אם התנאי מתקיים ולאפס אחרת. לכן:

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

במאמרים שונים משתמשים לעיתים בתוויות או בחזקות שונות, ולכן בדוח יש לציין איזה איבר מתייחס לתשואות חיוביות ואיזה לשליליות. הנוסחה כאן משתמשת בתשואות שאינן ממורכזות ביחס לאפס: היא אינה מפחיתה ממוצע מדגם, תשואת יעד או ריבית חסרת סיכון. חצי שונות מדגמית סביב יעד או ממוצע היא מדד אחר.

היחידות הן יחידות התשואה בריבוע. אם התשואות בנקודות בסיס, כל רכיב הוא ב-\(\text{bp}^2\); ואם משתמשים בתשואות לוגריתמיות עשרוניות, היחידה היא תשואה עשרונית בריבוע. המרה מתשואות באחוזים לנקודות בסיס מכפילה פי 10,000 את הערך המספרי של המדד הריבועי, ולכן יש לציין את היחידה לצד המספר.

נניח שבסשן היפותטי נרשמו שש תשואות בנקודות בסיס:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

התשואות החיוביות תורמות \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). השליליות תורמות \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). התשואה האפסית אינה תורמת. לכן השונות הממומשת היא

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

בדוגמה הקטנה הזו החלק השלילי הוא \(21/34\), כ-61.8%, והחלק החיובי כ-38.2%. אלה חלקים מסכום מומצא, לא הסתברויות להפסד עתידי או אומדנים לאסימטריה יציבה לאורך זמן. שש תשואות אינן מספיקות להסקה סטטיסטית. החישוב נועד לבדוק את ההגדרות בלבד.

המדריך לשונות ממומשת עוסק בסכום הלא מפוצל של ריבועי תשואות. המדריך לווריאציה דו-חזקה עונה על שאלה אחרת: אומדן שונות רציפה כשייתכנו קפיצות נדירות. אפשר לחקור יחד חצי שונות כיוונית ומדד עמיד לקפיצות, אך האחד אינו מחליף את האחר.

אם הלוגריתם של המחיר החבוי עוקב אחר חצי-מרטינגל רציף והדגימה נעשית צפופה יותר ויותר תחת תנאי הסדירות המתאימים, חצאי השונות של התשואות החיוביות והשליליות מתכנסים כל אחד למחצית הווריאציה הריבועית הרציפה. במצב זה, שני הסכומים במדגם סופי יכולים להיות שונים אף שאין לשונות הרציפה הבסיסית פיצול כיווני מתמשך; אקראיות הדגימה חשובה.

כאשר יש קפיצות, ריבוע גודל הקפיצה משויך לרכיב החיובי או השלילי לפי הסימן שלה. כך נשמר מידע ששונות ממומשת כוללת מאבדת, אך אין פירוש הדבר שכל תשואה שלילית היא קפיצה או שכל תשואה חיובית אינה מזיקה. גם תנועה רציפה גדולה וגם קפיצה יכולות ליצור תשואה בריבוע גדולה. הסימן מסווג את התוספת הנצפית, לא את הסיבה הכלכלית שלה.

האיור הרעיוני שלהלן מציג את התוספות החיוביות והשליליות בשתי קבוצות חזותיות. זה אינו תרשים נתונים או תוצאת בדיקה, ואין כאן טענה להטיה כיוונית מתמשכת בתהליך הבסיסי.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

אפשר להשתמש בחצאי שונות ממומשת כמנבאים נפרדים במודל לתנודתיות עתידית. במחקרם על S&P 500 ועל מניות בודדות, Patton ו-Sheppard מצאו שבמדגמים ובמפרטים שלהם שונות מתשואות שליליות בעבר הייתה קשורה לתנודתיות עתידית בעוצמה רבה יותר משונות מתשואות חיוביות. זו תוצאה אמפירית לתכנון המחקר שלהם, לא חוק אוניברסלי של השוק או הבטחה שאסטרטגיה חדשה תנבא היטב.

כדי לטעון ליכולת חיזוי, צריך להגדיר יעד ואופק, לבחור מדד השוואה מתאים ולבדוק מחוץ למדגם. ההבדל בין \(RS^-\) ל-\(RS^+\) ביום אחד הוא תיאורי ואינו מוכיח כוח ניבוי. ייתכן שהרגרסיה תצטרך להתחשב גם בהתמדת תנודתיות, באופקים חופפים, באי-ודאות של פרמטרים ובבחירת נתונים. יש להעריך שגיאות חיזוי בפונקציית הפסד שמתאימה להחלטה.

כהרחבה רב-משתנית, Bollerslev, Li, Patton ו-Quaedvlieg מפתחים חצאי-קווריאנציה ממומשת שמפרקת קווריאנציה ממומשת לפי הסימנים של זוגות תשואות בתדירות גבוהה. מאמרם ב-Econometrica מסביר מדוע רכיבים בעלי סימנים זהים ומעורבים עשויים להכיל מידע שונה. הפיצול החד-משתני לחיובי ושלילי פשוט יותר, ואין להציגו כפירוק מלא של קווריאנציה או סיכון תיק.

