הסבר על תנאי Feller במודלי CIR ו־Heston

תהליך CIR משתמש בסחף κ(θ-X_t) ובדיפוזיה σ√X_t עבור מצב לא־שלילי כמו ריבית קצרה או שונות

קאפה שולטת במהירות החזרה לממוצע, תטא ברמה ארוכת הטווח וסיגמה בתנודתיות של המצב

כאשר X מתקרב לאפס, גודל ההלם האקראי קטן, בעוד שהסחף החיובי κθ דוחף את התהליך הרחק מהגבול

תנאי הגבול המקובל הוא 2κθ ≥ σ², בהנחה של פרמטרים חיוביים ושל מצב התחלתי חיובי

הוא משווה את הסחף פנימה באפס לעוצמת הדיפוזיה, ולא בודק אם כיול מתאים למחירי אופציות

טקסטים מסוימים משתמשים במדד Feller ‏2κθ/σ² או בממד 4κθ/σ², ולכן יש לבדוק את מוסכמות הסף

כאשר 2κθ ≥ σ² ו־X_0 > 0, אפס אינו בר־השגה עבור תהליך CIR הרציף האידיאלי בזמן רציף

המצב נשאר חיובי ממש בזמנים סופיים, ולכן אינו נוגע בגבול השורש הריבועי המנוון

חיוביות ממש חזקה מאי־שליליות, ואין לצמצם אותה לטענה מעורפלת שהמודל יציב

כאשר 0 < 2κθ < σ², אפס בר־השגה, אך פתרון CIR הסטנדרטי נשאר לא־שלילי

כאשר θ חיובית, גבול האפס משתקף מיידית ולא נעשה מצב סופג לצמיתות

לכן כישלון תנאי Feller אינו הופך כשלעצמו את המשוואה הדיפרנציאלית הסטוכסטית ללא־תקפה או לשלילית

השונות במודל Heston מקיימת dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t, כאשר ξ מחליפה את σ כתנודתיות־של־תנודתיות

התנאי הנפוץ הוא 2κθ ≥ ξ²; כישלון מאפשר לשונות לגעת באפס ועלול לחדד את הרגישות לגבול

עדיין אפשר להשתמש במודל Heston מכויל כאשר התנאי נכשל, אך הפרשנות והטיפול הנומרי דורשים זהירות נוספת

צעד Euler נאיבי יכול להפוך לשלילי גם כאשר התהליך המדויק אינו שלילי ותנאי Feller מתקיים

קטימה מלאה, שיטות אימפליציטיות, סכמות ריבועיות־אקספוננציאליות או דגימת מעבר מדויק מטפלות בגבול בדרכים שונות

חיתוך ערכים שליליים משנה את המודל המדומה, ולכן יש לבדוק התכנסות, הטיה ויציבות של Greeks

דווחו על היחס 2κθ/ξ², ולא רק על השאלה אם הוא עובר, והשוו אותו בין תאריכים, מידות ואי־ודאות בפרמטרים

פרמטרים פיזיים ופרמטרים ניטרליים־לסיכון אינם חייבים להיות זהים, משום שפרמיות סיכון של שונות יכולות לשנות את דינמיקת החזרה לממוצע

בדקו מסלולים קרובים לאפס, רגישות לגודל צעד הזמן, מומנטים של מעבר, שגיאות אופציה ותוצאות גידור לפני שאתם סומכים על מודל מותאם