הסבר על שיטת COS לתמחור אופציות

נניח שלמצב לוגריתמי סופי X יש פונקציית אפיון ידועה ולאופציה יש תשלום v(X) במועד הפקיעה

לאחר היוון תחת מידת התמחור המתאימה, הערך המבוקש הוא אינטגרל של v(x) כנגד הצפיפות המותנית של X

COS מקרבת את האינטגרל הזה באמצעות טור קוסינוסים סופי במקום לדמות מסלולים או לפתור רשת מחיר לאחור בזמן

מכיוון שמחירי לוג חיים בדרך כלל על הישר הממשי, השיטה בוחרת מרווח סופי [a,b] המכיל את רוב מסת ההסתברות הרלוונטית כלכלית

הסתברות מחוץ ל־[a,b] יוצרת שגיאת קטימת תחום לפני שמושמטים איברי קוסינוס כלשהם

מרווח צר מדי מחמיץ זנבות; מרווח רחב שלא לצורך דורש איברים רבים יותר כדי לפתור את אותם מאפיינים מקומיים

על [a,b], הצפיפות מפותחת ב־cos(kπ(x−a)/(b−a)) עבור k שלם אי־שלילי

מקדמי הקוסינוס שלה מקורבים מתוך Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, וכך נמנעת שחזור מפורש של הצפיפות המלאה

האיבר בתדירות אפס מקבל משקל חצי בסכום המסומן בגרש, לפי המוסכמה הרגילה; זו מוסכמה קטנה שמשפיעה באופן מהותי על רמת המחיר

כל מקדם צפיפות מוכפל באינטגרל המתאים של v(x) כנגד בסיס הקוסינוסים על [a,b]

עבור קולים ופוטים אירופיים, למקדמי התשלום הללו יש צורות אנליטיות; תשלומים אחרים עשויים להזדקק לאינטגרציה מספרית יציבה

לאחר הפרדת מקדמי המודל ממקדמי התשלום, סטרייקים או חוזים רבים יכולים לעשות שימוש חוזר בחלק גדול מאותה עבודת טרנספורמציה

צפיפויות חלקות עם מקדמי קוסינוס הדועכים במהירות יכולות לספק התכנסות מהירה מאוד, לעיתים מעריכית, כאשר מספר האיברים N גדל

פקיעות קצרות, צפיפויות חדות, אטומים, זנבות כבדים או תשלומים לא־רציפים יכולים להאט את ההתכנסות וליצור תנודות ליד נקודות לא חלקות

לכן המוניטין של השיטה במהירות הוא תוצאה התלויה בסדירות, לא ערובה קבועה לדיוק לכל מודל ותשלום

היוריסטיקה נפוצה משתמשת במצטברים, כגון c₁±L√(c₂+√c₄), כאשר מצטברים אלה קיימים והמוסכמה מתאימה

הסולם L אינו אוניברסלי, ומצטברים גבוהים יותר שאינם אמינים או שאינם קיימים יכולים להפוך כלל מרווח מוכר למטעה

גבולות הסתברות זנב, מרווחי ייחוס רחבים יותר ויציבות לאורך בחירות שונות של [a,b] מספקים ראיות חזקות יותר מהגדרה היוריסטית אחת

הגדילו את [a,b] תוך שמירה על N גדול מספיק כדי לאבחן קטימת תחום, ואז הגדילו את N במרווח יציב כדי לבדוק התכנסות טור

בדקו את פונקציית האפיון באפס, את מוסכמת המשקל החצי, היוון, מקדמי תשלום, שוויון, חסמים, מונוטוניות וקמירות

השוו מחירים נבחרים לקוודרטורה ישירה של פורייה או לשיטה בלתי תלויה אחרת לפני שימוש ב־COS בתוך לולאות כיול