המונח „חצי שונות שלילית” משמש ליותר מהגדרה אחת. המדד הממומש כאן מעלה בריבוע תשואות בתדירות גבוהה שמתחת לאפס. מדד שלילי המבוסס על יעד מעלה בריבוע תשואות שמתחת לסף מוגדר, לרוב תשואת יעד או תשואה מזערית מקובלת. חישוב מדגמי עשוי למרכז תצפיות גם סביב הממוצע. ההגדרות האלה עונות על שאלות שונות ועשויות להניב ערכים שונים מאותה סדרת תשואות.

אף אחת מחצאי השונות הממומשת אינה Value-at-Risk או Expected Shortfall. VaR מתאר קוונטיל של התפלגות הפסד ואופק מוגדרים; Expected Shortfall מסכם הפסדים מעבר לקוונטיל לפי מוסכמה מסוימת. סכום ריבועי תשואות שליליות תוך-יומיות אינו מתפרש באף אחת מהדרכים האלה. הוא גם אינו מדד מלא לירידה מצטברת, שתלויה בסדר ובמסלול התשואות.

אם תרשים או מודל מכנים את \(RS^-\) „סיכון שלילי”, הגדירו את המונח ממש לידו. ציינו אם התשואות נמדדות מאפס או מיעד, באיזו תדירות נדגמו, והאם מדובר במדד לפרק זמן, בקלט לחיזוי או במדד תיק. מדריך תנודתיות GARCH דן בדינמיקת שונות מותנית, ואילו חצי שונות ממומשת מספקת מדידה כיוונית בתדירות גבוהה שעשויה לשמש קלט.

הפיצול לפי סימן תלוי בסדרת התשואות הנצפית. דגימה בתדירות גבוהה יותר עלולה להוסיף bounce של bid–ask, בדידוּת מחירים, ציטוטים מיושנים והשפעות של חותמות זמן. שינוי קטן במחיר שנרשם עשוי להחליף סימן כאשר משנים את proxy המחיר או את רשת הדגימה. לכן רעש מיקרו-מבני יכול לשנות הן את הגודל בריבוע והן את הצד שאליו משויכת התשואה. הזהות \(RV=RS^++RS^-\) עדיין מתקיימת בסדרה שנבחרה, אך אינה מאמתת את תכנון הדגימה.

להשוואה עמידה, תעדו את שדה המחיר, מרווח הדגימה, גבולות הסשן, הטיפול בתשואות אפס, כללי חריגים והאם התשואות בין נכסים מסונכרנות. בדקו רגישות לבחירות דגימה שניתן להגן עליהן. אם זיהוי קפיצות או עמידות לרעש הם השאלה המרכזית, השתמשו באומד או במבחן שתוכננו לכך במקום לפרש את פיצול הסימן כתיקון. מדריך Two-Scale Realized Volatility מסביר חלופה אחת לתיקון רעש.

הסקה סטטיסטית דורשת גם התפלגות דגימה או תכנון דגימה מחדש מתאים. הרכיבים החיובי והשלילי נוצרים מאותו מסלול ולכן עשויים להיות תלויים. חלונות חופפים יכולים להוסיף תלות. רווח סמך או השוואת תחזיות צריכים להתאים למאפיינים האלה; השוואה בין שני אומדנים נקודתיים אינה בוחנת לבדה אם התפקידים החיזויים שלהם שונים.

דוח ברור מציין את סדרת התשואות של הנכס או התיק, חלון התצפית, הגדרת התשואה, רשת הדגימה והיחידות. הוא מציג את הנוסחאות של \(RS^+\) ושל \(RS^-\), מאשר שסכומן משחזר את השונות הממומשת ומסביר כיצד טופלו אפסים ותצפיות חסרות. אם המדד נכנס למודל חיזוי, יש לדווח גם על אופק החיזוי, מדד ההשוואה, תקופת ההערכה ופונקציית ההפסד.

אל תמירו חצי שונות ממומשת לתנודתיות שנתית בלי לציין את הנחות הצבירה. אפשר לחבר חצאי שונות יומיים לסכום שנתי תיאורי לפי מוסכמה נבחרת, אך השורש שלו אינו אוטומטית סטיית תקן שלילית שהתפלגותה ידועה. שנתון אינו מתקן נתוני מחיר מוטים, דגימה דלילה או הטיות בחירה.

השימוש העיקרי הוא מדידה ממושמעת: שמירת הכיוון של כל תשואה נצפית לצד המשקל הריבועי המשמש בשונות ממומשת. התוצאה עשויה לחשוף דפוס ששווה לבדוק. היא אינה מזהה לבדה את הסיבה, מודדת הסתברות זנב או הופכת אסימטריה היסטורית לאות מסחר.