Le modèle de volatilité SABR expliqué

Le nom abrège « stochastic alpha beta rho ». Le forward suit une diffusion à élasticité constante, tandis que son niveau de volatilité suit un processus aléatoire

Les deux chocs sont corrélés. Ce mouvement conjoint permet au smile de volatilité implicite de réagir lorsque le forward évolue, au lieu de rester une courbe fixe

SABR s’est imposé sur les marchés des taux d’intérêt et des changes, où la cotation et la gestion des smiles par échéance et tenor sont centrales

Alpha fixe l’échelle initiale de la volatilité. Beta contrôle la façon dont le niveau du forward modifie l’amplitude des fluctuations de prix via le terme d’élasticité

Rho est la corrélation entre les chocs du forward et de la volatilité. Nu, souvent appelé volatilité de la volatilité, contrôle l’incertitude du futur niveau de volatilité

Les rôles ne sont pas indépendants. Une variation visible du niveau, de la pente ou de la courbure du smile peut être reproduite par des ajustements conjoints des paramètres

Beta vaut un dans une limite de type lognormale et zéro dans une limite de type normale. Les valeurs intermédiaires modifient la façon dont la volatilité évolue avec le forward

Un rho négatif tend à augmenter la volatilité implicite du côté des prix d’exercice bas par rapport au côté haut ; un rho positif tend à incliner le smile dans l’autre sens

Nu ajoute de la courbure en élargissant la distribution de la volatilité future. Son effet interagit avec rho et le temps ; il ne faut donc pas le déduire d’une seule aile

Pour une expiration, la calibration ajuste les paramètres aux volatilités implicites de marché sur plusieurs prix d’exercice, en fixant souvent beta et en résolvant alpha, rho et nu

Fixer beta peut réduire l’instabilité, car beta et rho peuvent se substituer l’un à l’autre sur une plage limitée de prix d’exercice. Ce choix doit être documenté, et non dissimulé

Les pondérations, les fourchettes bid-ask, la couverture des prix d’exercice, la convention de cotation normale ou lognormale, les shifts et les contraintes de l’optimiseur influencent tous le résultat

Hagan et ses coauteurs ont notamment introduit SABR pour traiter les mouvements du smile qui pouvaient rendre les couvertures en volatilité locale différentes des marchés observés

Comme les chocs du forward et de la volatilité sont corrélés, le modèle produit une relation conditionnelle entre un mouvement du forward et un déplacement du smile

Une relation ajustée reste un scénario, pas une loi. La réaction réelle du smile peut varier selon le régime, la maturité, l’événement et la direction ou la vitesse du mouvement

SABR est souvent implémenté avec l’expression asymptotique de volatilité implicite de Hagan, plutôt qu’avec une intégration exacte du processus stochastique

La précision peut se dégrader pour les longues maturités, les prix d’exercice extrêmes, une forte volatilité de la volatilité ou des combinaisons de paramètres difficiles. Certaines implémentations nécessitent aussi des shifts pour les taux bas

Vérifiez les prix, les densités et les conditions d’absence d’arbitrage statique sur tout le domaine prévu. Une petite erreur de calibration autour des prix d’exercice liquides ne valide pas les ailes éloignées

Surveillez la stabilité des paramètres entre les dates et les expirations voisines, mais n’imposez pas une régularité qui dégrade l’ajustement aux cotations ou crée une incohérence calendaire

Comparez l’approximation avec des références numériques et d’autres modèles de smile. Testez les mouvements du forward, les chocs de volatilité, les corrélations et les prix d’exercice extrapolés

SABR est un langage utile pour le risque de smile, pas un processus vrai et unique. Conservez avec chaque surface la convention de cotation, le domaine, l’erreur d’ajustement, la version et les conditions d’échec connues