משוואות קולמוגורוב קדימה ואחורה: הסבר

תהליך מרקוב משתמש באופרטור מעבר P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] כדי למפות פונקציה עתידית אל המצב הנוכחי

יחס צ'פמן–קולמוגורוב P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} אומר שהכנסת זמן ביניים אינה משנה את המעבר

משוואות קדימה ולאחור הן נקודות מבט דיפרנציאליות של אותה חבורה למחצה או אותה משפחת אבולוציה דו־פרמטרית

עבור dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t, הגנרטור הוא L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ כאשר a = σ²

הוא פועל על פונקציות מבחן של המצב ומסכם את השינוי המותנה המיידי שלהן

הגנרטור תלוי בתהליך, במרחב המצבים, בתחום ובתנאי השפה; ביטוי דיפרנציאלי פורמלי לבדו אינו שלם

עבור פונקציית סיום g, הגדֵר u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] כאשר s ≤ t

בתנאים של רגולריות מתאימה, u מקיימת ∂_s u + L_su = 0 ותנאי סיום u(t,x) = g(x)

היא נקראת לאחור משום שפונקציית הקצה קבועה וזמן ההתניה s נע לעבר ההווה

הצמוד L_t† מוגדר דרך ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx לאחר טיפול באיברי שפה

עבור דיפוזיה חד־ממדית, L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

הצמוד מעביר את הגנרטור מפונקציות מבחן לצפיפויות, תוך היפוך נגזרות כאשר אינטגרציה בחלקים דורשת זאת

אם ρ(t,x) היא צפיפות המצב, היא מקיימת ∂_tρ = L_t†ρ מן ההתפלגות ההתחלתית שלה

אותה משוואה, כאשר היא מופעלת על צפיפות מעבר, מפתחת את משתנה היעד תוך קיבוע נקודת ההתחלה

נרמול, אי־שליליות, שטף ותנאי שפה קובעים אם פתרון פורמלי הוא חוק הסתברות תקף

תמחור נגזרים פותר בדרך כלל משוואה לאחור מתשלום סיום, כאשר היוון מוסיף איבר קטלני

חיזוי התפלגות, פרופילי חשיפה, כיול צפיפות וחישובי סיכון מסוימים פותרים את המשוואה קדימה מחוק המצב של היום

שתי התוצאות צריכות להסכים דרך אינטגרציה: ערך לאחור שווה לתשלום העתידי באינטגרציה מול צפיפות מעבר קדימה

שפות בולעות, משקפות, נכנסות ושאינן נגישות מטילות תנאים שונים על ערך ועל שטף הסתברות

בדוק שימור או אובדן מסה מכוון, חיוביות, נתוני סיום והתחלה, דיסקרטיזציה צמודה והתכנסות כאשר הרשתות מתרחבות

אומדן מונטה־קרלו שמומש באופן בלתי תלוי יכול לחשוף שגיאות סימן, סחף, שפה וכיוון זמן בכל אחד מפותרי ה־PDE