הסבר על נוסחת Feynman–Kac לתמחור אופציות

נניח dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s, ונגדיר את הגנרטור שלו Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ

הגנרטור מסכם את השינוי המותנה האינפיניטסימלי של פונקציות חלקות במצב

הוא מקשר בין מודל המסלול לבין משוואה דיפרנציאלית בלי לטעון שלמסלול שאינו גזיר בשום מקום יש נגזרת רגילה

נבחן ∂_t u + Lu - r u + f = 0 עם ערך סיום u(T,x) = g(x)

כאן g היא תמורה בסיום, r היא שיעור הרג או היוון, ו־f הוא מקור רציף שסימנו נקבע לפי מוסכמת ה־PDE שצוינה

מכיוון שנתוני הסיום ידועים ב־T, התמחור נעשה לאחור אף על פי שדיפוזיית המצב מתפתחת קדימה

בתנאי רגולריות ואינטגרביליות, u(t,x) שווה לתוחלת המותנית של g(X_T) מהוון בתוספת f מצטבר ומהוון

עם D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), הייצוג הוא E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]

החלת נוסחת Itô על D_{t,s}u(s,X_s) הופכת את הסחף שלו למינוס איבר המקור, וזה נותן את הזהות לאחר לקיחת תוחלות

ריבית קצרה קבועה נותנת את הגורם המוכר e^{-r(T-t)}, אך שיעורים התלויים במצב דורשים אינטגרל לאורך המסלול

דיבידנדים, קופונים, עלויות או איברי מקור רציפים נכנסים דרך אינטגרל הזמן, במקום להסתתר בתוך תמורת הסיום

שינוי סימנים ב־PDE משנה את הייצוג, לכן העתיקו את האופרטור, תנאי הסיום וכיוון הזמן כחבילה אחת

תחת מידת תמחור תקפה, הדינמיקה המהוונת של הנכס הנסחר קובעת את L, וערך הנגזרת פותר את PDE התמחור המתאימה

עבור תביעה אירופית ללא תשלומים רציפים, המחיר הוא התוחלת המותנית של תמורת הסיום שלה כשהיא מהוונת

Black–Scholes הוא מופע אחד של הגשר הזה, לא ההגדרה של Feynman–Kac ולא ראיה שכל שוק הוא שלם

הפרשים סופיים פותרים את המשוואה לאחור על סריג, ואילו Monte Carlo אומדת את תוחלת המסלול קדימה

התאמה בין מימושים בלתי־תלויים היא בדיקה חזקה לסימנים, להיוון, לתנאי גבול ולשגיאת דגימה

בחרו בשיטות PDE עבור משטחים וגבולות בעלי ממד נמוך; בחרו בסימולציה כאשר מצבים או פונקציונלים של מסלול הופכים סריגים ליקרים

ניסוחים קלאסיים דורשים תנאים על מקדמים, גידול, רגולריות, אינטגרביליות ויחידות; גרסאות חלשות של viscosity מרחיבות את התחום

מימוש אמריקאי יוצר בעיית מכשול או אי־שוויון וריאציוני, ובעיות מימון או בקרה לא־ליניאריות אינן מתאימות לנוסחה הליניארית הפשוטה

קפיצות מחליפות את PDE הדיפוזיה במשוואה אינטגרו־דיפרנציאלית, בעוד שתלות במסלול דורשת לעיתים להרחיב את המצב או להשתמש בשיטות אחרות