טרנספורמציית Esscher בתמחור אופציות: הסבר

עבור משתנה מקרי X עם M(θ) = E[e^{θX}] סופי, הגדירו dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)

θ חיובי מדגיש תוצאות גדולות יותר ו-θ שלילי מדגיש תוצאות קטנות יותר, בעוד שהנרמול גורם למשקלים החדשים להסתכם באחת

הטרנספורמציה משנה הסתברויות, לא תוצאות שנצפו, והיא קיימת רק במקום שבו המומנט האקספוננציאלי סופי

יהי κ(u) = log E[e^{uX}] בתחום המומנטים שלה

תחת מידת Esscher, פונקציית ההצטברות היא κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)

נגזרות של κ_θ באפס נותנות מומנטים מוטים כאשר הם סופיים, ולכן הטרנספורמציה נוחה לשיטות Saddlepoint ולחישובי סיכון

עבור תהליך Lévy ‏X_t, תהליך הצפיפות הוא Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))

תוספות בלתי תלויות וסטציונריות הופכות את Z למרטינגל חיובי כאשר θ נמצא בתחום המומנטים התקף

תחת Q_θ התהליך נשאר Lévy, אך הסחף שלו וחוק הקפיצות שלו משתנים, בעוד שתוצאות המסלול ואירועי האפס נשארים תואמים

תחת מוסכמות מתאימות, מידת הקפיצות משתנה מ-ν(dx) ל-ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)

השונות הבראונית נשארת ללא שינוי, בעוד שהסחף מתאים את עצמו להטיה הבראונית, לפיצוי הקפיצות ולמוסכמת החיתוך

לכן השוואת פרמטרי סחף בלי לציין את פונקציית החיתוך יכולה ליצור אי-התאמה מדומה

עבור S_t = S_0e^{X_t} עם נשיאה r-q, מרטינגליות של המחיר המהוון דורשת κ_θ(1) = r-q

באופן שקול, פותרים κ(θ+1) - κ(θ) = r-q כאשר שני המומנטים האקספוננציאליים קיימים

ייתכן שלמשוואה אין פתרון, שיש לה פתרון אחד או שתהיה אי-יציבות נומרית בקרבת גבול המומנטים; בחירת הפרמטר אינה אוטומטית

סיכון קפיצות בדרך כלל אינו מכוסה במלואו, ולכן מידות מרטינגל שקולות רבות עשויות לקיים אי-ארביטראז'

כלל Esscher בוחר אחת מהן באמצעות שימור משפחת מודלים מוטה אקספוננציאלית, אך אי-ארביטראז' לבדו אינו מעניק לה עדיפות על פני כל חלופה

העדפות כלכליות, יעדי כיול, קריטריוני אנטרופיה, יעדי גידור או מוסכמות שוק עשויים להצביע על מידה אחרת

ודאו את תחום המומנטים עבור θ ו-θ+1, את נרמול הצפיפות, את התמיכה השקולה, את שוויון המרטינגל ואת השלשה המותמרת

כיילו מחדש על פני מועדי פקיעה ומשטרים, משום ש-θ יציב במדגם יכול להסתיר אקסטרפולציה לא יציבה של הזנב

השוו מחירי אופציות ושגיאות גידור תחת מידות חלופיות מותרות כדי לחשוף את עלות סיכון המודל של בחירת Esscher